【導讀】問題1：線段EF和EG有何關(guān)系？請解決你提出的問題。剪成一個長方形紙板。嘉興）如圖，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，M，N分別是位于公。在哪一段路上距離村莊N越來越近，而離村莊M卻越來越遠？（分別用文字表述你的結(jié)論，根據(jù)垂線段最短，分別作垂線即可；非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。側(cè)的兩個內(nèi)角的和小于兩直角，則這兩直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。后與歐式幾何的前四個公設(shè)結(jié)合成一個公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。命題，在羅氏幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。垂直于同一直線的兩條直線互相平行。所以羅氏幾何中的一些幾何事實沒有像歐式幾何那。一致贊美，他本人則被人們贊譽為“幾何學中的哥白尼”。

　　

【正文】 大范圍分析的工具。在 系統(tǒng)理論 、對策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論中拓撲學也都有重要應(yīng)用。 托姆以微分拓撲學中微分映射的奇點理論為基礎(chǔ)創(chuàng)立了 突變理論 ，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學模式。在物理學、化學、生物學、語言學等方面已有不少應(yīng)用 歐拉的多面體公式與曲面的分類 歐拉的多面體公式與曲面的分歐拉發(fā)現(xiàn)， 除了通過各數(shù)學分支的間接的影響外，拓撲學的概念和方法對物理學 (如液晶結(jié)構(gòu)缺陷的分類 )、化學（如分子的拓撲構(gòu)形）、生物學 (如 DNA 的環(huán)繞、 拓撲異構(gòu)酶 )都有直接的應(yīng)用。 拓撲學與各數(shù)學領(lǐng)域、各科學領(lǐng)域之間的邊緣性研究方興未艾。 參考書目 江澤涵 著：《拓撲學引論》，上?？茖W技術(shù)出版社，上海， 1978。 著，孫以豐譯：《基礎(chǔ)拓撲學》，北京大學出版社，北京，上有七座橋（見 圖論 ）。 1983。(， basic Topology，是 20 世紀理論數(shù)學發(fā)展中的一個明顯特征。 McGrawHill， London， 1979.) and ， Foundations of Algebraic Topology，又相繼出現(xiàn)了微分拓撲學、 幾何拓撲學 等分支。 Princeton Univ. Press， Princeton，后者則成為 代數(shù)拓撲學 。 1952. ，現(xiàn)在前者已演化成一般拓撲學， 吳從炘 、 吳讓泉 譯：《一般拓撲學》，科學出版社 ，北京， 1982。拓撲學又分成研究對象與方法各異的若干分支。 (， General Topology， Van Nostrand， New York， 1955.) 熊金城 呂杰 譚楓譯：《拓撲學（原書第 2版）》原書名 Topology (2nd Edition) 原出版社 Prentice Hall/Pearson 作 者（美） James 出版社 機械工業(yè)出版社 本書最大的特點在于概念引入自然，循序漸進。對于疑難的推理證明，將其分解為簡化的步驟，不給讀者留下疑惑。 編輯本段 初等實例 柯尼斯堡的七橋問題 （一筆畫問題） 柯尼斯堡是東普魯士首府， (，普萊格爾河橫貫其中，上有七座橋（見圖論）。一個散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋只經(jīng)過一次？這個 18 世紀的智力游戲，孫以豐譯：《基礎(chǔ)拓撲學》，被 ，然后他證明這是根本辦不到的。一個網(wǎng)絡(luò)之能否一筆畫出，與線條的長短曲直無關(guān)，只決定于其中的 點與線 的連接方式。 