【正文】 今天這一節(jié)課我們要做一節(jié)有關(guān)數(shù)的整除的綜合復(fù)習(xí)課，大家看到課前我在黑板上零零散散的貼出了這么多卡片，那么這些卡片上寫的都是有關(guān)數(shù)的整除中的一些有關(guān)數(shù)的概念，那么我不知道當(dāng)我們把這些知識學(xué)完以后，今天的復(fù)習(xí)第一件事我們能不能根據(jù)這些有關(guān)數(shù)的概念它的意義和他們之間的聯(lián)系，把這些零零散散的概念做一次梳理，你認(rèn)為哪個概念最重要你可以舉例說明也可以呢根據(jù)他內(nèi)在的聯(lián)系和你認(rèn)為他的數(shù)學(xué)概念把它整理一個比較系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)圖，這事原來干過嗎？沒干過。今天我們一起來試一試好不好!我不知道你們怎么分組，四人以小組還是怎么樣分你們自己結(jié)合好不好？你認(rèn)為哪個概念最重要它的概念下面又可以派生出哪些新的概念，那我們把這些做一個整理，好嗎？把時間先給同學(xué)們，下面就自愿結(jié)合按照你們的老規(guī)矩，開始。學(xué)生分組整理 小組匯報生1：我們小組覺得整除是最重要的。師：整除最重要是嗎？那么整除最重要的你要把它先第一個出來是嗎？那這樣我就先把它放在最重要的位置。生1：整除它還可以分為奇數(shù)和偶數(shù)。師：整除還可以分為奇數(shù)和偶數(shù)？奇數(shù)和偶數(shù)是從整除這個角度去分的嗎？同學(xué)們搖頭呢！有意見呢！你選一位同學(xué)。生1：趙俊藝師：趙俊藝有不同看法。生2：我覺得整除它可以分為因數(shù)和倍數(shù)。師：你為什么在整除下面分得出因數(shù)和倍數(shù)？生2：因?yàn)檎粋€數(shù)，因數(shù)然后乘以倍數(shù)等于一個數(shù)，那么這個數(shù)可以除以因數(shù)等于倍數(shù)。師：那么我的問題是，假如說數(shù)a能夠被數(shù)b整除的話，那么想一想數(shù)a和數(shù)b一定有一個什么樣的關(guān)系？你同意嗎？ 生2：同意師：誰是誰的倍數(shù)？ 生2：a是b的倍數(shù) 師：接著生2：b是a的因數(shù) 師：你們同意這意見嗎？ 生：同意師：她的意見說在整除的前提下一定會產(chǎn)生一種概念，什么？ 師生齊聲：因數(shù)和倍數(shù)師：你為什么不同意她的意見呢？她說把奇數(shù)和偶數(shù)分出來就行了，你們可以有些討論嗎？生2：我覺得偶數(shù)和奇數(shù)應(yīng)該不算在整除里面，它應(yīng)該是數(shù)的名稱。師：偶數(shù)和奇數(shù)是在什么前提下產(chǎn)生的？它跟誰有關(guān)系？跟整除有關(guān)系沒錯，在具體點(diǎn)，我們怎么確定這個概念呢？是跟整除有關(guān)系，能在具體點(diǎn)嗎？在什么情況下我就認(rèn)定它是偶數(shù)了？ 生2：能被2整除的 師：接下來，說完整，老說一半 生2：能被2整除的那些自然數(shù)都是偶數(shù) 生2：不能被2整除的那么就是奇數(shù)師：那你的意思偶數(shù)和奇數(shù)一定和一個重要的數(shù)有關(guān)系，是嗎？ 師：和誰？ 生2：2 師：同意嗎？ 生：同意師：她說能被2整除的就是？ 生：偶數(shù)師：不能被2整除的就是？ 生：奇數(shù)師：那好，這樣啊，你既然提出來了這個問題我把這2先補(bǔ)充到這里好不好，我先假如說補(bǔ)充到這里，那么跟它有關(guān)系的趕快拿啊，偶數(shù)和奇數(shù) 學(xué)生拿卡片師：你認(rèn)為他們有關(guān)系，是這個意思嗎？能被2整數(shù)和不能被2整除的，對嗎？他們的關(guān)系你們同意嗎？ 生：同意師：他們認(rèn)為在整除的前提下一定有一對非常重要的概念，是什么？一起說生：倍數(shù)和因數(shù) 師：你們認(rèn)可不認(rèn)可這樣的觀點(diǎn)？ 