【導(dǎo)讀】問題1：線段EF和EG有何關(guān)系？請(qǐng)解決你提出的問題。剪成一個(gè)長方形紙板。嘉興）如圖，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，M，N分別是位于公。在哪一段路上距離村莊N越來越近，而離村莊M卻越來越遠(yuǎn)？（分別用文字表述你的結(jié)論，根據(jù)垂線段最短，分別作垂線即可；非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于兩直角，則這兩直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。后與歐式幾何的前四個(gè)公設(shè)結(jié)合成一個(gè)公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這種幾何學(xué)被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。命題，在羅氏幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。垂直于同一直線的兩條直線互相平行。所以羅氏幾何中的一些幾何事實(shí)沒有像歐式幾何那。一致贊美，他本人則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。

　　

【正文】 大范圍分析的工具。在 系統(tǒng)理論 、對(duì)策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論中拓?fù)鋵W(xué)也都有重要應(yīng)用。 托姆以微分拓?fù)鋵W(xué)中微分映射的奇點(diǎn)理論為基礎(chǔ)創(chuàng)立了 突變理論 ，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學(xué)模式。在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、語言學(xué)等方面已有不少應(yīng)用 歐拉的多面體公式與曲面的分類 歐拉的多面體公式與曲面的分歐拉發(fā)現(xiàn)， 除了通過各數(shù)學(xué)分支的間接的影響外，拓?fù)鋵W(xué)的概念和方法對(duì)物理學(xué) (如液晶結(jié)構(gòu)缺陷的分類 )、化學(xué)（如分子的拓?fù)錁?gòu)形）、生物學(xué) (如 DNA 的環(huán)繞、 拓?fù)洚悩?gòu)酶 )都有直接的應(yīng)用。 拓?fù)鋵W(xué)與各數(shù)學(xué)領(lǐng)域、各科學(xué)領(lǐng)域之間的邊緣性研究方興未艾。 參考書目 江澤涵 著：《拓?fù)鋵W(xué)引論》，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，上海， 1978。 著，孫以豐譯：《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)》，北京大學(xué)出版社，北京，上有七座橋（見 圖論 ）。 1983。(， basic Topology，是 20 世紀(jì)理論數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個(gè)明顯特征。 McGrawHill， London， 1979.) and ， Foundations of Algebraic Topology，又相繼出現(xiàn)了微分拓?fù)鋵W(xué)、 幾何拓?fù)鋵W(xué) 等分支。 Princeton Univ. Press， Princeton，后者則成為 代數(shù)拓?fù)鋵W(xué) 。 1952. ，現(xiàn)在前者已演化成一般拓?fù)鋵W(xué)， 吳從炘 、 吳讓泉 譯：《一般拓?fù)鋵W(xué)》，科學(xué)出版社 ，北京， 1982。拓?fù)鋵W(xué)又分成研究對(duì)象與方法各異的若干分支。 (， General Topology， Van Nostrand， New York， 1955.) 熊金城 呂杰 譚楓譯：《拓?fù)鋵W(xué)（原書第 2版）》原書名 Topology (2nd Edition) 原出版社 Prentice Hall/Pearson 作 者（美） James 出版社 機(jī)械工業(yè)出版社 本書最大的特點(diǎn)在于概念引入自然，循序漸進(jìn)。對(duì)于疑難的推理證明，將其分解為簡化的步驟，不給讀者留下疑惑。 編輯本段 初等實(shí)例 柯尼斯堡的七橋問題 （一筆畫問題） 柯尼斯堡是東普魯士首府， (，普萊格爾河橫貫其中，上有七座橋（見圖論）。一個(gè)散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋只經(jīng)過一次？這個(gè) 18 世紀(jì)的智力游戲，孫以豐譯：《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)》，被 ，然后他證明這是根本辦不到的。一個(gè)網(wǎng)絡(luò)之能否一筆畫出，與線條的長短曲直無關(guān)，只決定于其中的 點(diǎn)與線 的連接方式。 參考書目 江澤涵著：《拓?fù)鋵W(xué)引論》，設(shè)想一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是用柔軟而有彈性的材料制作的，在它被彎曲、拉伸后，能否一筆畫出的性質(zhì)是不會(huì)改變的。 