大學(xué)高數(shù)學(xué)習(xí)方法總結(jié)-資料下載頁
2025-10-31 17:29本頁面
【正文】 x=(chx)^2+(shx)^2 ,(arsh x)39。 = 1/(x^2+1)^(1/2)arch x = ln[ x+(x^21)^(1/2)] ,(arch x)39。 = 1/(x^21)^(1/2)arth x =(1/2)[ ln(1+x)/(1x)],(arth x)39。 = 1/(1x^2)我只記得考了幾個(gè)這里的公式，不過不記得是哪次考試了，所以就給你們寫上咯∞，f(x)/g(x)的極限，f(x)和g(x)均為多項(xiàng)式時(shí)，分子分母同時(shí)除以其中x的最高次項(xiàng)，利用x趨近于∞時(shí)，由1/(x^k)的極限為0（k0）,可以求得結(jié)果。：夾逼準(zhǔn)則:證明極限存在并求得極限單調(diào)有界準(zhǔn)則：僅用于證明極限存在，對(duì)于有遞推式的數(shù)列比較常用。一般都是先根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則證明極限存在 P54例3 P55例5 ：（1）當(dāng)x趨近于0時(shí)，sinx/x的極限等于1（2）當(dāng)x趨近于∞時(shí)，（1+1/x）^x的極限為e,也可以說當(dāng)x趨近于0時(shí)，(1+x)^(1/x)的極限為e,但是不能說當(dāng)x趨近于0時(shí)，（1+1/x）^（1+在x趨近于∞或0時(shí)，該部分極限為0），指數(shù)部分為∞ ：b/a的極限為0，則稱b是比a高階的無窮小，b=o(a)b/a的極限為∞，則稱b是比a低階的無窮小 b/a的極限為常數(shù)，則為同階無窮小，常數(shù)為1，為等價(jià)無窮小，記作a~b b/a^k的極限為常數(shù)（k0）,則稱b是a的k階無窮小 ：Sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x1cosx~(1/2)x^2ln(1+x)~xe^x1~xa^x1~xlna(1+x)^a1~ax(1+ax)^b1~abxtanxx~(1/3)x^3xsinx~(1/6)x^3loga(x+1)~x/lna加減運(yùn)算時(shí)不能用等價(jià)無窮小，乘除的時(shí)候可以。如P61例5 ：函數(shù)f(x)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件為f(x)在該點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù)。函數(shù)的各種間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的條件要記住。我們上一年有考這種題。P64P68 。如果函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)處連續(xù)。逆命題不成立。： P9697初等函數(shù)的求導(dǎo)法則。反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。：X ln(1+x)的n階導(dǎo)=[(1)^(n1)](n1)!/(1+x)^nsinkx=(k^n)sin(kx+nπ/2)coskx=(k^n)cos(kx+nπ/2)1/x=[(1)^n]n!/[x^(n+1)]x^a=a(a1)…(an+1)x^(an)a^x=a^x(lna)^ne^x=e^xlnx=[(1)^(n1)](n1)!/x^n1/(ax+b)=[(1)^n]n!a^n/[(ax+b)^(n+1)]u(ax+b)=a^n(ax+b)u(n)u(n)為u的n階導(dǎo)cu(x)=cu(x)(n)u(x)(n)為u(x)的n階導(dǎo)u(x)+v(x)=u(x)(n)+v(x)(n)v(x)(n)為v(x)的n階導(dǎo)x^n=n!x^n的（n+1）階導(dǎo)為0 至于萊布尼茨公式，我也不知道考不考，要是不放心還是背會(huì)吧，同情你們。：求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將確定隱函數(shù)的方程兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)。（1）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：注意x=e^(lnx)的化簡(jiǎn)（2）參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)和二階導(dǎo)的公式都要記住。