[理學]線性代數(shù)(1)-wenkub.com
2024-10-16 01:08 本頁面
【正文】 3 逆矩陣 定義 7 設(shè) A 是 n 階矩陣，如果有 n 階矩陣 B ，使 如果矩陣 A 是可逆的，則 A 的逆矩陣是唯一的，記其為 A1. 定理 1 若矩陣 A 是可逆的， 證 因為 A 可逆， .1EAA 1 ???于是 定理 2 若 |A|≠0， 則 A 可逆 , 且 ?? ? AA1A 1.的伴隨矩陣矩陣是其中 AA ?則稱 A 是可逆矩陣， 且稱 B 為 A 的逆矩陣 . AB = BA = E 即有 A1 使 A A1= E . 所以 |A|≠0 . 則 |A|≠0 . 證 由 167。 1 矩陣 ???????????????mn2m1mn22221n11211aaaaaaaaaA???????),( ija也可以記成行矩陣（行向量 )， 列矩陣（列向量 )， n 階矩陣 ( n 階方陣 ). 定義 1 由 m n 個數(shù) aij (i = 1,2,…, m。 j = 1,2,…, n ) 實矩陣 nmija ?)( .等或 nmA ?稱為 m n 矩陣 . 排成的 m 行 n 列數(shù)表 , 記成 例 1 （價格矩陣）四種商品在三家商店中，單位量的售價 ??????????191581819139152111717這里的行表示商店，列表示商品． ai j 表示每生產(chǎn)一萬元第 j 類產(chǎn)品需要消耗的第 ??????????????????????aaaaaaaaaA333231232221131211a23 = 就表示每生產(chǎn)一萬元 第 3 類產(chǎn)品需要消耗掉 例 2 （投入 —產(chǎn)出矩陣）設(shè)某地區(qū)有 3個經(jīng)濟部門，假定每個 （以某種貨幣單位計）可以用以下矩陣表示： 部門只生產(chǎn)一類產(chǎn)品，每個部門生產(chǎn)的產(chǎn)品與消耗的商品都用 貨幣來表示 , i 類產(chǎn)品的價值． 的第 2 類產(chǎn)品的價值． 例３（通路矩陣）甲省兩個城市 s1 , s2 與乙省三個城市 t1 , t2 , s1 s2 t1 t2 t3 4 1 3 2 2 每條線上的數(shù)字表示連接該兩 ????????220314s1 s2 t1 t2 t3 同型矩陣 . 矩陣 A與 B相等 , 記成 A = B. 零矩陣 , 記成 0 . 城市的不同通路的總數(shù)．以由此得到 的通路信息，可用矩陣表示為： t3 的交通連接情況如下圖所示， 167。 2的 例 16 可知 .EAAAAA ?? ??根據(jù)逆矩陣的定義，即有 .?? ? AA1A 1EAAA1AA1A ?????????????????? ??所以有 因為 |A|≠0 ， 設(shè) A 是 n 階矩陣，如果 |A|≠0 , 那么 A稱為非奇異矩陣 . A 是可逆矩陣的充分必要條件是 |A|≠0 ． A 是可逆矩陣的充分必要條件是 A為非奇異的． ,???????????441431321A 例 1 判斷下列矩陣 ,???????????111111111B是否為可逆矩陣？ 推論 設(shè) A, B 都為 n 階矩陣 , .1AB ??且EBB ?.存在因而 1A ?于是 BAA 1 )( ?? ）（ ABA 1?? EA 1?? .1A??則 A 為可逆矩陣， 若 AB = E（或 B A = E）， 所以 |A|≠0 ， 解 因為 ,01441431321A ???? ,|| 0111111111B ??所以 A 為可逆矩陣， B是不可逆矩陣． 證 因為 |A||B|=|AB|=|E|=1, 例 2 因為 ,????????????????????????? ? 10 0110 2110 21所以 ,????????????????? ? ?10211021 1 .???????? ?????????? ?10211021 1方陣的逆矩陣滿足下述運算規(guī)律 ： .. AAAA1 111 ???? ）也可逆，且（可逆，則若.,. 11 A1AA0A2 ?? ?? ???? ）也可逆，且（則可逆，數(shù)若.)( 111 ABAB ??? ?.)(. T11TT AAAA4 ?? ?）也可逆，且（可逆，則若.,. 0A2 ??數(shù)可逆設(shè)證可逆，所以 A?EAAAEA 11 ??? ??可逆，所以 AB11 A1A ?? ??? )且（.111 ABAB ??? ?）且（EA1A 1 ?? ))(( ??因為 因為 1111 ABBAABAB ???? ? )())(（ A ,B 為同階可逆矩陣 , 則 AB 也可逆，且 A ,B 為同階可逆矩陣 , 例 3 求矩陣 ???????????441431321A的逆矩陣 . 解 由 1441431321A ???知 A 的逆矩陣 A1 存在 . T1T1T AAAA )()( ?? ? EE T ??可逆，所以 TA .)()( T11T AA ?? ?且 A 為可逆矩陣 , 因為 再由 ,)( 444 431 11 ??? ?1A1A0A 322212 ???????????????????
教學課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1