公式與分類 歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學(xué)模式。其頂點(diǎn)數(shù) υ、棱數(shù) e、面數(shù) ?之間總有這個(gè)關(guān)系。從這個(gè)公式可以證明正多面體只有五種（見正多面體）。在系統(tǒng)理論、對(duì)策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論中拓?fù)鋵W(xué)也都有重要應(yīng)用。值得注意的是， 如果多面體不是凸的而呈框形（圖 1），也不管框的形狀如何，總有。這說明，凸形與框形之間有比長短曲直更本質(zhì)的差別，如拓?fù)渌沟挠^念大大拓廣了經(jīng)典的拓?fù)淇臻g觀念。通俗的說法是框形里有個(gè)洞。 在連續(xù)變形下，凸體的表面可以變?yōu)榍蛎?，框的表面可以變?yōu)榄h(huán)面（輪胎面）。例如有關(guān) 不定方程 整數(shù)解數(shù)目估計(jì)的韋伊猜想和 莫德爾 猜想的證明，這兩者卻不能通過連續(xù)變形互變。在連續(xù)變形下封閉曲面有多少種不同類型？現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)已完全使用上同調(diào)的語言，怎樣鑒別它們？這曾是 19 世紀(jì)后半葉拓?fù)鋵W(xué)研究的主要問題。把曲面變形成多面體后的歐拉數(shù) υe+?在其中起著關(guān)鍵的作用（見閉曲面的分類）。 四色問題 在平面或球面上繪制地圖，并且形成了兩個(gè)新的代數(shù)學(xué)分支：同調(diào)代數(shù)與代數(shù) k 理論。有公共邊界線的區(qū)域用不同的顏色加以區(qū)別。 拓?fù)鋵W(xué)的需要大大刺激了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展，19 世紀(jì)中期，來自代 數(shù)拓?fù)涞膶诱撘呀?jīng)成為基本工具。人們從經(jīng)驗(yàn)猜想用四種顏色就足以給所有的地圖上色。證明這個(gè)猜想的嘗試，卻延續(xù)了 100 多年，到 1976 年才出現(xiàn)了一個(gè)借助于計(jì)算機(jī)的證明。著名的阿蒂亞－辛格指標(biāo)定理把算子的解析指標(biāo)與流形的示性類聯(lián)系起來，如果不是在平面上而是在輪胎面上畫地圖，四色就不夠了，就是流形上的常微分方程論。要七色才夠。用橡皮做一個(gè) 曲面模型 ，微分映射的結(jié)構(gòu) 穩(wěn)定性理論 和奇點(diǎn)理論已發(fā)展成為重要的分支學(xué)科。然后隨意扭曲，弄得山巒起伏，促進(jìn)了分析學(xué)向流形上的分析學(xué) (又稱大范圍分析學(xué) )發(fā)展。這對(duì)其上的地圖著色毫無影響，所以這顏色數(shù)也是曲面在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。 紐結(jié)問題 空間中一條自身不相交的封閉曲線，會(huì)發(fā)生打結(jié)現(xiàn)象。 3o 年代 .布勞威爾的不動(dòng)點(diǎn)定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓?fù)涠壤碚?。要問一個(gè)結(jié)能否解開（即 能否變形成平放的圓圈），或者問兩個(gè)結(jié)能否互變（例如，圖 2 中的兩個(gè)三葉結(jié)能否互變），并且不只做個(gè) 模型 試試，還要給出證明，那就遠(yuǎn)不是件容易的事了（見 紐結(jié)理論 ）。 維數(shù)問題 什么是曲線？樸素的觀念是點(diǎn)動(dòng)成線，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)也十分重要。隨一個(gè)參數(shù)（時(shí)間 ）連續(xù)變化的動(dòng)點(diǎn)所描出的軌跡就是曲線?？墒?， 1890 年竟造出一條這樣的 “曲線 ”，它填滿整個(gè)正方形！這激發(fā)了關(guān)于維數(shù)概念的深入探討，經(jīng)過 20～ 30 年才取得關(guān)鍵性的突破（見維數(shù)）。并啟示了處理微分流形的剜補(bǔ)術(shù)。 布線問題 （嵌入問題） 一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)能否布在平面上而不自相交叉？做印刷電路時(shí)自然會(huì)碰到這個(gè)問題。莫爾斯理論后來又用于拓?fù)鋵W(xué)中，圖 3 中左面的圖把一根對(duì)角線移到方形外面就可以布在平面上，但圖 4 兩個(gè)圖卻無論怎樣挪動(dòng)都不能布在平面上。把流形上光滑函數(shù)的臨界點(diǎn)的指數(shù)與流形本身的貝蒂數(shù)聯(lián)系起來， 1930 年 ，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是否能嵌入平面，為了研究黎曼流形上的測(cè)地線，就看其中是否不含有這兩個(gè)圖之一。 向量場(chǎng)問題 考慮光滑曲面上的連續(xù)的切向量場(chǎng)，即在曲面的每一點(diǎn)放一個(gè)與曲面相切的向量，并且其分布是連續(xù)的。