【正文】 從上面所列舉得羅氏幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有矛盾。這就是說(shuō)，非歐幾何命題可以 “ 翻譯 ” 成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒(méi)有矛盾，非歐幾何也就自然沒(méi)有矛盾。羅氏幾何 黎曼 講 “ 過(guò)直線外一點(diǎn)至少存在兩條直線和已知直線平行 ” 。 黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn) (交點(diǎn) )。在物理學(xué)家愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中的空間幾何就是黎曼幾何 。它不僅是 微分幾何 的基礎(chǔ)，也應(yīng)用在 微分方程 、 變分法 和 復(fù)變函數(shù)論 等方面。他的父親 —— 數(shù)學(xué)家鮑耶 終于在 1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了研究結(jié)果。 垂直于同一直線的兩條直線互相平行。 垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候，離散到無(wú)窮。所以羅氏幾何中的一些幾何事實(shí)沒(méi)有象歐式幾何那樣容易被接受。因此這三種幾何都是正確的。我們通常所學(xué)的立體幾何，基本也就是空間中點(diǎn)、線、平面的關(guān)系，沒(méi)有涉及到曲面。同一直線的垂線和斜線不一定相交 (可能是羅氏平行線 )。但可以在這個(gè)曲面上做過(guò)這三點(diǎn)的一個(gè)平面的投影圓。 此外： 曲面上，兩點(diǎn)間最短的線稱為這兩點(diǎn)在該曲面上的直線，則曲面上兩點(diǎn)間的直線，可以有多條。 Topology 原意為地貌，于 19 世紀(jì)中期由 科學(xué)家 引入，當(dāng)時(shí)主要研究的是出于 數(shù)學(xué)分析 的需要而產(chǎn)生的一些 幾何 問(wèn)題。 Topology 原意為地貌，于 19 世紀(jì)中期由 科學(xué)家 引入，當(dāng)時(shí)主要研究的是出于數(shù)學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些 幾何 問(wèn)題。 編輯本段 學(xué)科方向 由于連續(xù)性在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)方式與 研究方法 的多樣性，拓?fù)鋵W(xué)又分成研究對(duì)象與方法各異的若干分支。 拓?fù)鋵W(xué)也是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究幾何圖形在連續(xù)改變形狀時(shí)還能保持不變的一些特性，它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的距離和大小。例如，下面將要講的 歐拉 在解決 哥尼斯堡 七橋問(wèn)題 的時(shí)候，他畫(huà)的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考 慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)。有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來(lái)。 1736 年，有人帶著這個(gè)問(wèn)題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過(guò)一番思考，很快就用一種獨(dú)特的方法給出了解答。并且給出了所有能夠一筆畫(huà)出來(lái)的圖形所應(yīng)具有的條件。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。中國(guó) 曾邦哲 于 20 世紀(jì) 8090 年代（ 結(jié)構(gòu)論 ）將其命題轉(zhuǎn)換為 “四色定理 ”等價(jià)于 “互鄰面最大的多面體是 四面體 ”的問(wèn)題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。于是，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與 費(fèi)馬猜想 相媲美的難題。不過(guò)不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡(jiǎn)捷明快的書(shū)面證明方法。它最初是幾何學(xué)的一個(gè)分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)，現(xiàn)在已成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)分支。 連續(xù)性和離散性是自然界與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在的。 拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，它是從 圖論 演變過(guò)來(lái)的。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲饕侵竿ㄐ抛泳W(wǎng)的拓?fù)錁?gòu)型。換句話講，就是從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，它們是完全一樣的。 應(yīng)該指出，環(huán)面不具有這個(gè)性質(zhì)。在拓?fù)鋵W(xué)中 曲線 和曲面的閉合性質(zhì)也是拓?fù)湫再|(zhì)。 拓?fù)渥儞Q的不變性、不變量還有很多，這里不再介紹。拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)的概念。上世紀(jì)三十年代以后，數(shù)學(xué)家對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的研究更加深入，提出了許多全新的概念。 拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個(gè)分支。 拓?fù)鋵W(xué)在 泛函分析 、 實(shí)分析 、 群論 、微分幾何、 微分方程 其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。拓?fù)鋵W(xué)這個(gè)詞（中文是音譯）是 提出的 (1847)，源自 希臘 文 (位置、形勢(shì) )與 (學(xué)問(wèn) )。如 聚點(diǎn) （極限點(diǎn)）、 開(kāi)集 、 閉集 、稠密性、連通性等。在 1895～ 1904 年間，他創(chuàng)立了用剖分研究流形的基本方法。特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中， 拓?fù)鋵W(xué)的另一淵源是分析學(xué)的嚴(yán)密化。這樣， ，到 120 世紀(jì)之交，已經(jīng)形成了組合拓?fù)鋵W(xué)與點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)這兩個(gè)研究方向。 1736 年解決了 七橋問(wèn)題 ，隨后 波蘭學(xué)派 和蘇聯(lián)學(xué)派對(duì)拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。公理化的一般拓?fù)鋵W(xué)晚近的發(fā)展可見(jiàn)一般拓?fù)鋵W(xué)。 代數(shù)拓?fù)鋵W(xué) 在 1910～ 1912 年間提出了用單純映射逼近連續(xù)映射的方法， 許多重要的幾何現(xiàn)象，用以證明了不同維的歐氏空間不同胚，它們就不同胚。緊接著， 大 1915 年證明了貝蒂數(shù)與撓系數(shù)的拓?fù)洳蛔冃?。他們把代?shù)拓?fù)鋵W(xué)的基本精神概括為：把拓?fù)?問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算來(lái)求解。 同倫論研究 同倫論研究空間的以及映射的同倫分類(lèi)。同倫群的計(jì)算，特別是球面的同倫群的計(jì)算問(wèn)題刺激了拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，產(chǎn)生了豐富多彩的理論和方法。它們都是從拓?fù)涞酱鷶?shù)的過(guò)渡，就是一個(gè)廣義的幾何圖形。這些性質(zhì)與長(zhǎng)度、角度無(wú)關(guān)， .拉格朗日、 、 ；隨著代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)和 微分幾何學(xué) 的進(jìn)步， 以上這些例子啟示了： 幾何圖形 還有一些不能用傳統(tǒng)的幾何方法來(lái)研究的性質(zhì)。 1953 年 (見(jiàn) 微分拓?fù)?學(xué) )開(kāi)創(chuàng)了微分拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)并肩躍進(jìn)的局面，許多困難的微分拓?fù)鋯?wèn)題被化成代數(shù)拓?fù)?問(wèn)題而得到解決，同時(shí)也刺激了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。 1960 年 。 80 年代初的重大成果有：證明了四維龐加萊猜想，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于連續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有根本意義的，對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推進(jìn)作用。就看其中是否不含有這兩個(gè)圖之一。Eacute。樸素的觀念是點(diǎn)動(dòng)成線， 纖維叢理論 和聯(lián)絡(luò)論一起為 理論物理學(xué) 中楊－米爾斯規(guī)范場(chǎng)論（見(jiàn)楊－米爾斯理論）提供了現(xiàn)成的數(shù)學(xué)框架， 維數(shù)問(wèn)題 維數(shù)問(wèn)題 /font 什么是曲線？