【正文】 方恨少、事非經(jīng)過不知難?！懹?讀一本好書，就如同和一個高尚的人在交談——歌德1讀一切好書，就是和許多高尚的人談話?！芽▋?學習永遠不晚?！郀柣?少而好學，如日出之陽；壯而好學，如日中之光；志而好學，如炳燭之光?！獎⑾?學而不思則惘，思而不學則殆?！鬃幼x書給人以快樂、給人以光彩、給人以才干?！喔谒钠喝我饨侨呛瘮?shù)定義“任意角三角函數(shù)定義”的教學認識與設(shè)計浙江金華第一中學 孔小明本文首先對三角函數(shù)定義的教學進行從整體到局部的分析，．整體把握，使教學線索清晰，層次分明三角函數(shù)是以函數(shù)為主線，通過用旋轉(zhuǎn)的觀點將角的概念推廣到任意角，并使角與實數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時又是銳角三角函數(shù)的上位概念，教學要以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以坐標系和單位圓為定義工具，以初中銳角三角函數(shù)概念為認知的起點，：(1)三角函數(shù)值在各個象限的符號；(2)單位圓中的三角函數(shù)線；(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；(4)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式；(5)，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,（正弦、余弦、正切）的定義，經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程,體驗三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程,領(lǐng)悟直角坐標系和單位圓的功能,、外延廣泛等原因，同時，用單位圓上點的坐標表示的任意角三角函數(shù)定義,與學生初中學習的銳角三角函數(shù)定義有一定的距離,一個側(cè)重幾何的邊與邊的比值表示,一個側(cè)重代數(shù)的坐標（比值）,一般函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的對應(yīng),而三角函數(shù)首先是實數(shù)（弧度數(shù)）到點的坐標的對應(yīng),然后才是實數(shù)（弧度數(shù)）到實數(shù)（橫坐標或縱坐標），需要分成若干個層次，,增強學習活動的體驗,在教師的引導(dǎo)下獨立思考、自主探究,、不斷深化的過程：（1）回憶用直角三角形邊長的比產(chǎn)生的銳角三角函數(shù)的定義；（2）把銳角α放在直角坐標系中，用角的終邊上點的坐標表示銳角α的三角函數(shù)；（3）由相似三角形的知識可知，三角函數(shù)值只與α的大小有關(guān)，與點在終邊上的位置無關(guān)，因此可用單位圓上點的坐標表示銳角α的三角函數(shù)；（4）類比得出用單位圓定義任意角三角函數(shù)，,一定程度上具有了教育形態(tài)的特征,體現(xiàn)了數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程,反映了數(shù)學的“來龍去脈”,通過有效的鋪墊,使之符合學生的認知規(guī)律,使從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)過渡自然,筆者認為,教學設(shè)計時無須“另起爐灶”,只要在此基礎(chǔ)上,依據(jù)學生的認知特點,．抓住關(guān)鍵，使教學精煉、簡約而高效由于教科書自身特點的限制,教科書還不能成為教師教學用的教學設(shè)計,根據(jù)教材的內(nèi)容、要求以及編寫意圖,教師還需要一個再加工、,就是將教材中得出任意角三角函數(shù)定義經(jīng)歷的四個環(huán)節(jié)進一步教學化,使之符合學生的認知特點和規(guī)律,包括內(nèi)容研究的必要性，坐標系、單位圓引入的自然性，以及用單位圓定義的可行性、,使學生感受“數(shù)學是自然的、清楚的、水到渠成的”.當前,高中數(shù)學課標課程比大綱課程的內(nèi)容有所增加，初中數(shù)學對高中數(shù)學支持減弱，新課程賦予數(shù)學教學更多的價值取向，要讓課堂的所有環(huán)節(jié)都讓學生有深度思考、學生在校以學習間接經(jīng)驗為主,學生的學習主要是“接受——建構(gòu)”式的,因此,對教學起關(guān)鍵作用的內(nèi)容，要留足時間讓學生充分思考、交流與展示,其它內(nèi)容教師可多講授與引導(dǎo)，發(fā)揮先行組織者作用,使教與學達到平衡，,先解決“學習的必要性”問題,“三角函數(shù)”作為重要的基本初等函數(shù),是周期現(xiàn)象的基本模型,教師可借助本章的章頭語,，從而引發(fā)學生認知沖突，、怎樣定義、這樣定義是否合理等,在任意角內(nèi)容的學習中,學生已經(jīng)有了在直角坐標系內(nèi)討論角的經(jīng)驗，但教學實踐表明,學生仍不能自然想到引入坐標系工具,，從幫助學生理解定義的實質(zhì)，體會坐標思想與數(shù)形結(jié)合思想的角度，教師可利用適當?shù)恼Z言,引導(dǎo)學生重點解決“如何用坐標表示銳角三角函數(shù)”,陶老師的問題設(shè)計具有啟示性：現(xiàn)在，角的范圍擴大了,由銳角擴展到了0176。~360176。內(nèi)的角,又擴展到了任意角,并且在直角坐標系中,使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境中,你認為,對于任意角α，sinα怎樣定義好呢？上述問題提得“大氣”，既能使學生的學習圍繞關(guān)鍵問題展開，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學更符合學生“最近發(fā)展區(qū)”，需要引導(dǎo)學生從函數(shù)的觀點認識用坐標表示的銳角三角函數(shù)，，其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點的橫、縱坐標）之間的對應(yīng)關(guān)系更清楚、簡單，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)，有利于學生利用已有的函數(shù)概念來理解三角函數(shù)，其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，“優(yōu)點”，引入單位圓的“理由”應(yīng)該另辟蹊徑，白老師在引導(dǎo)學生完成用角的終邊上任意一點的坐標表示銳角三角函數(shù)之后，從求簡的角度設(shè)置問題,不愧為“棋高一招”：大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？