【正文】 今天這一節(jié)課我們要做一節(jié)有關數(shù)的整除的綜合復習課，大家看到課前我在黑板上零零散散的貼出了這么多卡片，那么這些卡片上寫的都是有關數(shù)的整除中的一些有關數(shù)的概念，那么我不知道當我們把這些知識學完以后，今天的復習第一件事我們能不能根據(jù)這些有關數(shù)的概念它的意義和他們之間的聯(lián)系，把這些零零散散的概念做一次梳理，你認為哪個概念最重要你可以舉例說明也可以呢根據(jù)他內(nèi)在的聯(lián)系和你認為他的數(shù)學概念把它整理一個比較系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡圖，這事原來干過嗎？沒干過。今天我們一起來試一試好不好!我不知道你們怎么分組，四人以小組還是怎么樣分你們自己結合好不好？你認為哪個概念最重要它的概念下面又可以派生出哪些新的概念，那我們把這些做一個整理，好嗎？把時間先給同學們，下面就自愿結合按照你們的老規(guī)矩，開始。學生分組整理 小組匯報生1：我們小組覺得整除是最重要的。師：整除最重要是嗎？那么整除最重要的你要把它先第一個出來是嗎？那這樣我就先把它放在最重要的位置。生1：整除它還可以分為奇數(shù)和偶數(shù)。師：整除還可以分為奇數(shù)和偶數(shù)？奇數(shù)和偶數(shù)是從整除這個角度去分的嗎？同學們搖頭呢！有意見呢！你選一位同學。生1：趙俊藝師：趙俊藝有不同看法。生2：我覺得整除它可以分為因數(shù)和倍數(shù)。師：你為什么在整除下面分得出因數(shù)和倍數(shù)？生2：因為整除一個數(shù)，因數(shù)然后乘以倍數(shù)等于一個數(shù)，那么這個數(shù)可以除以因數(shù)等于倍數(shù)。師：那么我的問題是，假如說數(shù)a能夠被數(shù)b整除的話，那么想一想數(shù)a和數(shù)b一定有一個什么樣的關系？你同意嗎？ 生2：同意師：誰是誰的倍數(shù)？ 生2：a是b的倍數(shù) 師：接著生2：b是a的因數(shù) 師：你們同意這意見嗎？ 生：同意師：她的意見說在整除的前提下一定會產(chǎn)生一種概念，什么？ 師生齊聲：因數(shù)和倍數(shù)師：你為什么不同意她的意見呢？她說把奇數(shù)和偶數(shù)分出來就行了，你們可以有些討論嗎？生2：我覺得偶數(shù)和奇數(shù)應該不算在整除里面，它應該是數(shù)的名稱。師：偶數(shù)和奇數(shù)是在什么前提下產(chǎn)生的？它跟誰有關系？跟整除有關系沒錯，在具體點，我們怎么確定這個概念呢？是跟整除有關系，能在具體點嗎？在什么情況下我就認定它是偶數(shù)了？ 生2：能被2整除的 師：接下來，說完整，老說一半 生2：能被2整除的那些自然數(shù)都是偶數(shù) 生2：不能被2整除的那么就是奇數(shù)師：那你的意思偶數(shù)和奇數(shù)一定和一個重要的數(shù)有關系，是嗎？ 師：和誰？ 生2：2 師：同意嗎？ 生：同意師：她說能被2整除的就是？ 生：偶數(shù)師：不能被2整除的就是？ 生：奇數(shù)師：那好，這樣啊，你既然提出來了這個問題我把這2先補充到這里好不好，我先假如說補充到這里，那么跟它有關系的趕快拿啊，偶數(shù)和奇數(shù) 學生拿卡片師：你認為他們有關系，是這個意思嗎？能被2整數(shù)和不能被2整除的，對嗎？他們的關系你們同意嗎？ 生：同意師：他們認為在整除的前提下一定有一對非常重要的概念，是什么？