生1：認(rèn)可師：那趕快找出來 學(xué)生找卡片師：這樣啊，既然跟它有關(guān)系我?guī)湍銈兎旁谏厦婧貌缓?粘貼卡片因數(shù)、倍數(shù)師：你們的意思就是說當(dāng)數(shù)a能被數(shù)b整除的時候，數(shù)a就是數(shù)b的倍數(shù)，那么數(shù)b就是數(shù)a的因數(shù)，是這意思嗎？ 生：是師：接下來繼續(xù)說，因數(shù)還能接著往下說嗎？ 生：有公因數(shù)和公倍數(shù)，那么趕快跳出來啊 學(xué)生找卡片師：又在下面的前提下產(chǎn)生了公因數(shù)和公倍數(shù)，你認(rèn)為應(yīng)該貼在哪里就貼下來，不同意見的趕快上來啊 學(xué)生貼卡片師：貼在著跟他有關(guān)系是不是啊，你認(rèn)為倍數(shù)和公倍數(shù)有關(guān)系，是嗎？ 師：他認(rèn)為因數(shù)公因數(shù)有關(guān)系，是嗎？還有嗎？ 生：還有最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)師：那么你們的意思就是說因數(shù)可以引出公因數(shù)這個概念，對嗎？ 生：對師：那請問什么叫公因數(shù)？生：公因數(shù)就2個數(shù)共有的因數(shù)叫做公因數(shù) 師：共有的因數(shù)對不對？ 生：對師：那什么叫最大公因數(shù)??？ 生：就是2個數(shù)最大的公因數(shù)師：幾個數(shù)公有的因數(shù)，其中最大的一個是它的什么？ 生：最大公因數(shù)師：那你們能接著把這段概念總結(jié)完嗎？生：2個數(shù)公共倍數(shù)就做公倍數(shù)，其中最小的一個就叫做最小公倍數(shù) 師：同意嗎？ 生：同意師：你們這么一說還挺有道理，的確，從因數(shù)當(dāng)中我們可以引出公因數(shù)的概念，還可以引出最大公因數(shù)的概念，是這樣吧？那么，從倍數(shù)當(dāng)中我們可以引出公倍數(shù)的概念，那么其中最小的一個是最小公倍數(shù)，有沒有意見？ 生：沒有師：接下來還有這么多的概念那，你有不同意見，那你可以上來啊。誰有的說前面來，你們現(xiàn)在都在動腦筋想啊。生：合數(shù)師：和數(shù)怎么啦？生：我覺得合數(shù)也可以貼幾個上來師：你認(rèn)為貼在哪里？把它拿出來。你們自己來不講也可以，把它自己貼上去，誰愿意來？合數(shù)貼在哪？ 生：合數(shù)的下面找到了，合數(shù)不知道貼在哪里師：合數(shù)的家找不到了，合數(shù)是從哪出來的啊？我們怎么判斷它是合數(shù)??？別著急，它的合數(shù)找不到了，它的下面能找到是嗎？ 生：是的師：那你別著急，那你等著找下面?，F(xiàn)在合數(shù)的上家誰能找到？ 生：偶數(shù)除了2都是合數(shù)師：偶數(shù)里面除了2都是合數(shù)，有問題嗎？ 生：沒問題師：你想把它貼在偶數(shù)旁邊是嗎？有沒有意見？ 生：25也是合數(shù)師：那些奇數(shù)當(dāng)中也有合數(shù)啊，那么請問合數(shù)的概念是怎么產(chǎn)生的？你是根據(jù)什么判斷它是合數(shù)的？這個合數(shù)旁邊一定還有它的朋友呢？你把朋友找過來也可以啊生：我覺得它合數(shù)的話，就是說它除了自己本身以外還有其它的因數(shù)。師：這個同學(xué)他發(fā)現(xiàn)這個合數(shù)是跟那個誰有關(guān)系？ 生：跟因數(shù)有關(guān)師：跟因數(shù)什么關(guān)系？你們仔細(xì)聽啊生：這個合數(shù)除了它本身和1以外還有其它的因數(shù)師：你的意思就是說合數(shù)會跟因數(shù)有關(guān)系，是這意思嗎？那它除了1和它本身這兩個因數(shù)以外還有？ 生：其它的因數(shù)。師：那你認(rèn)為合數(shù)貼在哪里比較合適呢？ 