【正文】 2?? ? Λ統(tǒng)計(jì)量和 Λ分布 設(shè) k個(gè)總體 ， 它們服從 。 0?μ uu 12 ??? ?? nuu 12 ??? ?? n ),(~ 2 npT)1,(~1 2 ???? pnpFTnppn … ),( 11211 ?? pxxx ?1x),( 222212 ?? pxxx ?x),( 21 ?? npnnn xxx ?x樣本均值令 ????? ni in 11 ??樣本叉積矩陣???? ???? n 1i XXXX ))(( iiS)1,(~)()()1( 212 ?????? ? npTxSxnn ???則)1,(1),(2 ????? pnpFpn npnpT且 定理 ： 設(shè) 是來(lái)自多元正態(tài)總體 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ， 有 n21 xxx , ? ),( ??pN 定理： 設(shè) 是來(lái)自多元正態(tài)總體 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ， 1, n21 xxx ? ),( ??pN … ),( 11211 ?? pxxx ?1x),( 222212 ?? pxxx ?x),( 1111 21 ?? pnnnn xxx ?x),( 2222 21 ?? pnnnn YYYY ?),( 11211 ?? pYYYY ?1),( 222212 ?? pYYYY ??21 ?? ?若)1,(~)()( 22121211212 ??????? ? npTnnnnxxSxxp則2)1()1(212211??????nnSnSnSp 設(shè) 是來(lái)自多元正態(tài)總體 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ， ),( 2 ??pN2, n21 YYY ?（ 1） Wilks分布 定義：設(shè) 和 ，且 相互獨(dú)立， 和 ， ，則稱(chēng) 服從 Wilks分布，記 。 p定理 2 設(shè) 獨(dú)立同正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量 證： 由于樣本均值 )1,(~ ?n?pNx)(21 ??? ? X?? n令??? ??? ? )]([)( 21 ?XnEEpnDD ??? ???? )]([)( 21 ?X)(~)(21 Io,X pNn ??? ???)~ 2222212 pZZZ p （所以 ??????? ????相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和為 自由度為 的卡方分布 。 ),(~ ?? nW p pn?0???0,)21(||2)21e x p (||)(1221)1(212)1(???????????ainAtraaFpinnppnpp????1?p 1???2?維希特（ Wishart）分布的密度函數(shù) 二、維斯特 (Wishart)分布有如下的性質(zhì)： （ 1）若 A1和 A2獨(dú)立，其分布分別 和 ，則 的分布為 ，即維斯特 (Wishart)分布有 可加性 。?? npnpp xxxxxx ????? 1221111x 定義 : 維希特（ Wishart）分布的統(tǒng)計(jì)量 設(shè) 個(gè)隨機(jī)向量 n ),3,2,1(),( 21 niXXX ipiii ?? ???X???????????????????????????????? )()2()1(212222111211npnnpnnppXXXXXXXXXXXX???????X 獨(dú)立同分布于 ，則 隨機(jī)矩陣 ),( ?μpN ?? ?? n 1i ii??? 服從 自由度為 的 非中心維斯特分布 ， 記為 。 Euclidean and Statistical Distance Euclidean and Statistical Distances Mahalanobis Distance Example: Compare Euclidean, Statistical, Mahalanobis Distances ? Given the following data, pute the Euclidean, statistical, and Mahalanobis distance between observations 2 and 4 and observations 2 and 3. Which set of observations is more similar? Why? (Assume sample estimates are equal to population values.) Solution: Compare Euclidean, Statistical, Mahalanobis Distances ? The distances between observations 2 and 3 and observations 2 and 4 can be puted as follows: Solution: Compare Euclidean, Statistical, Mahalanobis Distances 第三章 抽樣分布 167。 是當(dāng) 給定的條件下 ， 與 （ ） 的偏相關(guān)系數(shù) ， 定義為 pkij ,1. ???2x ix jx kji ?,pkjjpkiipkijpkij,1.,1.,1.,1.???????? ? ???? 它度量了在值 給定的條件下 ， 與 （ ） 相關(guān)性的強(qiáng)弱 。 