【導(dǎo)讀】元素與集合的關(guān)系。集合12{,,,}naaa的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有2n–1個(gè)；非空子集有2n–1個(gè)；非空的。二次函數(shù)的解析式的三種形式。常有以下轉(zhuǎn)化形式。kfkf不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必。要而不是充分條件.特別地,方程)0(02????acbxax有且只有一個(gè)實(shí)根在),(21kk內(nèi),等價(jià)。閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。qp,上的最值只能在abx2??處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取。定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)。的子區(qū)間L（形如????cbxaxxf恒成立的充要條件是00. 常見結(jié)論的否定形式。小于不小于至多有n個(gè)至少有（1n?四種命題的相互關(guān)系。，則p是q必要條件.，則p是q充要條件.也是減函數(shù);如果函。在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù))]([xgfy?奇偶函數(shù)的圖象特征。恒成立,則函數(shù))(xf的對(duì)稱軸是函數(shù)

　　

【正文】 y ? , 2( , ) 0f x y ? 的交點(diǎn)的曲線系方程是 12( , ) ( , ) 0f x y f x y???(? 為參數(shù) ). (2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程 221xya k b k????,其中 22max{ , }k a b? .當(dāng) 22min{ , }k a b? 時(shí) ,表示橢圓 。 當(dāng) 2 2 2 2m in{ , } m a x { , }a b k a b??時(shí) ,表示雙曲線 . ? 直線與圓錐曲線相交的弦長公式 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y? ? ? ?或 2 2 2 22 1 1 2 1 2( 1 ) ( ) | | 1 ta n | | 1 tA B k x x x x y y c o??? ? ? ? ? ? ? ? ? （弦端點(diǎn) A ),(),( 2211 yxByx 由方程??? ??? 0)y,x(F bkxy 消去 y得到 02 ??? cbxax ， 0?? ,? 為直線 AB 的傾斜角， k 為直線的斜率） . ? 涉及到曲線上的 點(diǎn) A， B 及線段 AB 的中點(diǎn) M 的關(guān)系時(shí)，可以利用“點(diǎn)差法：，比如在橢圓中：高考公式大全 第 20 頁 共 32 頁 202095 1 1 2 22211222222222201 2 1 2221 2 1 2 0( , ) , ( , ) , M ( 0 , 0) , :1 ( 1 )1 ( 2)( 1 ) ( 2) ( ) ( )A x y B x y x yxyabxyabxy y x x bbx x y y a y a??????? ? ? ? ? ? ? ???中 點(diǎn) 則 有 ? 圓錐曲線的兩類對(duì)稱問題 （ 1）曲線 ( , ) 0F x y ? 關(guān)于點(diǎn) 00( , )Px y 成中心對(duì)稱的曲線是 00( 2 , 2 ) 0F x x y y??. （ 2）曲線 ( , ) 0F x y ? 關(guān)于直線 0Ax By C? ? ? 成軸對(duì)稱的曲線是 2 2 2 22 ( ) 2 ( )( , ) 0A A x B y C B A x B y CF x yA B A B? ? ? ?? ? ???. ? “四線”一方程 對(duì)于一般的二次曲線 22 0Ax Bx y C y D x Ey F? ? ? ? ? ?，用 0xx代 2x ，用 0yy代 2y ，用 002xy xy?代 xy ，用 02xx?代 x ，用 02yy?代 y 即得方程 0 0 0 000 02 2 2x y x y x x y yA x x B C y y D E F? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到 . 立體幾何 109． 證明直線與直線的平行的思考途徑 （ 1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)； （ 2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行； （ 3）轉(zhuǎn)化為線面平行； （ 4）轉(zhuǎn)化為線面垂直； （ 5）轉(zhuǎn)化為面面平行 . 110．證明直線與平面的平行的思考途徑 （ 1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)； （ 2）轉(zhuǎn)化為線線平行； （ 3）轉(zhuǎn)化為面 面平行 . 111．證明平面與平面平行的思考途徑 （ 1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)； （ 2）轉(zhuǎn)化為線面平行； （ 3）轉(zhuǎn)化為線面垂直 . 112．