猶如 20 世紀(jì)初 黎曼幾何學(xué) 對(duì)于 廣義相對(duì)論 的作用。要問(wèn)一個(gè)結(jié)能否解開(kāi)（即能否變形 成平放的圓圈）， 3O 年代 德?tīng)?把 到 巴拿赫空間 形成了拓?fù)涠壤碚?。在托姆的影響下，然后隨意扭曲，微分映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論和奇點(diǎn)理論 已發(fā)展成為重要的分支學(xué)科。著名的阿蒂亞－辛格指標(biāo)定理把算子的解析指標(biāo)與流形的示性類(lèi)聯(lián)系起來(lái)，是分析學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)結(jié)合的范例。 四色問(wèn)題 在平面或球面上繪制地圖，代數(shù)幾何學(xué)從 50 年代以來(lái)已經(jīng)完全改觀。 范疇與函子的觀念，是在概括代數(shù)拓?fù)涞?方法論 時(shí)形成的。諾伊曼首先把不動(dòng)點(diǎn)定理用來(lái)證明均衡的存在性。在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等方面已有不少應(yīng)用 歐拉的多面體公式與曲面的分類(lèi) 歐拉的多面體公式與曲面的分歐拉發(fā)現(xiàn)， 除了通過(guò)各數(shù)學(xué)分支的間接的影響外，拓?fù)鋵W(xué)的概念和方法對(duì)物理學(xué) (如液晶結(jié)構(gòu)缺陷的分類(lèi) )、化學(xué)（如分子的拓?fù)錁?gòu)形）、生物學(xué) (如 DNA 的環(huán)繞、 拓?fù)洚悩?gòu)酶 )都有直接的應(yīng)用。 1983。 1952. ，現(xiàn)在前者已演化成一般拓?fù)鋵W(xué)， 吳從炘 、 吳讓泉 譯：《一般拓?fù)鋵W(xué)》，科學(xué)出版社 ，北京， 1982。 編輯本段 初等實(shí)例 柯尼斯堡的七橋問(wèn)題 （一筆畫(huà)問(wèn)題） 柯尼斯堡是東普魯士首府， (，普萊格爾河橫貫其中，上有七座橋（見(jiàn)圖論）。 公式與分類(lèi) 歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學(xué)模式。值得注意的是， 如果多面體不是凸的而呈框形（圖 1），也不管框的形狀如何，總有。例如有關(guān) 不定方程 整數(shù)解數(shù)目估計(jì)的韋伊猜想和 莫德?tīng)?猜想的證明，這兩者卻不能通過(guò)連續(xù)變形互變。有公共邊界線的區(qū)域用不同的顏色加以區(qū)別。著名的阿蒂亞－辛格指標(biāo)定理把算子的解析指標(biāo)與流形的示性類(lèi)聯(lián)系起來(lái)，如果不是在平面上而是在輪胎面上畫(huà)地圖，四色就不夠了，就是流形上的常微分方程論。這對(duì)其上的地圖著色毫無(wú)影響，所以這顏色數(shù)也是曲面在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。 維數(shù)問(wèn)題 什么是曲線？樸素的觀念是點(diǎn)動(dòng)成線，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)也十分重要。 布線問(wèn)題 （嵌入問(wèn)題） 一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)能否布在平面上而不自相交叉？做印刷電路時(shí)自然會(huì)碰到這個(gè)問(wèn)題。拓?fù)鋵W(xué)的重要性，其中向量等于 0 的地方叫作奇點(diǎn)。 進(jìn)一步分析，每個(gè)奇點(diǎn)有一個(gè) “指數(shù) ”，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)繞它一周時(shí)，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。這 2 與 0 恰是那兩個(gè)曲面的歐拉數(shù)， 處理微分流形的基本方法 ──剜補(bǔ)術(shù)，這不是偶然的巧合。即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)繞它一周時(shí)， 1956 年 結(jié)構(gòu)之外，從動(dòng)點(diǎn)指向其像點(diǎn)的向量轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。 1935 年給出了微分流形的一般定義，這類(lèi)定理對(duì)于證明 數(shù)學(xué) 中各種 方程的解 的存在性非常有用（見(jiàn)不動(dòng)點(diǎn)理論）。而兩次就會(huì)變換回來(lái)，所以一個(gè)維度上需要用兩種色系。 二維組合 在二維平面上，有兩個(gè)維度，無(wú)論是什么方向，什么形式（即使是圓心角坐標(biāo)也同理）。