生：我覺得貼在因數(shù)這比較好師：她說把合數(shù)貼在因數(shù)這比較合適，跟它有關(guān)系對不對？那么跟因數(shù)有關(guān)系的只有合數(shù)嗎？它跟誰有關(guān)系？ 生：還有它跟質(zhì)數(shù)有關(guān)系 師：質(zhì)數(shù)跟誰有關(guān)系？ 生：質(zhì)數(shù)也跟因數(shù)有關(guān)系師：既然有關(guān)系放在這行不行？有什么關(guān)系？上級現(xiàn)在明白了，這2個數(shù)都與自然數(shù)因數(shù)的個數(shù)有關(guān)系，對嗎？ 生：對師：有什么關(guān)系啊？這個數(shù)就2個因數(shù)，叫什么？ 生：質(zhì)數(shù)師：除了1和它本身還有別的因數(shù)那叫什么數(shù)？ 生：合數(shù)師：看來這個小姑娘找的這個位置你們贊同嗎？ 生：贊同師：是有關(guān)系啊，只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，除了1和它本身還有別的因數(shù)的數(shù)叫做什么？ 生：合數(shù)師：那么自然數(shù)作為一個大的集合圈我們說過整除這個單元是在非0的自然數(shù)里面研究的，對吧？ 生：對師：那么把自然數(shù)作為一個大的集合圈，從因數(shù)的個數(shù)來分我們就說有質(zhì)數(shù)有合數(shù)兩大類，贊同我的意見請把手舉起來，謝謝同學(xué)們的支持，反對的請舉手，同學(xué)們都支持老師，你們都還在反對，聽聽他們的意見好嗎？你們作為支持的代表誰愿意跟他們對話，站起來，不同意的站一邊，你們對話。生1：那請問一下1只有1這個因數(shù)，那請問它是質(zhì)數(shù)嗎？ 生2：不是質(zhì)數(shù)生1：既然你說了它不是質(zhì)數(shù)那么它是合數(shù)嗎？ 生2：不是生1：既然它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，那請問他因該是什么數(shù)呢？ 師：請問它是什么數(shù)呢？你不想問個什么問題嗎？兩個問題問得好啊，第三個問題它既然不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，那么自然數(shù)這樣一個集合圈，你就分成兩類生3：自然數(shù)當(dāng)中分成質(zhì)數(shù)和合數(shù)，那1分給哪一類? 生4：整數(shù)師：我們今天研究這個整數(shù)，我們講的是自然數(shù)非0的情況下對不對，那么把它作為一個集合圈有質(zhì)數(shù)有合數(shù)兩類就夠了嗎？ 師：請人家想一想 生4：3類師：終于從牙縫里蹦出個數(shù)3類。幾類？ 生：3類師：不2類了，那看來這1還是挺重要的對不對，那這1也不能放在質(zhì)數(shù)里也不能放在合數(shù)里，它應(yīng)該放在哪里？ 師：單獨(dú)一個，那好同學(xué)們自然數(shù)從因數(shù)的個數(shù)分分成幾類？ 生：3類師：只有一個因數(shù)的是誰？ 生：1師：只有1和它本身兩個因數(shù)的是？ 生：質(zhì)數(shù)師：除了1和它本身還有別的因數(shù)的是？ 生：合數(shù)師：那么你們認(rèn)為這三個分類和因數(shù)有關(guān)對不對？ 生：對師：你還有下階嗎？你下階是什么？ 生5：我的下階是分解質(zhì)因數(shù) 師：為啥貼在那，講道理 學(xué)生貼卡片 師：貼在哪里生5：合數(shù)下面，如果把合數(shù)拆開的話就變成質(zhì)因數(shù) 師：有道理沒有？師：他說把合數(shù)拆開，拆開的意思是什么意思？ 生5：就是把它分解了師：這詞更準(zhǔn)確，那么你們來看吳老師在做什么？別著急，這是一個？ 板書12=223 生：合數(shù) 師：我把它？ 生5：分解了師：分解了，對不對??？ 生：對師：那么這個過程叫什么？ 