【正文】 在實際的控制系統(tǒng)設計中，Q和R的選擇應該很據(jù)上述規(guī)律并結(jié)合實際情況進行。圖619 仿真框圖子系統(tǒng)如下：圖620 子系統(tǒng)框圖運行結(jié)果如圖621所示，其中紫色線代表擺桿傾角，黃色線代表小車位移。階躍響應曲線如圖618所示：圖618 階躍響應曲線從圖618可知，系統(tǒng)響應的快速性得到了明顯改善，上升時間和調(diào)節(jié)時間以及超調(diào)量都滿足最初設計要求。Bc=B。0 0 n 0。階躍響應如圖617所示圖617 m=4500、n=110時階躍響應曲線分析當m=4500，n=110時，系統(tǒng)的上升時間，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量，編程如下：%Q和R矩陣的選擇m=4500。n=110圖615 m=4000。n=110圖611 m=110。n=60圖67 m=110。)結(jié)果為：k = p = e = + + 此時求得的線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為：K=其響應曲線如圖64所示：圖64 m=n=1時階躍響應曲線從圖64可以看出，超調(diào)量基本滿足要求，但穩(wěn)定值與系統(tǒng)期望值相差太大（小車坐標的響應曲線穩(wěn)態(tài)值為負值）；另一方面過渡時間和上升時間都很大，必須重新校正。legend(39。ylabel(39。)。r:39。[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)。Cc=C。0 0 0 0]。編程如下：%Q和R矩陣的選擇m=1。系統(tǒng)的階躍響應曲線如圖63所示，上圖是小車坐標x的階躍響應曲線，下圖是倒立擺的垂直角度Φ的階躍響應曲線，所以必須加入校正裝置。0 0 1 0]。 。0 0。輸出的被控量分別是小車的坐標x和倒立單擺的垂直角度Φ。當控制輸入只有一個時，R成為一個標量數(shù)（一般可直接選R=1（3）Q的選擇不唯一。根據(jù)極值原理，可以得出最優(yōu)控制律，即：u*=R1BTPx=Kx式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡提（Riccati）代數(shù)方程，即：PA+ATP+PB1RBP+Q=0則最優(yōu)反饋增益K為：K=Q1BTP Q、R的選擇原則由原理可知，要求出最優(yōu)控制作用u，除了求解ARE方程外，加權(quán)矩陣的選擇也是至關重要的。輸出量Φ的超調(diào)量小于20176。圖61 倒立單擺系統(tǒng)如示意圖其中小車的質(zhì)量為M=，倒立單擺的質(zhì)量為m=，小車的摩擦系數(shù)為b=，端點與倒立單擺質(zhì)心的距離為l=，倒立單擺的慣量I=*m2，輸入量u=F是施加在小車上的外力，四個狀態(tài)變量分別是小車的坐標x，x的一階導數(shù)，倒立單擺的垂直角度Φ，Φ的一階導數(shù)。由于原系統(tǒng)不滿足動態(tài)性能要求，希望主導極點自然不會在原系統(tǒng)的根軌跡上。所以超前校正裝置函數(shù)為：Gc(s)=1++ 設計總結(jié)當性能指標以時域特征量給出時，采用根軌跡法進行校正比較方便。（2）校正裝置中極點對系統(tǒng)性能的影響：增加開環(huán)極點，使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在S平面向左移，使系統(tǒng)穩(wěn)定性變壞。用拖動附加零極點的方法觀察復平面上的根軌跡，讓其根軌跡在阻尼范圍內(nèi)。 Gs=tf(num,den)。（8）設計超前網(wǎng)絡時，首先應根據(jù)系統(tǒng)期望的性能指標確定系統(tǒng)閉環(huán)主導極點的理想位置，然后通過選擇校正網(wǎng)絡的零、極點來改變根軌跡的形狀，使得理想的閉環(huán)主導極點位于校正后的根軌跡上。（6）估計在期望的閉環(huán)主導極點處的總的系統(tǒng)開環(huán)增益?？芍苯釉谄谕拈]環(huán)極點位置下方（或在頭兩個實極點的左側(cè)）增加一個相位超前網(wǎng)絡的實零點。根軌跡超前校正的主要步驟為：（1）依據(jù)要求的系統(tǒng)性能指標，求出主導極點的期望位置。