一起說生：倍數(shù)和因數(shù) 師：你們認可不認可這樣的觀點？ 生1：認可師：那趕快找出來 學生找卡片師：這樣啊，既然跟它有關系我?guī)湍銈兎旁谏厦婧貌缓?粘貼卡片因數(shù)、倍數(shù)師：你們的意思就是說當數(shù)a能被數(shù)b整除的時候，數(shù)a就是數(shù)b的倍數(shù)，那么數(shù)b就是數(shù)a的因數(shù)，是這意思嗎？ 生：是師：接下來繼續(xù)說，因數(shù)還能接著往下說嗎？ 生：有公因數(shù)和公倍數(shù)，那么趕快跳出來啊 學生找卡片師：又在下面的前提下產(chǎn)生了公因數(shù)和公倍數(shù)，你認為應該貼在哪里就貼下來，不同意見的趕快上來啊 學生貼卡片師：貼在著跟他有關系是不是啊，你認為倍數(shù)和公倍數(shù)有關系，是嗎？ 師：他認為因數(shù)公因數(shù)有關系，是嗎？還有嗎？ 生：還有最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)師：那么你們的意思就是說因數(shù)可以引出公因數(shù)這個概念，對嗎？ 生：對師：那請問什么叫公因數(shù)？生：公因數(shù)就2個數(shù)共有的因數(shù)叫做公因數(shù) 師：共有的因數(shù)對不對？ 生：對師：那什么叫最大公因數(shù)??？ 生：就是2個數(shù)最大的公因數(shù)師：幾個數(shù)公有的因數(shù)，其中最大的一個是它的什么？ 生：最大公因數(shù)師：那你們能接著把這段概念總結完嗎？生：2個數(shù)公共倍數(shù)就做公倍數(shù)，其中最小的一個就叫做最小公倍數(shù) 師：同意嗎？ 生：同意師：你們這么一說還挺有道理，的確，從因數(shù)當中我們可以引出公因數(shù)的概念，還可以引出最大公因數(shù)的概念，是這樣吧？那么，從倍數(shù)當中我們可以引出公倍數(shù)的概念，那么其中最小的一個是最小公倍數(shù)，有沒有意見？ 生：沒有師：接下來還有這么多的概念那，你有不同意見，那你可以上來啊。誰有的說前面來，你們現(xiàn)在都在動腦筋想啊。生：合數(shù)師：和數(shù)怎么啦？生：我覺得合數(shù)也可以貼幾個上來師：你認為貼在哪里？把它拿出來。你們自己來不講也可以，把它自己貼上去，誰愿意來？合數(shù)貼在哪？ 生：合數(shù)的下面找到了，合數(shù)不知道貼在哪里師：合數(shù)的家找不到了，合數(shù)是從哪出來的啊？我們怎么判斷它是合數(shù)?。縿e著急，它的合數(shù)找不到了，它的下面能找到是嗎？ 生：是的師：那你別著急，那你等著找下面?，F(xiàn)在合數(shù)的上家誰能找到？ 生：偶數(shù)除了2都是合數(shù)師：偶數(shù)里面除了2都是合數(shù)，有問題嗎？ 生：沒問題師：你想把它貼在偶數(shù)旁邊是嗎？有沒有意見？ 生：25也是合數(shù)師：那些奇數(shù)當中也有合數(shù)啊，那么請問合數(shù)的概念是怎么產(chǎn)生的？你是根據(jù)什么判斷它是合數(shù)的？這個合數(shù)旁邊一定還有它的朋友呢？你把朋友找過來也可以啊生：我覺得它合數(shù)的話，就是說它除了自己本身以外還有其它的因數(shù)。師：這個同學他發(fā)現(xiàn)這個合數(shù)是跟那個誰有關系？ 生：跟因數(shù)有關師：跟因數(shù)什么關系？