2X1X 2122121 XX ????1111212 XX ????證： ? ? ???????21xx0Ix令? ? ???????? ?2111121 xxIΣΣz?)c o v ( zx 1,? ? ??????21xx0I v ar? ??? ? IΣΣ 11121? ? ???????22211211ΣΣΣΣ0I ? ??? ? IΣΣ 11121? ? ???????21xx0I v ar? ??? ? IΣΣ 111210ΣΣ 1212 ????? ? ???????? ?? ?IΣΣΣΣ 121111211相互獨(dú)立。和故 2xx 1)()()( 21 21 xxx fff ?? 八、設(shè) ， ， ，其中 是 階矩陣， 是 階矩陣， ， ，則 與 相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng) 。 ),(~ ??pNx )(~)()( 2 px ??? ???? ? 1xμ)(xΣx 21* ?? ??][)( μ)(xΣx 21* ?? ?V arV ar2121 μ ) Σ(xΣ ?? ?? V arΙΣΣΣ 2121 ?? ??分布。 ),0(~ 2 INu Aux ? ???????????111001Ax167。求 )0(ln1 ?? ?? xyyeyx ?? ??? )(解y的取值范圍為 (0,?),則 |)(|))(()( yyfyfxy ?? ??|)(|1|)(|))( yyyx eeef ??? ? ??? ?????ye ?? ??二、多元隨機(jī)向量的變換 若 (x1,x2,… ,xp)’ 有密度函數(shù) f (x1,x2,… ,xp),有函數(shù)組 ),( 21 pii xxxy ??? pi ,2,1 ??其 逆變換 存在 ),( 21 pjj yyyx ??? pj ,2,1 ??則 的概率密度函數(shù)為 ),( 21 ?? pyyy ?y||)),(,),((),(2121121J?? ppppyyyyyyfyyyg????????????????????????????????????????????????ppppppppyxyxyxyxyxyxyxyxyxyyyxxx????????2122212121112121),(),(J特別：若 ， 其中 為 階可逆常數(shù)矩陣 ， 為 維常數(shù)向量 ， 則 bAxy ?? Apbp1||)( ?? ??? AAyxJ 1第二章 多元正態(tài)分布 167。 證：設(shè) a為任意與 X有相同維數(shù)的常數(shù)向量，則 axxEaaa ]))(([ ??????? ??]))(([ axxaE ????? ??0)]([ 2 ???? ?xaE3）設(shè) A是常數(shù)矩陣， b為常數(shù)向量，則 V(AX+b)=AV(X)A’ ； )( bAX ?V)]))[( bAbAX ???? ?E ])))[( ???? bAbAX ?AxxA ]))([( ???? ??E AxA ?? )(V 若 (x1,x2,… ， xp)’ 和 (y1,y2,… ， yp)分別是 p和 q維隨機(jī) 向量 ， A和 B為常數(shù)矩陣 ，則 ByxAByAx ?? ),(),( C ovC ov),( ByAxC ov證}])() ] [ (({ [ ( ???? xBBxxAAx EEEBxxA ????? ]))([( ??E 若 (k1,k2,… ， kp)是 n個(gè)不全為零的常數(shù)， (x1,x2,… ， xp) 是 相互獨(dú)立的 p維隨機(jī) 向量 ，則 ???? )( 21 n21 xxx nkkkV ?)()()( 22221 n21 xxx VkVkVk n??? ? 三、相關(guān)系數(shù)矩陣 若 (x1,x2,… ， xp)’ 和 (y1,y2,… ， yp)分別是 p和 q維隨機(jī) 向量 ，則其相關(guān)系數(shù)矩陣為 ???????????????),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111qpppqqyxyxyxyxyxyxyxyxyx????????????????yx。 ? 對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行分類(lèi)研究 、 分類(lèi)處理 、 構(gòu)造分類(lèi)模式 ? 主要方法：聚類(lèi)分析 、 判別分析等 ? 建立經(jīng)濟(jì)模型和利用模型進(jìn)行外推 ? 主要方法：預(yù)測(cè)模型－－回歸分析方法 描述模型－－聚類(lèi)分析方法 ? 研究時(shí)間序列變化趨勢(shì) ? 主要方法：時(shí)間序列分析方法 、 馬爾科夫概型分析分析方法等 ? 研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間相互關(guān)系 ? 主要方法：典型相關(guān)分析 Selecting a Multivariate Technique In selecting an appropriate multivariate technique, the analyst must evaluate the theoretical nature of the problem and determine if the objective is to assess a dependence relationship (predictive) or is an interdependence approach (structure s