生5：分解質(zhì)因數(shù) 師：有沒有意見？ 生：沒有師：所以你把它？ 生5：貼在合數(shù)下面師：那么他把它貼在合數(shù)的下面，任何一個合數(shù)都能寫成幾個這樣的形式嗎？ 生6：能師：你說能。你們又能想起？ 生7：質(zhì)因數(shù)師：什么叫質(zhì)因數(shù)？生8：就是分解以后它只剩下質(zhì)數(shù)沒有合數(shù) 師：你的意思是說分完了沒有合數(shù) 生8：就稱為質(zhì)因數(shù)師：就以這題為例誰是誰的質(zhì)因數(shù)？ 生8：2和3是12的質(zhì)因數(shù)師：看來在分解質(zhì)因數(shù)的過程當(dāng)中我們又發(fā)現(xiàn)了這樣的幾個質(zhì)數(shù)是這個合數(shù)的什么？ 生：質(zhì)因數(shù)師：質(zhì)因數(shù)在哪里？趕快貼過去，貼到這好不好，同意嗎？ 生：同意師：這個分解的過程，而這個過程當(dāng)中的幾個質(zhì)數(shù)就是這個合數(shù)的什么？ 生：質(zhì)因數(shù)師：有沒有意見？你的下階找完了嗎？ 生5：還有互質(zhì)數(shù)師：互質(zhì)數(shù)想不起來了，沒關(guān)系，你問，有人能想起來它放哪？ 生5：有人能想起來嗎？誰能想起來這個互質(zhì)數(shù)帖哪？ 點(diǎn)一名學(xué)生上來帖 師：我們看她貼哪里生9：互質(zhì)數(shù)就是2個數(shù)除了1以外沒有別的公因數(shù) 師：你把它放在誰的旁邊？ 生9：公因數(shù)師：你放在這里的意思你在解釋一下什么叫互質(zhì)數(shù)？ 生9：互質(zhì)數(shù)就是2個數(shù)除了1以外沒有別的公因數(shù) 師：這2個數(shù)就是？ 生9：互質(zhì)數(shù)師：所以你認(rèn)為互質(zhì)數(shù)跟公因數(shù)？ 生9：有關(guān)系 師：你就放在它的? 生9：下面 師：有道理嗎？ 生：有師：當(dāng)兩個數(shù)的公因數(shù)只有1的時候這兩個數(shù)就成為了互質(zhì)數(shù)，同意嗎？ 生：同意師：到這了，不著急，剛才你們說能被2整除的數(shù)叫什么數(shù)？ 生：偶數(shù)師：不能被2整除的數(shù)叫做？ 生：奇數(shù)師：那看來這還有點(diǎn)關(guān)系，對不對？偶數(shù)和奇數(shù)是對2而言的，對嗎？ 生：對師：那我請問，當(dāng)我把自然數(shù)作為一個集合圈的話，我說除了偶數(shù)就是奇數(shù)贊同的請舉手，反對的請舉手 學(xué)生舉手師：贊同我的意見，我認(rèn)為自然數(shù)除了奇數(shù)就是偶數(shù)，有支持我的嗎？來過來，就我們2和他們對勢就行了，提問題，誰提誰問？ 生1：請問0是什么數(shù)？ 生2：是偶數(shù)生1：它不能被2整除生2：0除以任何數(shù)都是等于偶的，所以它是偶數(shù) 生3：那負(fù)數(shù)呢？師：同學(xué)們首先我們上課的時候限定了今天我們講的整除這個單元是在什么，非0的自然數(shù)這樣一個范疇內(nèi)研究的，對不對??？對嗎？因此，我們所說的是非0的自然數(shù)，是在這個范疇嗎？那么我請問在這樣的情況下除了偶數(shù)就是奇數(shù)，有沒有意見，沒意見的坐著，有意見的站著 學(xué)生坐著師：是這樣嗎？同學(xué)們，那么我剛才問了一個問題啊，被2整除的數(shù)也就是2的倍數(shù)對嗎？在這個單元里除了學(xué)過2的倍數(shù)還學(xué)過幾的倍數(shù)的特征呢？3，對嗎？是嗎？被3整除的數(shù)有什么特征??？記得嗎？有什么特征？誰拿著話筒誰說吧生1：能被3整除的數(shù)它各個數(shù)位相加的和也能被3整除師：各個數(shù)位上的數(shù)相加的和能被3整除，這個數(shù)就一定能被3整除，這樣說就比較完整。還學(xué)過被幾整除的數(shù)啊？被幾啊？被5整除有什么特征啊？