20xx年全國(guó)中考數(shù)學(xué)壓軸題全析全解2-wenkub.com
2024-08-18 10:40 本頁(yè)面
【正文】 ． （ 2）將三角板 DEF 由圖 1 所示的位置繞點(diǎn) O 沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 ? ．其中 0 90??? ，問(wèn) APCQ 1（湖北宜昌課改卷）如圖，點(diǎn) O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A（ n， 0） 是 x 軸上一動(dòng)點(diǎn) (n＜ 0）以AO 為一邊作矩形 AOBC，點(diǎn) C 在第二象限，且 OB＝ 2OA．矩形 AOBC 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得矩形 AGDE．過(guò)點(diǎn) A 的直線 y＝ kx＋ m 交 y 軸于點(diǎn) F， FB＝ FA．拋物線 y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn) E、 F、 G 且和直線 AF 交于點(diǎn) H，過(guò)點(diǎn) H 作 HM⊥ x 軸，垂足為點(diǎn) M． （ 1）求 k 的值； （ 2）點(diǎn) A 位置改變時(shí)，△ AMH 的面積和矩形 AOBC 的面積的比值是否改變？說(shuō)明你的理由． [解 ] （ 1）根據(jù)題意得到： E（ 3n， 0）， G（ n，－ n） 當(dāng) x＝ 0 時(shí)， y＝ kx＋ m＝ m，∴點(diǎn) F 坐標(biāo)為（ 0， m） ∵ Rt△ AOF 中， AF2＝ m2＋ n2， ∵ FB＝ AF， yxOMHGFEDC BA 第 11 頁(yè) 共 18 頁(yè) ∴ m2＋ n2＝ (2n－ m)2， 化簡(jiǎn)得： m＝－ ， 對(duì)于 y＝ kx＋ m，當(dāng) x＝ n 時(shí)， y＝ 0， ∴ 0＝ kn－ ， ∴ k＝ （ 2）∵拋物線 y=ax2+bx+c 過(guò)點(diǎn) E、 F、 G， ∴ ??????????????cbannban39022 解得： a＝ n41 ， b＝－ 21 ， c＝－ ∴拋物線為 y= n41 x2－ 21 x－ 解方程組：??????????nxynxxny 2 得： x1＝ 5n， y1＝ 3n； x2＝ 0， y2＝－ ∴ H 坐標(biāo)是：（ 5n， 3n）， HM＝－ 3n， AM＝ n－ 5n＝－ 4n， ∴△ AMH 的面積＝ HM AM＝ 6n2； 而矩形 AOBC 的面積＝ 2n2，∴△ AMH 的面積∶矩形 AOBC 的面積＝ 3:1，不隨著點(diǎn) A的位置的改變而改變． [點(diǎn)評(píng) ]本題是比較傳統(tǒng)的二次函數(shù)型綜合題，第 2小題是一個(gè)很典型的定值問(wèn)題，考察學(xué)生的探究能力。 1（河南卷）二次函數(shù) 218yx? 的圖象如圖所示，過(guò) y 軸上一點(diǎn) ? ?02M ， 的直線與拋物線交于 A ， B 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A ， B 分別作 y 軸的垂線，垂足分別為 C ， D ． 圖 24 E C B A D F G H M Q N O P T 圖 25 E C B A D F G H M Q N O P T 圖 26 E C B A D F G H K Q N O P R S M 圖 23 E C B A D F G H M Q N O P K S T 圖 22 E C B A D F G H M Q N O P 圖 21 E C B A D F G H M Q N O P 第 4 頁(yè) 共 18 頁(yè) （ 1）當(dāng)點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 2? 時(shí)，求點(diǎn) B 的坐標(biāo)； （ 2）在（ 1）的情況下，分別過(guò)點(diǎn) A ， B 作 AE x⊥ 軸于 E ， BF x⊥ 軸于 F ，在 EF 上是否存在點(diǎn) P ，使 APB∠ 為直角．若存在，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （ 3）當(dāng)點(diǎn) A 在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn) A 與點(diǎn) O 不重合），求 ACBD 的值． [解 ] （ 1）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 218xx??????，其中 0x? ． 