自回歸滑動平均模型-wenkub.com
2025-05-09 08:00 本頁面
【正文】 由于 S A R I M A 模型具有自然的解釋，所 以，無論何時我們考慮季節(jié)模型，我們都是喜歡 S A R I M A 的參數(shù)化勝于高 階 A R M A 的參數(shù)化。為了給它建模，考慮 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )s d s D sP t Q tB B B B Y B B Z?? ? ? ? ? ? ( 3 . 1 0 ) 其中， 1( ) 1ppB B B? ? ?? ? ? ? 1( ) 1qqB B B? ? ?? ? ? ? 1( ) 1Ps s sPPB B B? ? ? ? ? ? ? 1( ) 1Qs s sB B B? ? ? ? ? ? ? 這個{}tY通常表示為S A R I MA ( , , ) ( , , ) sp d q P D Q? 例 我們來考慮一個12S A R I MA ( 1 , 0 , 0) ( 0 , 1 , 1 )?時間序列{}tY，它被表 示為 1212( 1 ) ( 1 ) t t tB B Y Z Z?? ?? ? ? ?， 12 1312( 1 ) t t tB B B Y Z Z? ? ? ?? ? ? ? ? 于是， 12 1 13 12()t t t t t tY Y Y Y Z Z??? ? ? ?? ? ? ? ? ( 3 . 1 1 ) 注意，tY既依賴于12tZ ?也依賴于1 2 1 1 3,t t tY Y Y? ? ?。 所以，通過求和 ( 因此把各項融合在一起了 ) ，我們從tW中恢復(fù)了tY。 為了看出這點，考慮如下例子。正因為這點，許多經(jīng)濟學(xué)家試圖以隨機 游動模型為證券 ( 股票、 債券 、匯率等等 ) 收益率建模。這樣，除了非因果 外，由于方差隨時間而變，這個過程也是非平穩(wěn)的。 于是，( 1 )tBY?是一個非可逆 M A ( 1 ) 模型 。于是， ( ) ( 1 ) ( )dttB B Y B Z?? ?? 稱過程{}tY是自回歸融合滑動平均模型A R I MA ( , , )p d q。所以，以上關(guān)于 ARMA模型的 ACF的各種性質(zhì)的討論常常也適用于非零均值情形。 ARMA模型的好處在于它們的簡約表示。 例 設(shè)11t t t tY Y Z Z????? ? ?是A R M A ( 1 , 1 )模型，其中0 . 5? ?而0 . 3? ?。在這些假設(shè) 下，稱{}tY是因果可逆A R M A ( , )pq模型。 定義 稱{}tY是 具有均值?的 ARMA(,pq) ，如果{}tY ??是一個 A R M A (,pq) 。 3 . 4 A R M A 模型 雖然 MA 和 AR 模型都有它們自己的吸引力，但是，為了把握時間序列的 復(fù)雜結(jié)構(gòu)，我們可能不得不使用相對來說高階的 AR 或 MA 模型。 注意：當根為實 根 時 ( 在區(qū)域 1 和 2 中 ) ， A R ( 2 ) 模型的 A C F 的行為類 似于 A R ( 1 ) 模型。進一步，如果這兩根是實的和不 同的，通過解一個二階差分方程，我們可以得到()kr的一個一般解。 根據(jù)二次三項式的根與系數(shù)的關(guān)系，我們有 21abf=。 于是12( 1 ) 1 0f f f= ，即 211ff +。 依中 值定理，( 1 )f和( 1 )f 必須同號。 為了看出為什么有此結(jié)果，設(shè) 此 A R ( 2 ) 過程是因果的。 例 設(shè){}tY是一個 A R ( 2 ) 模型，滿足1 1 2 2t t t tY Y Y Zff= + +。 取期望，則有 1( ) ( 1 ) ( )pk k k pg f g f g= + + L。 雖然我們可以利用方程 ( 3 . 8 ) 去求一個給定的 A R ( p ) 模型的協(xié)方差函數(shù)，但是， 它需要用f把y解出而且通常很難找出明確的公式。 3 . 3 . 4 A R 模型的協(xié)方差結(jié)構(gòu) 給定一個因果 AR( p ) 模型，我們有 00( ) E ( ) Et t k i t i l t k lilk Y Y Z Zg y yゥ+ + ==驏驏鼢瓏== 鼢瓏鼢瓏 鼢桫桫邋 20i k iis y y165。 因此，存在常數(shù)0M 使得對所有的i， ( 1 ) ii Myd +。== 229。對于某個 0e ，記11ze =+。 定理 A R ( p ) 過程是因果的，如果其特征多項式( ) 1ppz z zf f f= L 的根全部位于單位圓之外 [ 即，{ : ( ) 0 } { : 1 }z z z zf =?] 。 對于 A R ( p ) 模型()ttB Y Zf =，我們記 10( ) ( )t t t i t iiY B Z B Z Zf y y165。=?229。具有固定初始值的 AR 模型不是嚴格意義上平穩(wěn)的； 它只是漸進平穩(wěn)的 。 考慮tY的方差：當,1t f時， ( )2 2 2 ( 1 ) 20v a r 1 v a rtttYY s f f f= + + + +L 22202( 1 )v a r1ttYsfff=+ 22( 1 )sf174。 如果0Y是一個隨機變量滿足0E0Y 185。是 ( 3 . 4 ) 的平穩(wěn)解。，則稱過程{}tY是 因果的 ( 在別的著作中，稱為平穩(wěn)的 ) 。正式地，如果存在滿足 0 iiy165。是 ( 3 . 4 ) 的平穩(wěn)解。 247。= + 247。雖然當1f 時，過程{}tY不再收斂，我們?nèi)钥梢灾貙?( 3 . 4 ) 如
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