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2024-10-28 14:38本頁(yè)面
【正文】 在(，165。)上無(wú)根，由上述知，對(duì)n=1,2,L，有0xn,有0xn165。1n1n1n1n1n1，na此外，由a1知，級(jí)數(shù)229。收斂，所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法，知an=1n=1165。(cosx)x174。01ln(1+x)x174。0ln(1+x)解：lim(cosx)x174。01ln(1+x)=elimlncosx，其中l(wèi)imln(1+xx174。0lncosx)=limx174。0ln[1+(cosx1)]ln(1+x)=limx174。0x22x=(cosx)所以，limx174。0ln(1+x)=e(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)185。0,f162。(0)185。0,若af(h)+bf(2h)f(0)在h174。0時(shí)是比h高階的無(wú)窮小，試確定a,：（利用導(dǎo)數(shù)定義）0=limaf(h)+bf(2h)f(0)af(h)af(0)+af(0)+bf(2h)bf(0)+bf(0)f(0)=limh174。0h174。0hhaf(h)af(0)bf(2h)bf(0)[(a+b)1]f(0)[(a+b)1]f(0)=lim+lim+lim=(a+b)f162。(0)+limh174。0h174。0h174。0h174。0hhhh236。a+b=1162。由f(0)185。0,f(0)185。0,得237。,即a=2,b=1a+2b=0238。解2：按解1，只要假定f(x)在x=0處可導(dǎo)即可，但在題中“f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”的假定下，有以下解法：由limh174。0h174。0af(h)+bf(2h)f(0)=0得 limaf(h)+bf(2h)f(0)=0h174。0h即0=limaf(h)+bf(2h)f(0)=(a+b1)f(0)，由f(0)185。0,得a+b=1（1）af(h)+bf(2h)f(0)洛=limaf162。(h)+2bf162。(2h)=(a+2b)f162。(0)且f162。(0)185。0,又由0=limh174。0h174。0h所以 a+2b=0（2）由（1）、（2）得a=2,b=+esinx246。247。.+231。x174。0x247。232。1+e248。解：230。2e+esinx246。230。2+esinx246。247。=1 231。247。=lim231。lim+4+4+231。+x174。0x174。0231。x247。x247。232。1+e248。232。e+1248。230。2+esinx246。230。2+esinx246。231。247。231。247。=1 lim=lim4+4231。231。247。x174。0x248。x174。0232。1+ex247。232。1+e248。所以 原式 = 1x174。0143+x+x2.2x解1：（泰勒公式）因+x+x2=[1+1111xx2+o(x2)]+[1xx2+o(x2)]22828(x174。0)=x2+o(x2)~x2所以1x2+x+x2=1lim=limx174。0x174。0x2x24解2：（洛必達(dá)法則）+x+x2洛必達(dá)lim=limx174。0x174。0x22x1x+x1lim=lim x174。0+xx4x174。0x12x1=lim.=4x174。0x(x++x)4
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