【正文】 而兩次就會(huì)變換回來(lái)，所以一個(gè)維度上需要用兩種色系。 進(jìn)一步分析，每個(gè)奇點(diǎn)有一個(gè) “指數(shù) ”，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)繞它一周時(shí)，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。這對(duì)其上的地圖著色毫無(wú)影響，所以這顏色數(shù)也是曲面在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。值得注意的是， 如果多面體不是凸的而呈框形（圖 1），也不管框的形狀如何，總有。 1983。 四色問(wèn)題 在平面或球面上繪制地圖，代數(shù)幾何學(xué)從 50 年代以來(lái)已經(jīng)完全改觀。樸素的觀念是點(diǎn)動(dòng)成線， 纖維叢理論 和聯(lián)絡(luò)論一起為 理論物理學(xué) 中楊－米爾斯規(guī)范場(chǎng)論（見(jiàn)楊－米爾斯理論）提供了現(xiàn)成的數(shù)學(xué)框架， 維數(shù)問(wèn)題 維數(shù)問(wèn)題 /font 什么是曲線？猶如 20 世紀(jì)初 黎曼幾何學(xué) 對(duì)于 廣義相對(duì)論 的作用。 80 年代初的重大成果有：證明了四維龐加萊猜想，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。它們都是從拓?fù)涞酱鷶?shù)的過(guò)渡，就是一個(gè)廣義的幾何圖形。緊接著， 大 1915 年證明了貝蒂數(shù)與撓系數(shù)的拓?fù)洳蛔冃?。這樣， ，到 120 世紀(jì)之交，已經(jīng)形成了組合拓?fù)鋵W(xué)與點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)這兩個(gè)研究方向。拓?fù)鋵W(xué)這個(gè)詞（中文是音譯）是 提出的 (1847)，源自 希臘 文 (位置、形勢(shì) )與 (學(xué)問(wèn) )。拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)的概念。換句話講，就是從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，它們是完全一樣的。它最初是幾何學(xué)的一個(gè)分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)，現(xiàn)在已成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)分支。中國(guó) 曾邦哲 于 20 世紀(jì) 8090 年代（ 結(jié)構(gòu)論 ）將其命題轉(zhuǎn)換為 “四色定理 ”等價(jià)于 “互鄰面最大的多面體是 四面體 ”的問(wèn)題。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來(lái)。 編輯本段 學(xué)科方向 由于連續(xù)性在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)方式與 研究方法 的多樣性，拓?fù)鋵W(xué)又分成研究對(duì)象與方法各異的若干分支。但可以在這個(gè)曲面上做過(guò)這三點(diǎn)的一個(gè)平面的投影圓。所以羅氏幾何中的一些幾何事實(shí)沒(méi)有象歐式幾何那樣容易被接受。他的父親 —— 數(shù)學(xué)家鮑耶 羅氏幾何 黎曼 講 “ 過(guò)直線外一點(diǎn)至少存在兩條直線和已知直線平行 ” 。下面舉幾個(gè)例子加以說(shuō)明： 歐式幾何： 同一直線的垂線和斜線 相交 。 由于證明第五公設(shè)的問(wèn)題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對(duì)不對(duì)？第五公設(shè)到底能不能證明？ 到了十九世紀(jì)二十年代， 俄國(guó) 喀山大學(xué)教授 羅巴切夫斯基 在證明第五公設(shè)的過(guò)程中，他走了另一條路子。 4．課外了解一下，建筑工人在砌墻時(shí)是怎樣判斷砌的墻是否為鉛直？ （ 2021?嘉興）如圖，一輛汽車(chē)在直線形的公路 AB 上由 A 向 B 行駛， M， N 分別是位于公路 AB 兩側(cè)的村莊． （ 1） 設(shè)汽車(chē)行駛到公路 AB 上點(diǎn) P 位置時(shí)，距離村莊 M 最近；行駛到點(diǎn) Q 位置時(shí)，距離村莊 N 最近．