你們仔細聽啊生：這個合數(shù)除了它本身和1以外還有其它的因數(shù)師：你的意思就是說合數(shù)會跟因數(shù)有關系，是這意思嗎？那它除了1和它本身這兩個因數(shù)以外還有？ 生：其它的因數(shù)。師：那你認為合數(shù)貼在哪里比較合適呢？ 生：我覺得貼在因數(shù)這比較好師：她說把合數(shù)貼在因數(shù)這比較合適，跟它有關系對不對？那么跟因數(shù)有關系的只有合數(shù)嗎？它跟誰有關系？ 生：還有它跟質數(shù)有關系 師：質數(shù)跟誰有關系？ 生：質數(shù)也跟因數(shù)有關系師：既然有關系放在這行不行？有什么關系？上級現(xiàn)在明白了，這2個數(shù)都與自然數(shù)因數(shù)的個數(shù)有關系，對嗎？ 生：對師：有什么關系??？這個數(shù)就2個因數(shù)，叫什么？ 生：質數(shù)師：除了1和它本身還有別的因數(shù)那叫什么數(shù)？ 生：合數(shù)師：看來這個小姑娘找的這個位置你們贊同嗎？ 生：贊同師：是有關系啊，只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫質數(shù)，除了1和它本身還有別的因數(shù)的數(shù)叫做什么？ 生：合數(shù)師：那么自然數(shù)作為一個大的集合圈我們說過整除這個單元是在非0的自然數(shù)里面研究的，對吧？ 生：對師：那么把自然數(shù)作為一個大的集合圈，從因數(shù)的個數(shù)來分我們就說有質數(shù)有合數(shù)兩大類，贊同我的意見請把手舉起來，謝謝同學們的支持，反對的請舉手，同學們都支持老師，你們都還在反對，聽聽他們的意見好嗎？你們作為支持的代表誰愿意跟他們對話，站起來，不同意的站一邊，你們對話。生1：那請問一下1只有1這個因數(shù)，那請問它是質數(shù)嗎？ 生2：不是質數(shù)生1：既然你說了它不是質數(shù)那么它是合數(shù)嗎？ 生2：不是生1：既然它既不是質數(shù)也不是合數(shù)，那請問他因該是什么數(shù)呢？ 師：請問它是什么數(shù)呢？你不想問個什么問題嗎？兩個問題問得好啊，第三個問題它既然不是質數(shù)也不是合數(shù)，那么自然數(shù)這樣一個集合圈，你就分成兩類生3：自然數(shù)當中分成質數(shù)和合數(shù)，那1分給哪一類? 生4：整數(shù)師：我們今天研究這個整數(shù)，我們講的是自然數(shù)非0的情況下對不對，那么把它作為一個集合圈有質數(shù)有合數(shù)兩類就夠了嗎？ 師：請人家想一想 生4：3類師：終于從牙縫里蹦出個數(shù)3類。幾類？ 生：3類師：不2類了，那看來這1還是挺重要的對不對，那這1也不能放在質數(shù)里也不能放在合數(shù)里，它應該放在哪里？ 師：單獨一個，那好同學們自然數(shù)從因數(shù)的個數(shù)分分成幾類？ 生：3類師：只有一個因數(shù)的是誰？ 生：1師：只有1和它本身兩個因數(shù)的是？ 生：質數(shù)師：除了1和它本身還有別的因數(shù)的是？ 生：合數(shù)師：那么你們認為這三個分類和因數(shù)有關對不對？ 生：對師：你還有下階嗎？你下階是什么？ 生5：我的下階是分解質因數(shù) 師：為啥貼在那，講道理 學生貼卡片 師：貼在哪里生5：合數(shù)下面，如果把合數(shù)拆開的話就變成質因數(shù) 師：有道理沒有？師：他說把合數(shù)拆開，拆開的意思是什么意思？ 生5：就是把它分解了師：這詞更準確，那么你們來看吳老師在做什么？