參考書目 江澤涵著：《拓撲學引論》，設(shè)想一個網(wǎng)絡(luò)是用柔軟而有彈性的材料制作的，在它被彎曲、拉伸后，能否一筆畫出的性質(zhì)是不會改變的。 公式與分類 歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學模式。其頂點數(shù) υ、棱數(shù) e、面數(shù) ?之間總有這個關(guān)系。從這個公式可以證明正多面體只有五種（見正多面體）。在系統(tǒng)理論、對策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論中拓撲學也都有重要應(yīng)用。值得注意的是， 如果多面體不是凸的而呈框形（圖 1），也不管框的形狀如何，總有。這說明，凸形與框形之間有比長短曲直更本質(zhì)的差別，如拓撲斯的觀念大大拓廣了經(jīng)典的拓撲空間觀念。通俗的說法是框形里有個洞。 在連續(xù)變形下，凸體的表面可以變?yōu)榍蛎?，框的表面可以變?yōu)榄h(huán)面（輪胎面）。例如有關(guān) 不定方程 整數(shù)解數(shù)目估計的韋伊猜想和 莫德爾 猜想的證明，這兩者卻不能通過連續(xù)變形互變。在連續(xù)變形下封閉曲面有多少種不同類型？現(xiàn)代代數(shù)幾何學已完全使用上同調(diào)的語言，怎樣鑒別它們？這曾是 19 世紀后半葉拓撲學研究的主要問題。把曲面變形成多面體后的歐拉數(shù) υe+?在其中起著關(guān)鍵的作用（見閉曲面的分類）。 四色問題 在平面或球面上繪制地圖，并且形成了兩個新的代數(shù)學分支：同調(diào)代數(shù)與代數(shù) k 理論。有公共邊界線的區(qū)域用不同的顏色加以區(qū)別。 拓撲學的需要大大刺激了抽象代數(shù)學的發(fā)展，19 世紀中期，來自代 數(shù)拓撲的層論已經(jīng)成為基本工具。人們從經(jīng)驗猜想用四種顏色就足以給所有的地圖上色。證明這個猜想的嘗試，卻延續(xù)了 100 多年，到 1976 年才出現(xiàn)了一個借助于計算機的證明。著名的阿蒂亞－辛格指標定理把算子的解析指標與流形的示性類聯(lián)系起來，如果不是在平面上而是在輪胎面上畫地圖，四色就不夠了，就是流形上的常微分方程論。要七色才夠。用橡皮做一個 曲面模型 ，微分映射的結(jié)構(gòu) 穩(wěn)定性理論 和奇點理論已發(fā)展成為重要的分支學科。然后隨意扭曲，弄得山巒起伏，促進了分析學向流形上的分析學 (又稱大范圍分析學 )發(fā)展。這對其上的地圖著色毫無影響，所以這顏色數(shù)也是曲面在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。 紐結(jié)問題 空間中一條自身不相交的封閉曲線，會發(fā)生打結(jié)現(xiàn)象。 3o 年代 .布勞威爾的不動點定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓撲度理論。要問一個結(jié)能否解開（即 能否變形成平放的圓圈），或者問兩個結(jié)能否互變（例如，圖 2 中的兩個三葉結(jié)能否互變），并且不只做個 模型 試試，還要給出證明，那就遠不是件容易的事了（見 紐結(jié)理論 ）。 維數(shù)問題 什么是曲線？樸素的觀念是點動成線，對拓撲學也十分重要。隨一個參數(shù)（時間 ）連續(xù)變化的動點所描出的軌跡就是曲線?？墒?， 1890 年竟造出一條這樣的 “曲線 ”，它填滿整個正方形！這激發(fā)了關(guān)于維數(shù)概念的深入探討，經(jīng)過 20～ 30 年才取得關(guān)鍵性的突破（見維數(shù)）。并啟示了處理微分流形的剜補術(shù)。 布線問題 （嵌入問題） 一個復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)能否布在平面上而不自相交叉？做印刷電路時自然會碰到這個問題。莫爾斯理論后來又用于拓撲學中，圖 3 中左面的圖把一根對角線移到方形外面就可以布在平面上，但圖 4 兩個圖卻無論怎樣挪動都不能布在平面上。