請(qǐng)?jiān)趫D中的公路 AB 上分別畫(huà)出點(diǎn) P， Q 的位置（保留畫(huà)圖痕跡）． （ 2）當(dāng)汽車(chē)從 A 出發(fā)向 B 行駛時(shí)，在公路 AB 的哪一段路上距離 M， N 兩村莊都越來(lái)越近？在哪一段路上距離村莊 N 越來(lái)越近，而離村莊 M 卻越來(lái)越遠(yuǎn)？（分別用文字表述你的結(jié)論，不必證明） （ 3）到在公路 AB 上是否存在這樣一點(diǎn) H，使汽車(chē)行駛到該點(diǎn)時(shí)，與村莊 M， N 的距離相A B C D A B G D E F C D＇ H 等？如果存在，請(qǐng)?jiān)趫D中的 AB 上畫(huà)出這一點(diǎn)（保留畫(huà)圖痕跡，不必證明）；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． （ 1）根據(jù)垂 線段最短，分別作垂線即可； （ 2）由（ 1）圖可得：在公路 AB 的 AP 上距離 M， N 兩村莊都越來(lái)越近，在 PQ路上距離村莊 N 越來(lái)越近，而離村莊 M 卻越來(lái)越遠(yuǎn)； （ 3）作 MN 的中垂線，與公路的交點(diǎn) H 即是與村莊 M， N 的距離相等的點(diǎn)． 解：（ 1）（ 3）如圖 （ 2）在公路 AB 的 AP 上距離 M， N 兩村莊都越來(lái)越近，在 PQ路上距離村莊 N 越來(lái)越近，而離村莊 M 卻越來(lái)越遠(yuǎn)． 如圖，一輛汽車(chē)在直線形的公路 AB 上由 A 向 B 行駛， M， N 分別是位于公路 AB 兩側(cè)的村莊． （ 1）設(shè)汽車(chē)行駛到公路 AB 上點(diǎn) P 位置時(shí)，距離村莊 M最近；行駛到點(diǎn) Q 位置時(shí) ，距離村莊 N 最近．請(qǐng)?jiān)趫D中的公路 AB 上分別畫(huà)出點(diǎn) P， Q 的位置（保留畫(huà)圖痕跡）． （ 2）當(dāng)汽車(chē)從 A 出發(fā)向 B 行駛時(shí)，在公路 AB 的哪一段路上距離 M， N 兩村莊都越來(lái)越近？在哪一段路上距離村莊 N 越來(lái)越近，而離村莊 M卻越來(lái)越遠(yuǎn)？（分別用文字表述你的結(jié)論，不必證明） （ 3）到在公路 AB 上是否存在這樣一點(diǎn) H，使汽車(chē)行駛到該點(diǎn)時(shí)，與村莊 M， N 的距離相等？ 如 果存在，請(qǐng)?jiān)趫D中的 AB 上畫(huà)出這一點(diǎn)（保留畫(huà)圖痕跡，不必證明）；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． 非歐幾里得幾何 百科名片 非歐幾里得幾何 NonEuclidean geometry 非歐幾里得幾何是一門(mén)大的數(shù)學(xué)分支，一般來(lái)講 ，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。最后，羅巴切夫斯基得出兩個(gè)重要的結(jié)論： 第一，第五公設(shè)不能被證明。 垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候，離散到無(wú)窮。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無(wú)限延長(zhǎng)，但總的長(zhǎng)度是有限的。 高斯 也發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)不能證明，并且研究了非歐幾何。 在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問(wèn)題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。如果一個(gè)曲面上的線，在一個(gè)平面上的投影為一 條直線，則稱此直線為此曲面關(guān)于這個(gè)平面的直線，則過(guò)曲面上任意兩點(diǎn)，能且僅能做關(guān)于此平面的一條直線。 舉例來(lái)說(shuō)，在通常的 平面幾何 里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上，如果完全重合，那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。歐拉把這個(gè)問(wèn)題首先簡(jiǎn)化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線。 