單純增大K值將會使系統(tǒng)阻尼比變小，甚至于使閉環(huán)特征根跑到復平面S的右半平面去。若期望主導極點在原根軌跡的左側(cè)，則只要加上一對零、極點，使零點位置位于極點右側(cè)。相位滯后校正可以明顯地改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，但會使動態(tài)響應過程變緩；而相位滯后超前校正則把兩者的特性結(jié)合起來，用于動態(tài)、靜態(tài)特性要求較高的系統(tǒng)。（3）PID控制通過積分作用消除誤差，而微分控制可縮小超調(diào)量，加快反應,是綜合了PI控制與PD控制長處并去除其短處的控制。Ti=。Td=。Td=。均不滿足已知條件。Td=。Td=。該環(huán)節(jié)產(chǎn)生的控制量與信號變化速率有關，因此對于信號無變化或者變化緩慢的系統(tǒng)不起作用。for i=1:length(Td)Gc=tf(Kp*[Ti*Td(i),Ti,1]/Ti,[1,0])。 PID控制Simulink建立的仿真模型為：圖410 PID控制的仿真建模將Kp和Ti的值固定，令Kp=50，Ti=G=tf(1,[1,2,25])。PI控制可以消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的誤差度。step(G_c),hold onend axis([0,20,0,2]) axis([0,12,0,])仿真結(jié)果如圖48所示：圖48 波形圖3將圖48放大圖49 波形圖3 實驗結(jié)果與分析： Kp=50，隨著Ti值的加大，系統(tǒng)的超調(diào)量減小，系統(tǒng)響應速度變慢。 PI控制器PI控制器的傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)傳遞函數(shù)Simulink建立的仿真模型為：圖47 PI控制的仿真建模M文件：kp=50。p=[1:3000:6000]。（1）運行程序：G=tf(1,[1,2,25])。但不可否認PID也有其固有的缺點。 PID控制具有以下優(yōu)點（1）原理簡單，使用方便，PID參數(shù)Kp，Ki和Kd可以根據(jù)過程動態(tài)特性變化，PID參數(shù)就可以重新進行調(diào)整與設定。三種方法各有其特點，其共同點都是通過試驗，然后按照工程經(jīng)驗公式對控制器參數(shù)進行整定。它主要是依據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學模型，經(jīng)過理論計算確定控制器參數(shù)。從頻域角度看，PID控制通過積分作用于系統(tǒng)的低頻段，以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而微分作用于系統(tǒng)的中頻段，以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。與PI控制器相比，PID控制器除了同樣具有提高系統(tǒng)穩(wěn)定性能的優(yōu)點外，還多提供了一個負實部零點。PI控制器在與被控對象串聯(lián)時，相當于在系統(tǒng)中增加了一個位于原點的開環(huán)極點，同時也增加了一個位于s左半平面的開環(huán)零點。對于單位反饋系統(tǒng)，0型系統(tǒng)響應實際階躍信號的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益K近視成反比。 總體方案設計圖43閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖將控制器分別設計成P、PI、PID三種控制器，并比較觀察其各自特點。 振鈴現(xiàn)象的消除根據(jù)前面分析的結(jié)果，為了消除振鈴，我們將控制器設置為：Dz=()1z1則Simulink仿真程序如圖36所示：圖36 仿真程序此時我們觀察修正后的控制器在單位階躍輸入作用下的輸出控制量波形，如圖37所示，我們發(fā)現(xiàn)，控制器的輸出不再以接近2T的周期大幅度上下擺動，振鈴現(xiàn)象被消除。,39。Dz=Dz1/(1Sz)。Sz=c2d(Ss,T,39。variable39。