別著急，這是一個？ 板書12=223 生：合數(shù) 師：我把它？ 生5：分解了師：分解了，對不對啊？ 生：對師：那么這個過程叫什么？ 生5：分解質因數(shù) 師：有沒有意見？ 生：沒有師：所以你把它？ 生5：貼在合數(shù)下面師：那么他把它貼在合數(shù)的下面，任何一個合數(shù)都能寫成幾個這樣的形式嗎？ 生6：能師：你說能。你們又能想起？ 生7：質因數(shù)師：什么叫質因數(shù)？生8：就是分解以后它只剩下質數(shù)沒有合數(shù) 師：你的意思是說分完了沒有合數(shù) 生8：就稱為質因數(shù)師：就以這題為例誰是誰的質因數(shù)？ 生8：2和3是12的質因數(shù)師：看來在分解質因數(shù)的過程當中我們又發(fā)現(xiàn)了這樣的幾個質數(shù)是這個合數(shù)的什么？ 生：質因數(shù)師：質因數(shù)在哪里？趕快貼過去，貼到這好不好，同意嗎？ 生：同意師：這個分解的過程，而這個過程當中的幾個質數(shù)就是這個合數(shù)的什么？ 生：質因數(shù)師：有沒有意見？你的下階找完了嗎？ 生5：還有互質數(shù)師：互質數(shù)想不起來了，沒關系，你問，有人能想起來它放哪？ 生5：有人能想起來嗎？誰能想起來這個互質數(shù)帖哪？ 點一名學生上來帖 師：我們看她貼哪里生9：互質數(shù)就是2個數(shù)除了1以外沒有別的公因數(shù) 師：你把它放在誰的旁邊？ 生9：公因數(shù)師：你放在這里的意思你在解釋一下什么叫互質數(shù)？ 生9：互質數(shù)就是2個數(shù)除了1以外沒有別的公因數(shù) 師：這2個數(shù)就是？ 生9：互質數(shù)師：所以你認為互質數(shù)跟公因數(shù)？ 生9：有關系 師：你就放在它的? 生9：下面 師：有道理嗎？ 生：有師：當兩個數(shù)的公因數(shù)只有1的時候這兩個數(shù)就成為了互質數(shù)，同意嗎？ 生：同意師：到這了，不著急，剛才你們說能被2整除的數(shù)叫什么數(shù)？ 生：偶數(shù)師：不能被2整除的數(shù)叫做？ 生：奇數(shù)師：那看來這還有點關系，對不對？偶數(shù)和奇數(shù)是對2而言的，對嗎？ 生：對師：那我請問，當我把自然數(shù)作為一個集合圈的話，我說除了偶數(shù)就是奇數(shù)贊同的請舉手，反對的請舉手 學生舉手師：贊同我的意見，我認為自然數(shù)除了奇數(shù)就是偶數(shù)，有支持我的嗎？來過來，就我們2和他們對勢就行了，提問題，誰提誰問？ 生1：請問0是什么數(shù)？ 生2：是偶數(shù)生1：它不能被2整除生2：0除以任何數(shù)都是等于偶的，所以它是偶數(shù) 生3：那負數(shù)呢？師：同學們首先我們上課的時候限定了今天我們講的整除這個單元是在什么，非0的自然數(shù)這樣一個范疇內(nèi)研究的，對不對?。繉?？因此，我們所說的是非0的自然數(shù)，是在這個范疇嗎？那么我請問在這樣的情況下除了偶數(shù)就是奇數(shù)，有沒有意見，沒意見的坐著，有意見的站著 學生坐著師：是這樣嗎？同學們，那么我剛才問了一個問題啊，被2整除的數(shù)也就是2的倍數(shù)對嗎？在這個單元里除了學過2的倍數(shù)還學過幾的倍數(shù)的特征呢？3，對嗎？是嗎？被3整除的數(shù)有什么特征??？記得嗎？有什么特征？