你來說生2：數(shù)的個位除了5就是0的數(shù)能被5整除師：除了5就是0的數(shù)對吧？個位上是0和5的數(shù)能被5整除，那么被2整除的數(shù)的特征呢？記住了嗎？是什么？得是0、8對嗎，能被5同時整除的數(shù)，想一想有什么樣的特征？什么特征？ 生3：末尾是0的師：要是同時被5整除的數(shù)呢？末尾的怎么樣？你來說 生4：要是他們的，應(yīng)該是0 師：末尾是0，還有別的要求嗎？ 生5：各個數(shù)相加起來的和都是3的倍數(shù)師：好了，我聽懂同學(xué)們的意見了，你們聽懂了嗎？同學(xué)們，剛才黑板上一堆零零散散的那樣的有關(guān)數(shù)的概念的卡片，這么一整理怎么樣，清清楚楚，謝謝你們。俗話說啊書越讀越薄就是這個道理，那么多的概念經(jīng)過我們集體的智慧把它整理成一個比較系統(tǒng)的有關(guān)數(shù)的整除的概念的這樣一個網(wǎng)絡(luò)圖，那么有問題嗎？你能給大家提出點(diǎn)問題讓大家討論嗎？那我第一個發(fā)言好不好，我希望同學(xué)們學(xué)會提出問題，我的第一個問題是質(zhì)數(shù)和質(zhì)因數(shù)只是一字之差它們有什么相同的地方和不同的地方嗎？這是我的問題，想好啦，你想回答，不急，我就找一個沒舉手的，說 生1：沒想好師：沒想好啊，沒關(guān)系的，看來同學(xué)們是碰到了困難，比如說我問的問題是質(zhì)數(shù)和質(zhì)因數(shù)有什么相同的地方和不同的地方，回答的時候能不能從概念出發(fā)去解釋，然后再做一下比較就非常這個了，那你知道什么是質(zhì)數(shù)嗎？這個同學(xué) 生2：質(zhì)數(shù)是，忘了師：我來幫你們回復(fù)記憶，不是剛剛復(fù)習(xí)完嗎？什么是質(zhì)數(shù)?。磕銇碓囋嚳瓷?：除了1和它本身沒有其它因數(shù)就是質(zhì)數(shù)師：記住了，你記住了小姑娘，記在心里啊，慢慢就恢復(fù)了。那么只有1和它本身沒有其它因數(shù)的叫質(zhì)數(shù)。什么叫質(zhì)因數(shù)？ 生4：質(zhì)因數(shù)是由一個合數(shù)解開來的質(zhì)數(shù)師：別著急，他說的很快，他會用自己的語言來表達(dá)自己對概念的理解，他說是一個合數(shù)給解開的那個東西，我理解，就是剛才我把一個合數(shù)用幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，對嗎？那么他說質(zhì)因數(shù)也得只有，那么質(zhì)因數(shù)首先得是什么數(shù)？ 生4：質(zhì)數(shù)師：能當(dāng)質(zhì)數(shù)才能當(dāng)質(zhì)因數(shù)，對不對，他用概念解釋啦，那么我在問問同學(xué)們，2是質(zhì)數(shù)同意的請舉手，2是質(zhì)因數(shù)同意的請舉手，為什么？ 生5：因?yàn)?沒有合數(shù)師：說得多好啊，你叫什么名字？ 生5：我叫李文怡師：李文怡是女同學(xué)有沒有意見 生：沒有師：李文怡是姐姐有沒有意見？ 生6：有師：你有什么意見？ 生6：她不是我姐姐師：是啊，就好像2是質(zhì)數(shù)一樣，李文怡是女同放學(xué)可以獨(dú)立存在，對不對，李文怡是姐姐就好像2是質(zhì)因數(shù)一樣它是誰的質(zhì)因數(shù)??？它是12的質(zhì)因數(shù)，它是10的質(zhì)因數(shù)，它能是9的質(zhì)因數(shù)嗎？因此，他一說質(zhì)因數(shù)一定依附在誰的身上，也就是說質(zhì)數(shù)可以獨(dú)立存在而質(zhì)因數(shù)不能獨(dú)立存在，清楚了坐下來。向我這樣提出問題，你能夠文大家嗎？還有能？你能給大家提個問題嗎？你們平時沒這習(xí)慣是嗎？好這個男孩拿話筒說。生7：質(zhì)數(shù)和互質(zhì)數(shù)有什么不同？ 師：有什么不同？生8：質(zhì)數(shù)有一個就可