zoh39。inputdelay39。以N=2時為例，數(shù)字控制器的形式為：當遠小于T時，有嚴重的振鈴現(xiàn)象，產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象的極點為式中的1+(1eT/T蟿)(z1+z2) ^( _故消除振鈴現(xiàn)象后，D(z)的形式為： 大林算法具體設計 設計大林控制器Gs=tf([1],[1,1],39。將D(z)的分母進行分解可得：由上式，z=1處的極點不會引起振鈴現(xiàn)象。 （3）解決辦法：令數(shù)字控制器中產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象的極點（左半平面上接近1的極點）的因子中的z=1，就可以消除振鈴現(xiàn)象。要求：用大林算法設計數(shù)字控制器D(z)；在 Simulink 仿真環(huán)境畫出仿真框圖及得出仿真結(jié)果，畫出數(shù)字控制；繪制并分析數(shù)字控制器的振鈴現(xiàn)象；對振鈴現(xiàn)象進行消除；得出仿真結(jié)果并進行仿真分析；程序清單及簡要說明；撰寫設計報告（列出參考文獻，以及仿真結(jié)果及分析）。 然而，進一步研究可以發(fā)現(xiàn)雖然在采樣時刻系統(tǒng)輸出與所跟蹤的參考輸入一致，但在兩個采樣時刻之間，系統(tǒng)的輸出存在著紋波或振蕩。Ge=subs(Ge,[b1,b2,b3,b4],B)。g5=subs(Ge,z,)1。g2=subs(diff(Gc,1),z,1)。numd=sym2poly(N1)dend=sym2poly(D1)運行結(jié)果：numd =+47 * dend =+46 * simulink仿真：圖211 控制系統(tǒng)框圖圖212 子系統(tǒng)框圖圖213 參數(shù)選擇圖214 仿真波形圖單位速度輸入下無波紋的數(shù)字控制器M文件：syms z a0 b1 。 %解出Gc待定系數(shù)g4=subs(Ge,z,)1。 %初步定出Ge、Gc形式g1=subs(Gc,z,1)1。Dwz=Gc/Ge/Gz[N,D]=numden(simplify(Dwz))。[b1j,b2j,b3j,b4j]=solve(g3,g4,g5,g6)。 %解出Gc待定系數(shù)g3=subs(Ge,z,)1。 %初步定出Ge、Gc形式g1=subs(Gc,z,1)1。 %解出Ge待定系數(shù)Gz=*z^1*(1+*z^1)*(*z^1)*(*z^1)*(1+*z^1)/((1z^1)^2*(*z^1)*(*z^1)*(*z^1))Dz=Gc/Ge/Gz[N1,D1]=numden(simplify(Dz))。Gc=subs(Gc,[a0],a0j)。Gc=(z^1)*(1+*z^1)*a0。variable39。%連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)hz=c2d(hs,39。np=[1 9 14]。式（29）說明，無紋波最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)H(z)不僅應為的多項式，而且應包含G(z)的全部零點。如果整個系統(tǒng)以U(z)為輸出量，設這時的閉環(huán)傳遞函數(shù)為。為此，必須改進設計方法，使設計出的系統(tǒng)滿足無紋波的條件。然而，如果進一步用改進的z變換法來研究所設計的系統(tǒng)，就會發(fā)現(xiàn)問題。式（24）表明了離散系統(tǒng)中，為了使過渡過程較快地結(jié)束應符合的條件。在典型輸入信號作用下，經(jīng)過最少拍，使輸出量采樣時刻的數(shù)值能完全跟蹤參考輸入量的數(shù)值，跟蹤誤差為零的系統(tǒng)稱為最少拍系統(tǒng)。對滯后大的對象有很好的效果。PID控制的結(jié)構(gòu)比較簡單，但三個系數(shù)有著比較明顯的意義：比例控制其直接響應與當前的誤差信號，一旦發(fā)生誤差信號，則控制其立即發(fā)生作用以減少偏差，Kp的值增大則偏差將減小，然而這不是絕對的，考慮根軌跡分析，Kp無限增大會使閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。主要改善系統(tǒng)的動態(tài)性能