【正文】 AB的長．1如圖，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，BD平分∠ABC．（1）求證：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的長．1如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90176。，BE⊥AC，E為垂足，AC=BC．（1）求證：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．1如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45176。，AD=1，BC=4，求DC的長．1已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且．（1）求證：BF=EF﹣ED；（2）連接AC，若∠B=80176。，∠DEC=70176。，求∠ACF的度數(shù)．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的長．（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：CE=BE﹣AD．2如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求證：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面積．2已知，如圖，△ABC是等邊三角形，過AC邊上的點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于點(diǎn)G，在GD的延長線上取點(diǎn)E，使DE=DC，連接AE，BD．（1）求證：△AGE≌△DAB；（2）過點(diǎn)E作EF∥DB，交BC于點(diǎn)F，連AF，求∠AFE的度數(shù)．2如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于點(diǎn)F，EF=EC，連接DF．（1）試說明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，試判斷△DCF的形狀；（3）在條件（2）下，射線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△PCD是等腰三角形，若存在，請直接寫出PB的長；若不存在，請說明理由．2如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60176。，AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）證明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度數(shù)．2如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，將BC延長至點(diǎn)F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）如果BC=8，求△DBF的面積？2如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60176。，E、F分別為CG、AB的中點(diǎn)．（1）求證：△AGD為正三角形；（2）求EF的長度．2已知，如圖，AD∥BC，∠ABC=90176。，AB=BC，點(diǎn)E是AB上的點(diǎn)，∠ECD=45176。，連接ED，過D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75176。，F(xiàn)C=3，求梯形ABCD的周長．（2）求證：ED=BE+FC．2已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，直線CE交DA的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的長．2已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點(diǎn)E．求證：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周長為6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面積．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90176。，且AB=AD．連接BD，過A點(diǎn)作BD的垂線，交BC于E．（1）求證：四邊形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面積．參考答案如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，連接BE，CE（1）求證：BE=CE；（2）若∠BEC=90176。，過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G，連接DG，求證：BG=DG+CD．證明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延長CD和BE的延長線交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90176。，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90176。∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90176。，BE=CE（已證），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已證），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已證），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90176。，E為AB延長線上一點(diǎn)，連接ED，與BC交于點(diǎn)H．過E作CD的垂線，垂足為CD上的一點(diǎn)F，并與BC交于點(diǎn)G．已知G為CH的中點(diǎn)．（1）若HE=HG，求證：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的長．（1）證明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中點(diǎn)，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90176。．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90176。，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60176。，E是對角線AC延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上的一點(diǎn)，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）當(dāng)CE=1時，求△BCE的面積；（2）求證：BD=EF+CE．（2）過E點(diǎn)作EM⊥DB于點(diǎn)M，四邊形FDME是矩形，F(xiàn)E=DM，∠BME=∠BCE=90176。，∠BEC=∠MBE=60176。，△BME≌△ECB，BM=CE，繼而可證明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60176。，∴∠ACB=180176。﹣（∠CAB+∠CBA）=90176。，∴∠BCE=180176。﹣∠ACB=90176。，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90176。，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30176。，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，∴…（5分）（2）證明：過E點(diǎn)作EM⊥DB于點(diǎn)M，∴四邊形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90176。，∠BEC=∠MBE=60176。，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）如圖．在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E為線段BC延長線上的一點(diǎn)，且．過點(diǎn)E作EF∥CA，交CD于點(diǎn)F，連接OF．（1）求證：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．解答：（1）證明：延長EF交AD于G（如圖），在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四邊形ACEG是平行四邊形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四邊形ABCD是矩形．證明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四邊形OCEF是平行四邊形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90176。，BF⊥CD于F，延長BF交AD的延長線于E，延長CD交BA的延長線于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求線段CD的長；（2）H在邊BF上，且∠HDF=∠E，連接CH，求證：∠BCH=45176。﹣∠EBC．（1）解：連接BD，由∠ABC=90176。，AD∥BC得∠GAD=90176。，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90176。又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）證明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB，∴△CDH≌△CBH，∴∠DCH=∠BCH，∴∠BCH=∠BCD==．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90176。，∠D=45176。．（1）若AB=6cm，求梯形ABCD的面積；（2）若E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)，且滿足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求證：HD=BE+BF．解：（1）連AC，過C作CM⊥AD于M，如圖，在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt△CDM中，∠D=45176。，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD的面積=?（8+14）?6=66（cm2）；（2）證明：過G作GN⊥AD，如圖，∵∠D=45176。，∴△DNG為等腰直角三角形，∴DN=GN，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．已知：如圖，?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長CD至F，使DF=CD，連接BF交AD于點(diǎn)E．（1）求證：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度數(shù)．（1）證明：如圖．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AE=DE．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90176。．∵四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90176。．已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F．（1）求證：∠DAE=∠DCE；（2）當(dāng)CG=CE時，試判斷CF與EG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（1）證明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的對角線平分對角），ED=DE（公共邊），AE=CE（正方形的四條邊長相等），∴△DAE≌△DCE（SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的對應(yīng)角相等）；（2）解：如圖，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等邊對等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等邊對等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45176。，∴∠G=∠CEG=30176。；過點(diǎn)C作CH⊥AG于點(diǎn)H，∴∠FCH=30176。，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2CF=3CF．如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．（1）求證：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75176。，AB=2，求△DFP的面積．（1）證明：連接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90176。，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90176。．∵P是EF的中點(diǎn)，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H點(diǎn)．∵P是EF的中點(diǎn)，∴PH=EC．設(shè)EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45176。，∴∠FEC=180176。﹣45176。﹣75176。=60176。，∴EF=2x，F(xiàn)C=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，F(xiàn)D=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）=3﹣5．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90176。，BD=BC，E為CD的中點(diǎn)，交BC的延長線于F；（1）證明：EF=EA；（2）過D作DG⊥BC于G，連接EG，試證明：EG⊥AF．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E為CD的中點(diǎn)，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：連接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90176。，∴∠DAB=90176。．∵DG⊥BC，∴四邊形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）1如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90176。，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF，點(diǎn)E是直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠EAD=∠EDA=15176。，連接EB、EF．（1）求證：EB=EF；（2）延長FE交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)G恰好是BC的中點(diǎn)，若AB=6，求BC的長．（1）證明：∵△ADF為等邊三角形，∴AF=AD，∠FAD=60176。（1分）∵∠DAB=90176。，∠EAD=15176。，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75176。，AB=AF，（3分）∵