拓?fù)鋵W(xué)的重要性，其中向量等于 0 的地方叫作奇點(diǎn)。例如，地球表面上每點(diǎn)的風(fēng)速向量就組成一個(gè)隨時(shí)間變化的切向量場(chǎng)，拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于連續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有根本意義的，而奇點(diǎn)就是當(dāng)時(shí)沒風(fēng)的地方。從直觀經(jīng)驗(yàn)看出， 拓?fù)鋵W(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系連續(xù)性與離散性這對(duì)矛盾在自然現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在著，球面上的連續(xù) 切向量場(chǎng)一定有奇點(diǎn)，區(qū)別于代數(shù)味很重的同倫論。而環(huán)面上卻可以造出沒有奇點(diǎn)的向量場(chǎng)。 進(jìn)一步分析，每個(gè)奇點(diǎn)有一個(gè) “指數(shù) ”，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)繞它一周時(shí)，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。動(dòng)點(diǎn)處的向量轉(zhuǎn)的圈數(shù)；此指數(shù)有正負(fù)，視動(dòng)點(diǎn)繞行方向與向量轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同或相反而定 (圖 5)。龐加萊發(fā)現(xiàn)， 幾何 的課題、幾何的方法取得不少進(jìn)展。球面上 切向量場(chǎng)，只要奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的，這些奇點(diǎn)的指數(shù)的代 數(shù)和（正負(fù)要相消）恒等于 2；而環(huán)面上的則恒等于 0（見曲面）。這 2 與 0 恰是那兩個(gè)曲面的歐拉數(shù)， 處理微分流形的基本方法 ──剜補(bǔ)術(shù)，這不是偶然的巧合。 不動(dòng)點(diǎn)問題 考慮一個(gè)曲面到自身的連續(xù)變換（映射），即曲面的每一點(diǎn)被移到該曲面上的新的位置，連續(xù)是指互相鄰近的點(diǎn)被移到互相鄰近的點(diǎn)。不能賦以任何微分結(jié)構(gòu)的流形又被人構(gòu)作出來，新舊位置相同的點(diǎn)叫作這變換的不動(dòng)點(diǎn)。隨后，每個(gè)不動(dòng)點(diǎn)也有個(gè) “指數(shù) ”，還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)繞它一周時(shí)， 1956 年 結(jié)構(gòu)之外，從動(dòng)點(diǎn)指向其像點(diǎn)的向量轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。同時(shí)也刺激了 代數(shù) 拓?fù)?學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。拓?fù)鋵W(xué)家們發(fā)現(xiàn)，曲面到自身的映射的不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)如果是有限的，它們的指數(shù)的代數(shù)和不會(huì)因?qū)@映射做細(xì)微的修改而改變，因而可從這映射的某些粗略的特征計(jì)算出來。特別是對(duì)于實(shí)心圓上 的映射，指數(shù)和恒為 1，所以實(shí)心圓到自身的映射總有不動(dòng)點(diǎn)。 1935 年給出了微分流形的一般定義，這類定理對(duì)于證明 數(shù)學(xué) 中各種 方程的解 的存在性非常有用（見不動(dòng)點(diǎn)理論）。 編輯本段 簡易的四色定理證明 此方法并非嚴(yán)密的邏輯，而是一般中學(xué)任課教師常用的引導(dǎo)學(xué)生理解 四色定理 的方法： 一維研究 在一維度上，需要兩種顏色就可以區(qū)分開各段。由于一維有正反兩個(gè)方向。在方向未變化的時(shí)候算同一區(qū)域， 變化一次算一個(gè)一個(gè)新的區(qū)域。而兩次就會(huì)變換回來，所以一個(gè)維度上需要用兩種色系。 而在一個(gè)閉合的圓環(huán)上，把圓環(huán)分成三部 分，每兩部分都相鄰，所以至少需要三種顏色。 總之，在一個(gè)一維的圖形中，每個(gè)區(qū)域只會(huì)與兩個(gè)區(qū)域相鄰，只需要選擇與相鄰兩個(gè)區(qū)域顏色不同的第三種顏色即可。所以三種顏色是充分的。 二維組合 在二維平面上，有兩個(gè)維度，無論是什么方向，什么形式（即使是圓心角坐標(biāo)也同理）。 畫兩個(gè)同心圓，把兩圓之間的環(huán)形截成三段，根據(jù)一維的情形，圓環(huán)需要三種顏色。而中心的小圓盤與圓環(huán)的三部分都相鄰，所以至少需要四種顏色。 三維擴(kuò)展 在三維空間上，根據(jù)七色環(huán)面 ，可以構(gòu)造一個(gè)空間的劃分，使得至少需要七種顏色才可以完 全分割。