（3）極坐標(biāo)表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：同參數(shù)都需把公式記住或者自己會(huì)推導(dǎo)。（4）相關(guān)變化率：以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，看一下書上的例題P111112。：重要熟記基本初等函數(shù)的微分公式，考試會(huì)考，而且同求導(dǎo)法則一樣，在下學(xué)期的高數(shù)中可能會(huì)有用。P117應(yīng)用題中，可用微分 dA近似代替△A。復(fù)合函數(shù)的微分：dy=f’(u)du ：L(x)=f(x0)+f’(x0)(xx0)稱為f(x)在點(diǎn)x0處的線性化。近似式f(x)≈L(x)稱為f(x)在點(diǎn)x0處的標(biāo)準(zhǔn)線性近似，點(diǎn)x0稱為該近似的中心。常用函數(shù)在x=0處的標(biāo)準(zhǔn)線性近似公式：（1+x）^(1/n)≈1+x/n sinx~x(x為弧度)tanx~x(x為弧度)e^x~1+x ln(1+x)~x 常用于估計(jì)某式的近似值。15,誤差計(jì)算： P123表格，羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。這些定理的條件以及結(jié)論均需記住，會(huì)考。：0/0型：當(dāng)x趨近于a時(shí)，函數(shù)f(x)及g(x)都趨于0在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)均存在，且g’(x)不等于0 X趨近于a時(shí)，f’(x)/g’(x)存在或?yàn)闊o窮大則有x趨近于a時(shí)，f(x)/g(x)的極限與f’(x)/g’(x)的極限相等 ∞/∞型：當(dāng)x趨近于∞時(shí)，函數(shù)f(x)及g(x)都趨于0對(duì)于充分大的|x|，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)均存在，且g’(x)不等于0 X趨近于∞時(shí)，f’(x)/g’(x)存在或?yàn)闊o窮大則有x趨近于∞時(shí)，f(x)/g(x)的極限與f’(x)/g’(x)的極限相等 0*∞型：化為0/0或者∞/∞型來計(jì)算 ∞∞型：通分化為0/0型來計(jì)算0^0,1^∞, ∞^0型：可先化為以e為底的指數(shù)函數(shù)，再求極限 X趨近于a時(shí)，lnf(x)的極限為A可化為X趨近于a時(shí)，f(x)的極限等于e^(lnf(x))的極限等于e^(x趨近于a時(shí)，lnf(x)的極限)等于A。P141 ：e^x=1+x+x^2/2!+…+x^n/n!+o(x^n)sinx=xx^3/3!+x^5/5!…+[(1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)！+o(x^(2n+2))cosx=1x^2/2!+x^4/4!x^6/6!+…+[(1)^n]x^(2n)/(2n)!+o(x^(2n+1))ln(1+x)=xx^2/2+x^3/3…+[(1)^(n1)]x^n/n+o(x^n)1/(1x)=1+X+x^2+…+x^n+o(x^n)(1+x)^m=1+mx+[m(m1)/2!]x^2+…+[m(m1)…(mn+1)/n!]x^n+o(x^n)泰勒公式和麥克勞林公式的一般形式也要記住。我們上一年有考過一題，不過不記得是啥題了。，可能會(huì)用到：tan(x/2)=(1cosx)/sinx1+(tanx)^2=(secx)^21+(cotx)^2=(cscx)^2 和差化積公式：sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(xy)/2]sinxsiny=2cos[(x+y)/2]sin[(xy)/2]cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(xy)/2]cosxcosy=2sin[(x+y)/2]sin[(xy)/2] 積化和差公式：sinxcosy=1/2[sin(x+y)+sin(xy)]cosxsiny=1/2[sin(x+y)sin(xy)]cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(xy)]sinxsiny=1/2[cos(x+y)cos(xy)] 補(bǔ)充兩個(gè)公式：（1）x^n1=(x1)[x^(n1)+x^(n2)+…+x+1]（2）n^(1/n)1=(n1)/[1+n^(1/n)+n^(2/n)+…+n^((n1)/n)]
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