在學生得出時定義式最簡單后,白老師引入單位圓,，“定義”是一種“規(guī)定”，因此，第四環(huán)節(jié)中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形，直接給出任意角三角函數(shù)定義，對學生而言，關(guān)鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性，對定義合理性認知基礎(chǔ)就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質(zhì)——定義要符合一般函數(shù)的內(nèi)涵（函數(shù)三要素）.3．精心設(shè)計問題，讓課堂成為學生思維閃光的舞臺 基于上述認識，對定義部分的教學，：周期現(xiàn)象是社會生活和科學實踐中的基本現(xiàn)象，大到宇宙運動，小到粒子變化，這些現(xiàn)象的共同特點是具有周期性，另外，如潮汐現(xiàn)象、簡諧振動、交流電等，也具有周期性，而“三角函數(shù)”？它具有哪些特別的性質(zhì)？在解決具有周期性變化規(guī)律的問題中到底能發(fā)揮哪些作用？：：在初中，我們已經(jīng)學習了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？ 意圖：從學生已有的數(shù)學經(jīng)驗出發(fā)，：現(xiàn)在，角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發(fā)學生的認知沖突，：如何定義任意角的三角函數(shù)？ 意圖：：我們知道，直角坐標系是展示函數(shù)規(guī)律的載體，是構(gòu)架“數(shù)形結(jié)合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標系內(nèi)進行研究，借助坐標系，可以使角的討論簡化，也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復(fù)始”“數(shù)”：：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標系中，你能用點的坐標來表示銳角α的三角函數(shù)嗎？意圖：：各個比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？意圖：扣準函數(shù)概念的內(nèi)涵，把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結(jié)構(gòu)，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，得出結(jié)論：三個比值分別是以銳角α為自變量、：既然可在終邊上任取一點，那有沒有辦法讓所得的對應(yīng)關(guān)系變得更簡單一點？ 意圖：，可引導(dǎo)學生進一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點的坐標（或比值）：類比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），定義正弦函數(shù)為，余弦函數(shù)為，? 意圖：給出任意角三角函數(shù)的定義,引導(dǎo)學生用函數(shù)三要素說明定義的合理性，明確任意角三角函數(shù)的對應(yīng)法則、定義域、先讓學生作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明，得出結(jié)論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標或坐標的比值（如果存在的話）、值域.“任意角三角函數(shù)的概念”教學設(shè)計陶維林（江蘇南京師范大學附屬中學，210003）一．內(nèi)容和內(nèi)容解析三角函數(shù)是一個重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型．它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來．它在物理學、天文學、測量學等學科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實際問題的重要工具，它是學習數(shù)學中其他學科的基礎(chǔ)．角的概念已經(jīng)由銳角擴展到0176。~360176。內(nèi)的角，再擴充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴充的必然結(jié)果．比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數(shù)是“線段長度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標系中“坐標與長度的比值，或者是坐標的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關(guān)的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標（或坐標的比值）來表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來了方便．從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴充的過程，產(chǎn)生了“符號問題”．因此，學習任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．任意角三角函數(shù)概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學習其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用．解決這一重點的關(guān)鍵，是學會用直角坐標系中，角的終邊上的點的坐標來表示三角函數(shù)．因為正切函數(shù)并不獨立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對應(yīng)法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數(shù)集合間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從這個意義上說，“角是實數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域．任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點．無論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．在建立任意角三角函數(shù)這個定義的過程中，學生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類比、運動、變化、對應(yīng)等數(shù)學思想方法． 二．目標和目標解析本節(jié)課的目標是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．