證明直線與直線的垂直的思考途徑 （ 1）轉(zhuǎn)化為相交垂直； （ 2）轉(zhuǎn)化為線面垂直； （ 3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直； （ 4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直 . 113．證明直線與平面垂直的思考途徑 （ 1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直； 高考公式大全 第 21 頁 共 32 頁 202095 （ 2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直； （ 3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行； （ 4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面； （ 5）轉(zhuǎn)化為 該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直 . 114．證明平面與平面的垂直的思考途徑 （ 1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角； （ 2）轉(zhuǎn)化為線面垂直 . (1)加法交換律： a＋ b=b＋ a． (2)加法結(jié)合律： (a＋ b)＋ c=a＋ (b＋ c)． (3)數(shù)乘分配律：λ (a＋ b)=λ a＋λ b． 始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量 . 對(duì)空間任意 兩個(gè)向量 a、 b(b≠ 0 )， a∥ b? 存在實(shí)數(shù)λ使 a=λ b． P A B、 、 三點(diǎn)共線 ? ||AP AB ? AP tAB? ? (1 )O P t O A tO B? ? ?. ||AB CD ? AB 、 CD 共線且 AB CD、 不共線 ? AB tCD? 且 AB CD、 不共線 . 向量 p 與兩個(gè)不共線的向量 a、 b 共面的 ? 存在實(shí)數(shù)對(duì) ,xy,使 p ax by??． 推論 空間一點(diǎn) P 位于平面 MAB 內(nèi)的 ? 存在有序?qū)崝?shù)對(duì) ,xy,使 MP xMA yMB??， 或?qū)臻g任一定點(diǎn) O，有序?qū)崝?shù)對(duì) ,xy，使 O P O M x M A y M B? ? ?. O 和不共線的三點(diǎn) A、 B、 C，滿足 O P xO A yO B zO C? ? ?（ x y k? ? ? ），則當(dāng) 1k? 時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn) O ，總有 P、 A、 B、 C 四點(diǎn) 共面；當(dāng) 1k? 時(shí)，若 O? 平面 ABC，則 P、 A、 B、C 四點(diǎn) 共面；若 O? 平面 ABC，則 P、 A、 B、 C 四點(diǎn)不 共面． C AB、 、 、 D 四點(diǎn)共面 ? AD 與 AB 、 AC 共面 ? AD xAB y AC??? (1 )O D x y O A x O B y O C? ? ? ? ?（ ? 平面 ABC） . 如果三個(gè)向量 a、 b、 c 不共面，那么對(duì)空間任一向量 p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x， y， z，使 p＝ xa＋ yb＋ zc． 推論 設(shè) O、 A、 B、 C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn) P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) x， y， z，使O P xO A yO B zO C? ? ?. 已知向量 AB =a 和軸 l ， e 是 l 上與 l 同方向的 單位向量 .作 A 點(diǎn)在 l 上的射影 39。A ，作 B 點(diǎn)在 l 上的射影39。B ，則 39。39。 | | cosAB AB? 〈 a， e〉 =a e 設(shè) a＝ 1 2 3( , , )a a a ， b＝ 1 2 3( , , )b b b 則 (1)a＋ b＝ 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b? ? ?； (2)a－ b＝ 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b? ? ?； (3)λ a＝ 1 2 3( , , )a a a? ? ? (λ∈ R)； (4)a b＝ 1 1 2 2 3 3a b a b a b??； A 1 1 1( , , )x y z ， B 2 2 2( , , )x y z ，則 AB OB OA??= 2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z? ? ?. 124．空間的 線線平行或垂直 高考公式大全 第 22 頁 共 32 頁 202095 設(shè) 1 1 1( , , )a x y z?r ， 2 2 2( , , )b x y z?r ，則 abrrP ? ( 0)a b b???r r r r ? 121212xxyyzz???????????； ab?rr? 0ab??rr ? 1 2 1 2 1 2 0x x y y z z? ? ?. 