把流形上光滑函數(shù)的臨界點的指數(shù)與流形本身的貝蒂數(shù)聯(lián)系起來， 1930 年 ，一個網(wǎng)絡(luò)是否能嵌入平面，為了研究黎曼流形上的測地線，就看其中是否不含有這兩個圖之一。 向量場問題 考慮光滑曲面上的連續(xù)的切向量場，即在曲面的每一點放一個與曲面相切的向量，并且其分布是連續(xù)的。拓撲學的重要性，其中向量等于 0 的地方叫作奇點。例如，地球表面上每點的風速向量就組成一個隨時間變化的切向量場，拓撲學對于連續(xù)性數(shù)學自然是帶有根本意義的，而奇點就是當時沒風的地方。從直觀經(jīng)驗看出， 拓撲學與其他學科的關(guān)系連續(xù)性與離散性這對矛盾在自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象中普遍存在著，球面上的連續(xù) 切向量場一定有奇點，區(qū)別于代數(shù)味很重的同倫論。而環(huán)面上卻可以造出沒有奇點的向量場。 進一步分析，每個奇點有一個 “指數(shù) ”，即當動點繞它一周時，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。動點處的向量轉(zhuǎn)的圈數(shù)；此指數(shù)有正負，視動點繞行方向與向量轉(zhuǎn)動方向相同或相反而定 (圖 5)。龐加萊發(fā)現(xiàn)， 幾何 的課題、幾何的方法取得不少進展。球面上 切向量場，只要奇點個數(shù)是有限的，這些奇點的指數(shù)的代 數(shù)和（正負要相消）恒等于 2；而環(huán)面上的則恒等于 0（見曲面）。這 2 與 0 恰是那兩個曲面的歐拉數(shù)， 處理微分流形的基本方法 ──剜補術(shù)，這不是偶然的巧合。 不動點問題 考慮一個曲面到自身的連續(xù)變換（映射），即曲面的每一點被移到該曲面上的新的位置，連續(xù)是指互相鄰近的點被移到互相鄰近的點。不能賦以任何微分結(jié)構(gòu)的流形又被人構(gòu)作出來，新舊位置相同的點叫作這變換的不動點。隨后，每個不動點也有個 “指數(shù) ”，還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。即當動點繞它一周時， 1956 年 結(jié)構(gòu)之外，從動點指向其像點的向量轉(zhuǎn)動的圈數(shù)。同時也刺激了 代數(shù) 拓撲 學的進一步發(fā)展。拓撲學家們發(fā)現(xiàn)，曲面到自身的映射的不動點個數(shù)如果是有限的，它們的指數(shù)的代數(shù)和不會因?qū)@映射做細微的修改而改變，因而可從這映射的某些粗略的特征計算出來。特別是對于實心圓上 的映射，指數(shù)和恒為 1，所以實心圓到自身的映射總有不動點。 1935 年給出了微分流形的一般定義，這類定理對于證明 數(shù)學 中各種 方程的解 的存在性非常有用（見不動點理論）。 編輯本段 簡易的四色定理證明 此方法并非嚴密的邏輯，而是一般中學任課教師常用的引導學生理解 四色定理 的方法： 一維研究 在一維度上，需要兩種顏色就可以區(qū)分開各段。由于一維有正反兩個方向。在方向未變化的時候算同一區(qū)域， 變化一次算一個一個新的區(qū)域。而兩次就會變換回來，所以一個維度上需要用兩種色系。 而在一個閉合的圓環(huán)上，把圓環(huán)分成三部 分，每兩部分都相鄰，所以至少需要三種顏色。 總之，在一個一維的圖形中，每個區(qū)域只會與兩個區(qū)域相鄰，只需要選擇與相鄰兩個區(qū)域顏色不同的第三種顏色即可。所以三種顏色是充分的。 二維組合 在二維平面上，有兩個維度，無論是什么方向，什么形式（即使是圓心角坐標也同理）。 畫兩個同心圓，把兩圓之間的環(huán)形截成三段，根據(jù)一維的情形，圓環(huán)需要三種顏色。而中心的小圓盤與圓環(huán)的三部分都相鄰，所以至少需要四種顏色。 三維擴展 在三維空間上，根據(jù)七色環(huán)面 ，可以構(gòu)造一個空間的劃分，使得至少需要七種顏色才可以完 全分割。