學生已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，這個比值僅與銳角的大小有關(guān)，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長點”．理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)這個線段長度的比值擴展為點的坐標或坐標的比值．因此，對銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復(fù)習銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)的理解是必要的．要實現(xiàn)讓學生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學目標，莫過于讓學生參與任意角三角函數(shù)定義的過程．讓學生感受到因角的概念的擴展，銳角三角函數(shù)概念擴展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過來，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個包含關(guān)系．讓學生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個定義是自然的．三．教學問題診斷分析從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學習，從認知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來說，是屬于“下、上位關(guān)系學習”，是一個從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學策略上先復(fù)習包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認知結(jié)構(gòu)，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．學生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數(shù)，這對研究任意角三角函數(shù)在認識上會有一定的局限性，所以學生在用角的終邊上的點的坐標來研究三角函數(shù)可能會有一定的困難．可以讓學生在原有的對銳角三角函數(shù)的幾何認識的基礎(chǔ)上，嘗試讓學生建立用終邊上的點的坐標定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點的坐標定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．教學的另一個難點是，任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集）．因為學生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實數(shù)集建立一一對應(yīng)”到底是為了什么．可以在復(fù)習銳角三角函數(shù)時，把銳角說成區(qū)間（0，四．教學支持條件分析利用幾何畫板軟件，可以動態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點的坐標大小的特點，便于學生認識任意角的位置的改變，所對應(yīng)的三角函數(shù)值也改變的特點，感受函數(shù)的本質(zhì)；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號的變化情況，加深對任意角三角函數(shù)概念的理解，增強教學效果．）內(nèi)的角，以便分散這個難點． 五．教學過程設(shè)計 1．理解銳角三角函數(shù)要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．問題1 任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．教師用幾何畫板任意畫一個銳角．要求學生自己任意也畫一個銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對邊長、斜邊長，計算比值．意圖：復(fù)習初中所學習過的銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學習任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ)．突出：（1）與點的位置的選取無關(guān)；（2）是直角三角形中線段長度的比值． 問題2 能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？意圖：學生根據(jù)自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認為把斜邊畫成單位長比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．問題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對應(yīng)一個實數(shù)），對應(yīng)的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點的縱坐標比較．銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實數(shù)可以一一對應(yīng)，所以，α是（0，）上的實數(shù)．而與之對應(yīng)的函數(shù)值sinα是線段長度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實數(shù)．問題4 你產(chǎn)生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”意圖：這個問題具有元認知提示的特點，引導(dǎo)學生勤于思考，逐步學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題．三條邊相互比，可以產(chǎn)生六個比．還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”教師利用幾何畫板，把角α的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合，轉(zhuǎn)動另一條邊，表現(xiàn)任意角．問題5 現(xiàn)在，角的范圍擴大了．在直角坐標系中，使得角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認為，對于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來定義好呢？意圖：可以打破知識結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學習新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與