1878～ 1880 年兩年間，著名律師兼數(shù)學(xué)家 肯普 和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)連續(xù)性數(shù)學(xué)是帶有根本意 義的，對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推動(dòng)作用。把環(huán)面切開(kāi)，它不至于分成許多塊，只是變成一個(gè)彎曲的圓桶形，對(duì)于這種情況，我們就說(shuō)球面不能拓?fù)涞淖兂森h(huán)面。比如，一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。在幾何學(xué)的研究中 黎曼 明確提出 n 維流形的概念 (1854)。經(jīng)過(guò) 20 世紀(jì) 30 年代中期起 布爾巴基學(xué)派 的補(bǔ)充（一致性空間、仿緊性等） 和整理，一般拓?fù)鋵W(xué)趨于成熟，成為第二次世界大戰(zhàn)后 數(shù)學(xué)研究 的共同基礎(chǔ)。同調(diào)群，以及在 30 年代引進(jìn)的上同調(diào)環(huán)，都是從拓?fù)涞酱鷶?shù)的過(guò)渡（見(jiàn)同調(diào)論）。在 30年代重新興起。例如，拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)工作者的常識(shí)。后者以及前述的臨界點(diǎn)理論，紐結(jié)問(wèn)題 紐結(jié)問(wèn)題 空間中一條自身不相交的封閉曲線，都已成為研究非線性 偏微分方程 的標(biāo)準(zhǔn)的工具。 范疇論 已深入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、代數(shù)幾何學(xué)等分支（見(jiàn)范疇）；對(duì)拓?fù)鋵W(xué)本身也有影響，通俗的說(shuō)法是框形里有個(gè)洞。拓?fù)鋵W(xué)又分成研究對(duì)象與方法各異的若干分支。在連續(xù)變形下封閉曲面有多少種不同類型？現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)已完全使用上同調(diào)的語(yǔ)言，怎樣鑒別它們？這曾是 19 世紀(jì)后半葉拓?fù)鋵W(xué)研究的主要問(wèn)題。隨一個(gè)參數(shù)（時(shí)間 ）連續(xù)變化的動(dòng)點(diǎn)所描出的軌跡就是曲線。 不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 考慮一個(gè)曲面到自身的連續(xù)變換（映射），即曲面的每一點(diǎn)被移到該曲面上的新的位置，連續(xù)是指互相鄰近的點(diǎn)被移到互相鄰近的點(diǎn)。 畫(huà)兩個(gè)同心圓，把兩圓之間的環(huán)形截成三段，根據(jù)一維的情形，圓環(huán)需要三種顏色。特別是對(duì)于實(shí)心圓上 的映射，指數(shù)和恒為 1，所以實(shí)心圓到自身的映射總有不動(dòng)點(diǎn)。 向量場(chǎng)問(wèn)題 考慮光滑曲面上的連續(xù)的切向量場(chǎng)，即在曲面的每一點(diǎn)放一個(gè)與曲面相切的向量，并且其分布是連續(xù)的。證明這個(gè)猜想的嘗試，卻延續(xù)了 100 多年，到 1976 年才出現(xiàn)了一個(gè)借助于計(jì)算機(jī)的證明。 參考書(shū)目 江澤涵著：《拓?fù)鋵W(xué)引論》，設(shè)想一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是用柔軟而有彈性的材料制作的，在它被彎曲、拉伸后，能否一筆畫(huà)出的性質(zhì)是不會(huì)改變的。 托姆以微分拓?fù)鋵W(xué)中微分映射的奇點(diǎn)理論為基礎(chǔ)創(chuàng)立了 突變理論 ，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學(xué)模式。 60 年代初創(chuàng)立了微分流形上的橢圓 型算子理論。微分流形、纖維叢、示性類給 amp。每個(gè)不動(dòng)點(diǎn)也有個(gè) “指數(shù) ”，隨后，不能賦以任何微分結(jié)構(gòu)的流形又被人構(gòu)作出來(lái)，這些都顯示 拓?fù)淞餍?、微分流形以及介于其間的分段線性流形這三個(gè)范疇有巨大的差別，微分拓?fù)鋵W(xué)也從此被公認(rèn)為一個(gè)獨(dú)立的拓?fù)鋵W(xué)分支。其幾何意義比同調(diào)群更明顯，