設(shè) a＝ 1 2 3( , , )a a a ， b＝ 1 2 3( , , )b b b ，則 cos〈 a， b〉 =1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3a b a b a ba a a b b b??? ? ? ?. 推論 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )a b a b a b a a a b b b? ? ? ? ? ? ?，此即三維柯西不等式 . 126. 四面體的對(duì)棱所成的角 四面體 ABCD 中 , AC 與 BD 所成的角為 ? ,則 2 2 2 2| ( ) ( ) |c o s 2A B C D B C D AA C B D? ? ? ?? ?. 127．異面直線所成角 cos | cos , |ab? ? rr = 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2||||| | | | x x y y z zababx y z x y z??? ??? ? ? ? ?rrrr （其中 ? （ 0 90???oo）為異面直線 ab, 所成角， ,abrr分別表示異面直線 ab, 的方向向量） AB 與平面所成角 sin | || |AB marc AB m? ?? (m 為平面 ? 的法向量 ). ABC? 所在平面若 ? 與過若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另兩邊 AC ,BC 與平面 ? 成的角分別是 1? 、 2? ,AB、 為 ABC? 的兩個(gè) 內(nèi)角，則 2 2 2 2 212sin sin ( sin sin ) sinAB? ? ?? ? ?. 特別地 ,當(dāng) 90ACB??時(shí) ,有 2 2 212sin sin sin? ? ???. ABC? 所在平面若 ? 與過若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另兩 邊 AC ,BC 與平面 ? 成的角分別是1? 、 2? , 39。39。AB、 為 ABO? 的兩個(gè)內(nèi)角，則 2 2 2 39。 2 39。 212ta n ta n ( si n si n ) ta nAB? ? ?? ? ?. 特別地 ,當(dāng) 90AOB??時(shí) ,有 2 2 212sin sin sin? ? ???. l???? 的平面角 cos | || |mnarc mn? ?? 或 cos | || |mnarc mn? ?? （ m ， n 為平面 ? ， ? 的法向量） . 設(shè) AC 是α內(nèi)的任一條直線，且 BC⊥ AC，垂足為 C，又設(shè) AO與 AB 所成的角為 1? ， AB 與 AC 所成的角為2? ， AO 與 AC 所成的角為 ? ．則 12cos cos cos? ? ?? . 133. 三射線定理 高考公式大全 第 23 頁 共 32 頁 202095 若夾在平面角為 ? 的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角 是 1? , 2? ,與二面角的棱所成的角是θ，則有 2 2 2 21 2 1 2sin sin sin sin 2 sin sin c o s? ? ? ? ? ? ?? ? ? 。 1 2 1 2| | 180 ( )? ? ? ? ?? ? ? ? ?(當(dāng)且僅當(dāng) 90?? 時(shí)等號(hào)成立 ). 若 A 1 1 1( , , )x y z ， B 2 2 2( , , )x y z ，則 ,ABd =||AB AB AB?? 2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z? ? ? ? ? ?. Q 到直線 l 距離 221 ( | || |) ( )||h a b a ba? ? ?(點(diǎn) P 在直線 l 上，直線 l 的方向向量 a=PA ，向量 b=PQ ). ||||CD nd n?? ( 12,ll是兩異面直線，其公垂向量為 n ， CD、 分別是 12,ll上任一點(diǎn)， d 為 12,ll間的距離 ). B 到平面 ? 的距離 ||||AB nd n?? （ n 為平面 ? 的法向量， AB 是經(jīng)過面 ? 的一條斜線， A?? ） . 公式 2 2 2 2 c o sd h m n m n ?? ? ?. 2 2 2 39。2 c o s ,d h m n m n E A A F? ? ? ?. 2 2 2 2 c o sd h m n m n ?? ? ? ?（ 39。E AA F? ? ? ? ） . (兩條異面直線 a、 b 所成的角為θ，其公垂線段 39。AA 的長度為 a、 b 上分別取兩點(diǎn) E、 F，39。AE m? ,AF n? ,EF d? ). 2 2 22( ) 2 2 2a b c a b c a b b c c a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 | | | | c o s , 2 | | | | c o s , 2 | | | | c o s ,a b c a b a b b c b c c a c a? ? ? ? ? ? ? ? ? 140. 長度為 l 的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為 1 2 3l l l、 、 ，夾角分別為1 2 3? ? ?、 、 ,則有 2 2 2 21 2 3l l l l? ? ? 2 2 21 2 3c os c os c os 1? ? ?? ? ? ?2 2 21 2