點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 2? ， 122A????????，． AC y⊥ 軸， BD y⊥ 軸， ? ?02M ， ， AC BD? ∥ ， 32MC? ， 21 28MD x??． R t R tB D M A C M? △ ∽ △． BD MDAC MC??． 即21 28 322xx ?? ． 解得 1 2x?? （舍去）， 2 8x? ． ? ?88B? ， ． （ 2）存在． 連結(jié) AP ， BP ． 由（ 1）， 12AE? ， 8BF? ， 10EF? ． 設(shè) EP a? ，則 10PF a??． AE x⊥ 軸， BF x⊥ 軸， 90APB?∠ ， AEP PFB?△ ∽ △ ． AE EPPF BF??． 1210 8aa??? ． 解得 5 21a?? ．經(jīng)檢驗(yàn) 5 21a?? 均為原方程的解． ?點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ? ?3 210? ， 或 ? ?3 210? ， ． y D B M A C O x 第 5 頁(yè) 共 18 頁(yè) （ 3）根據(jù) 題意，設(shè) 218A m m??????， 218B n n??????，不妨設(shè) 0m? ， 0n? ． 由（ 1）知 BD MDAC MC? ， 則221 28 12 8nnm m????或22128128nnm m????． 化簡(jiǎn)，得 ? ?? ?16 0m n m n? ? ?． 0mn? ≠ ， 16mn? ?? ． 16AC BD??． [點(diǎn)評(píng) ]此題是一道以二次函數(shù)為藍(lán)圖的綜合題，涉及面較廣，第 1小題較常規(guī)，第 2小題是結(jié)論存在性問(wèn)題，第 3小題有一定的難度，需學(xué)生熟練地綜合運(yùn)用代數(shù)幾何知識(shí)進(jìn)行求解。 MT=6（ x－ 1） =6x－ 6． ③當(dāng) 7≤ x≤ 時(shí)，如圖 25，設(shè) FG 與 MQ 交于 T，則 TQ=x－ 7，∴ MT=MQ－ TQ=6－（ x－ 7） =13－ x． ∴ y= MN AC＝ 12， BC＝ 16，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 邊向點(diǎn) C 以 每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng) 的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn) C 出發(fā)沿 CB 邊向點(diǎn) B以 每秒 4個(gè)單位長(zhǎng) 的速度運(yùn)動(dòng) ． P， Q 分別從點(diǎn) A， C 同時(shí)出發(fā)， 當(dāng) 其中一 點(diǎn) 到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ PCQ 關(guān)于直線 PQ對(duì)稱的圖形是△ PDQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（ 秒）． （ 1）設(shè)四邊形 PCQD 的面積為 y，求 y 與 t 的函數(shù)關(guān)系式； （ 2） t 為何值時(shí)，四邊形 PQBA 是梯形 ？ （ 3）是否存在時(shí)刻 t，使 得 PD∥ AB？若存在，求出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （ 4）通過(guò)觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時(shí)刻 t，使得 PD⊥ AB？若存在，請(qǐng)估計(jì)t 的值在括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)（ 0≤ t≤ 1； 1＜ t≤ 2； 2＜ t≤ 3； 3＜ t≤ 4）；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． [解 ] （ 1）由題意知 CQ＝ 4t， PC＝ 12－ 3t， ∴ S△ PCQ = ttCQPC 24621 2 ???? ． ∵△ PCQ 與△ PDQ 關(guān)于直線 PQ 對(duì)稱， ∴ y=2S△ PCQ tt 4812 2 ??? ． （ 2）當(dāng) CQCPCA CB? 時(shí)，有 PQ∥ AB，而 AP 與 BQ不平行， 這時(shí)四邊形 PQBA 是梯形， ∵ CA=12， CB=16， CQ＝ 4t， CP＝ 12－ 3t， ∴ 16412312 tt ?? ，解得 t＝ 2．
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