【正文】 或 MA 模型。 ARMA模型的好處在于它們的簡(jiǎn)約表示。這樣，除了非因果 外，由于方差隨時(shí)間而變，這個(gè)過程也是非平穩(wěn)的。為了給它建模，考慮 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )s d s D sP t Q tB B B B Y B B Z?? ? ? ? ? ? ( 3 . 1 0 ) 其中， 1( ) 1ppB B B? ? ?? ? ? ? 1( ) 1qqB B B? ? ?? ? ? ? 1( ) 1Ps s sPPB B B? ? ? ? ? ? ? 1( ) 1Qs s sB B B? ? ? ? ? ? ? 這個(gè){}tY通常表示為S A R I MA ( , , ) ( , , ) sp d q P D Q? 例 我們來(lái)考慮一個(gè)12S A R I MA ( 1 , 0 , 0) ( 0 , 1 , 1 )?時(shí)間序列{}tY，它被表 示為 1212( 1 ) ( 1 ) t t tB B Y Z Z?? ?? ? ? ?， 12 1312( 1 ) t t tB B B Y Z Z? ? ? ?? ? ? ? ? 于是， 12 1 13 12()t t t t t tY Y Y Y Z Z??? ? ? ?? ? ? ? ? ( 3 . 1 1 ) 注意，tY既依賴于12tZ ?也依賴于1 2 1 1 3,t t tY Y Y? ? ?。 所以，通過求和 ( 因此把各項(xiàng)融合在一起了 ) ，我們從tW中恢復(fù)了tY。 于是，( 1 )tBY?是一個(gè)非可逆 M A ( 1 ) 模型 。 例 設(shè)11t t t tY Y Z Z????? ? ?是A R M A ( 1 , 1 )模型，其中0 . 5? ?而0 . 3? ?。 注意：當(dāng)根為實(shí) 根 時(shí) ( 在區(qū)域 1 和 2 中 ) ， A R ( 2 ) 模型的 A C F 的行為類 似于 A R ( 1 ) 模型。 依中 值定理，( 1 )f和( 1 )f 必須同號(hào)。 雖然我們可以利用方程 ( 3 . 8 ) 去求一個(gè)給定的 A R ( p ) 模型的協(xié)方差函數(shù)，但是， 它需要用f把y解出而且通常很難找出明確的公式。== 229。=?229。是 ( 3 . 4 ) 的平穩(wěn)解。+== = 229。既然{}tY是平穩(wěn)的，那么對(duì)于所有的t，2EtY = 常 量。 注釋 ：假如一個(gè)常數(shù)均值m加入到方程中，使的()ttY B Zmq=+，那么 E tY m=，但是，自協(xié)方差函數(shù)保持不變。239。239。239。假定所要研究的序列已 經(jīng)用前兩章介紹的方法剔除了趨勢(shì)。239。239。239。{} tY可逆的條件由如下定理給出。既然{}tY滿足方程 (3 . 4 ) ，它必須有如下形式： 110kikt t i t kiY Z Yff+ ==+ 229。247。桫 1 2 1211 1 1t t t kkZ Z Yf f f+ + + ++= = +LL。然而可以證 明 ( 見習(xí)題 1) 對(duì)于一個(gè)新定義的噪音2{ } .d.( 0, )tZ s% %:，{}tY也滿足 121, .d. ( 0 , )t t t tY Y Z Zfs=+ %% %:。正因?yàn)槿绱耍?dāng)我們模擬一個(gè) AR 模 型時(shí)， 我們不得不放棄初始的一大塊數(shù)據(jù)以使0Y的效應(yīng)可以忽略不計(jì)。對(duì)于滿足1z e+的z，( ) 0zf 185。+== 229。 于是，其特征多 項(xiàng)式212( ) 1z z zf f f= 的根落在單位圓外。這 方面的詳情可見 B r o c k w e l l 和 D a v i s ( 1 9 9 1 ) 的著作。此時(shí)， ( ) ( )( ) 。 通常，d是一個(gè)小整 數(shù)( 3 )?。 例 設(shè){}tY是 A R I M A ( 1 , 1 , 1 ) 模型，滿足 1( 1 ) ( 1 ) t t tB B Y Z Z?? ?? ? ? ?。注意，依 ( 3 . 1 1 ) 式，tY也服從 A R M A ( 1 3 , 1 2 ) 模型，其所包含的中階 AR 和 MA 的許多系數(shù)被限制為零。對(duì)數(shù)函數(shù)的簡(jiǎn)單泰勒展式 引導(dǎo)出以下方程： 11ttttPPrP???? 11l o g 1tttPPP???? ??????? 1l o gttPP??1l o g l o gttPP??? 因此，如果我們令l o gttYP ?并且如果我們相信股票的收益率服從白噪聲 過程 ( 即，我們以ttrZ ?建模 ) ，那么，以上推導(dǎo)顯示股票價(jià)格的對(duì)數(shù)服 從隨機(jī)游動(dòng)模型 ARIMA(0,1,0) 。進(jìn)一步，既然當(dāng)過程包含一個(gè)常數(shù)均值時(shí) ACF保持不變，因此，把一個(gè)常數(shù)均值加入到 ARMA模型的表達(dá)式中不會(huì)改變?nèi)魏螀f(xié)方差結(jié)構(gòu)。 定義 稱{}tY是 A R M A (,pq) 過程，如果 ( i ) {}tY是平穩(wěn)的； ( i i ) 對(duì)于所有的t，( ) ( )ttB Y B Zfq =，其中，2W N ( 0 , )tZ s:。由因果性，1a ，1b 。它的一般解如下所示 11()kkppk A Ar p p= + +L 其中，{}ip是相應(yīng)的 A R ( p ) 過程的特征方程110ppzzff =L的解。=?229。在什么條件下，這個(gè)表達(dá)式是明確定義的 呢 [ 即，這個(gè) A R