誰拿著話筒誰說吧生1：能被3整除的數(shù)它各個數(shù)位相加的和也能被3整除師：各個數(shù)位上的數(shù)相加的和能被3整除，這個數(shù)就一定能被3整除，這樣說就比較完整。還學過被幾整除的數(shù)??？被幾?。勘?整除有什么特征??？你來說生2：數(shù)的個位除了5就是0的數(shù)能被5整除師：除了5就是0的數(shù)對吧？個位上是0和5的數(shù)能被5整除，那么被2整除的數(shù)的特征呢？記住了嗎？是什么？得是0、8對嗎，能被5同時整除的數(shù)，想一想有什么樣的特征？什么特征？ 生3：末尾是0的師：要是同時被5整除的數(shù)呢？末尾的怎么樣？你來說 生4：要是他們的，應該是0 師：末尾是0，還有別的要求嗎？ 生5：各個數(shù)相加起來的和都是3的倍數(shù)師：好了，我聽懂同學們的意見了，你們聽懂了嗎？同學們，剛才黑板上一堆零零散散的那樣的有關數(shù)的概念的卡片，這么一整理怎么樣，清清楚楚，謝謝你們。俗話說啊書越讀越薄就是這個道理，那么多的概念經(jīng)過我們集體的智慧把它整理成一個比較系統(tǒng)的有關數(shù)的整除的概念的這樣一個網(wǎng)絡圖，那么有問題嗎？你能給大家提出點問題讓大家討論嗎？那我第一個發(fā)言好不好，我希望同學們學會提出問題，我的第一個問題是質數(shù)和質因數(shù)只是一字之差它們有什么相同的地方和不同的地方嗎？這是我的問題，想好啦，你想回答，不急，我就找一個沒舉手的，說 生1：沒想好師：沒想好啊，沒關系的，看來同學們是碰到了困難，比如說我問的問題是質數(shù)和質因數(shù)有什么相同的地方和不同的地方，回答的時候能不能從概念出發(fā)去解釋，然后再做一下比較就非常這個了，那你知道什么是質數(shù)嗎？這個同學 生2：質數(shù)是，忘了師：我來幫你們回復記憶，不是剛剛復習完嗎？什么是質數(shù)?。磕銇碓囋嚳瓷?：除了1和它本身沒有其它因數(shù)就是質數(shù)師：記住了，你記住了小姑娘，記在心里啊，慢慢就恢復了。那么只有1和它本身沒有其它因數(shù)的叫質數(shù)。什么叫質因數(shù)？ 生4：質因數(shù)是由一個合數(shù)解開來的質數(shù)師：別著急，他說的很快，他會用自己的語言來表達自己對概念的理解，他說是一個合數(shù)給解開的那個東西，我理解，就是剛才我把一個合數(shù)用幾個質數(shù)相乘的形式表示出來，對嗎？那么他說質因數(shù)也得只有，那么質因數(shù)首先得是什么數(shù)？ 生4：質數(shù)師：能當質數(shù)才能當質因數(shù)，對不對，他用概念解釋啦，那么我在問問同學們，2是質數(shù)同意的請舉手，2是質因數(shù)同意的請舉手，為什么？ 生5：因為2沒有合數(shù)師：說得多好啊，你叫什么名字？ 生5：我叫李文怡師：李文怡是女同學有沒有意見 生：沒有師：李文怡是姐姐有沒有意見？ 生6：有師：你有什么意見？ 生6：她不是我姐姐師：是啊，就好像2是質數(shù)一樣，李文怡是女同放學可以獨立存在，對不對，李文怡是姐姐就好像2是質因數(shù)一樣它是誰的質因數(shù)??？它是12的質因數(shù)，它是10的質因數(shù)，它能是9的質因數(shù)嗎？因此，他一說質因數(shù)一定依附在誰的身上，也就是說質數(shù)可以獨立存在而質因數(shù)不能獨立存在，清楚了坐下來。向我這樣提出問題，你能夠文大家嗎？還有能？你能給大家提個問題嗎？你們平時沒這習慣是嗎？好這個男孩拿話筒說。生7：質數(shù)和互質數(shù)有什么不同？ 師：有什么不同？生8：質數(shù)有一個就可