【正文】 能被11整除的最大的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。4．求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）2485；（2）63582；（3）987654321。5．求6．六位數(shù)除以11的余數(shù)。5A634B能被33整除，求A+B。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程7．七位數(shù)3A8629B是88的倍數(shù)，求A和B。第7講 找規(guī)律（一）我們在三年級已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個題目，學(xué)習(xí)了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這一講重點學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復(fù)一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比如，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，?是按照0，1，2三個數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。下面，我們通過一些例題作進一步講解。例1 節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈、??這樣排下去。問：（1）第100盞燈是什么顏色？（2）前150盞彩燈中有多少盞藍燈？分析與解：這是一個周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍、3黃，每12盞燈一個周期循環(huán)出現(xiàn)。（1）100247。12＝8??4，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈。（2）150247。12=12??6，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍燈412＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍燈，所以共有藍燈48＋1=49（盞）。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 有一串數(shù)，任何相鄰的四個數(shù)之和都等于25。已知第1個數(shù)是3，第6個數(shù)是6，第11個數(shù)是7。問：這串數(shù)中第24個數(shù)是幾？前77個數(shù)的和是多少？分析與解：因為第1，2，3，4個數(shù)的和等于第2，3，4，5個數(shù)的和，所以第1個數(shù)與第5個數(shù)相同。進一步可推知，第1，5，9，13，?個數(shù)都相同。同理，第2，6，10，14，?個數(shù)都相同，第3，7，11，15，?個數(shù)都相同，第4，8，12，16?個數(shù)都相同。也就是說，這串數(shù)是按照每四個數(shù)為一個周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第2個數(shù)等于第6個數(shù)，是6；第3個數(shù)等于第11個數(shù)，是7。前三個數(shù)依次是3，6，7，第四個數(shù)是25（3+6+7）=9。這串數(shù)按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。第24個數(shù)與第4個數(shù)相同，是9。由77247。4＝9??1知，前77個數(shù)是19個周期零1個數(shù)，其和為2519+3=478。例3 下面這串數(shù)的規(guī)律是：從第3個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)。問：這串數(shù)中第88個數(shù)是幾？628088640448?分析與解：這串數(shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個相鄰數(shù)字與前面的某兩個相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。我們試著將這串數(shù)再多寫出幾位：綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程當寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時就會發(fā)現(xiàn)，它們與第1，2位數(shù)相同，所以這串數(shù)按每20個數(shù)一個周期循環(huán)出現(xiàn)。由88247。20=4??8知，第88個數(shù)與第8個數(shù)相同，所以第88個數(shù)是4。從例3看出，周期性規(guī)律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。例4 在下面的一串數(shù)中，從第五個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字。那么在這串數(shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個數(shù)是“2000”？***7134?分析與解：無休止地將這串數(shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，因為這個周期很長，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，這串數(shù)的前四個數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串數(shù)依次寫出來，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇??可以看出，這串數(shù)是按照四個奇數(shù)一個偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠不會出現(xiàn)四個偶數(shù)連在一起的情況，即不會出現(xiàn)“2000”。例5 A，B，C，D四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子??當100位小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？ 分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，A，B，C，D四個盒子中的球數(shù)如下表： 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個盒子中球的情況相同，所以從第2人放過后，每經(jīng)過4人，四個盒子中球的情況重復(fù)出現(xiàn)一次。（1001）247。4＝24??3，所以第100次后的情況與第4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個球。練習(xí)71．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復(fù)排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？2．將1，2，3，4，?除以3的余數(shù)依次排列起來，得到一個數(shù)列。求這個數(shù)列前100個數(shù)的和。3．有一串數(shù)，前兩個數(shù)是9和7，從第三個數(shù)起，每個數(shù)是它前面兩個數(shù)乘積的個位數(shù)。這串數(shù)中第100個數(shù)是幾？前100個數(shù)之和是多少？4．有一列數(shù)，第一個數(shù)是6，以后每一個數(shù)都是它前面一個數(shù)與7的和的個位數(shù)。這列數(shù)中第88個數(shù)是幾？5．小明按1～3報數(shù)，小紅按1～4報數(shù)。兩人以同樣的速度同時開始報數(shù)，當兩人都報了100個數(shù)時，有多少次兩人報的數(shù)相同？6．A，B，C，D四個盒子中依次放有9，6，3，0個小球。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球??當100個小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？第8講 找規(guī)律（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即aa叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2＝aa；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝aaa。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。因為積的個位數(shù)只與被乘數(shù)的個位數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)有關(guān)，所以an的個位數(shù)只與a的個位數(shù)有關(guān)，而a的個位數(shù)只有0，1，2，?，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。為了找出一個整數(shù)a自乘n次后，乘積的個位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，?的個位數(shù)字各是什么。從表看出，an的個位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當a的個位數(shù)是0，1，5，6時，an的個位數(shù)仍然是0，1，5，6。（2）當a的個位數(shù)是4，9時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是4時，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是9時，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。（3）當a的個位數(shù)是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每四個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程個位數(shù)是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。例1 求67999的個位數(shù)字。分析與解：因為67的個位數(shù)是7，所以67n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。999247。4＝249??3，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字相同，即67999的個位數(shù)字是3。例2 求291+3291的個位數(shù)字。分析與解：因為2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91247。4＝22??3，所以，291的個位數(shù)字與23的個位數(shù)字相同，等于8。類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291247。4＝72??3，所以3291與33的個位數(shù)相同，等于7。最后得到291+3291的個位數(shù)字與8+7的個位數(shù)字相同，等于5。例3 求281282929的個位數(shù)字。解：由128247。4＝32知，28128的個位數(shù)與84的個位數(shù)相同，等于6。由29247。2＝14??1知，2929的個位數(shù)與91的個位數(shù)相同，等于9。因為6＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為16－9＝7。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例4 求下列各除法運算所得的余數(shù)：（1）7855247。5；（2）555247。3。分析與解：（1）由55247。4＝13??3知，7855的個位數(shù)與83的個位數(shù)相同，等于2，所以7855可分解為10a＋2。因為10a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2。（2）因為a247。3的余數(shù)不僅僅與a的個位數(shù)有關(guān)，所以不能用求555的個位數(shù)的方法求解。為了尋找5n247。3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余數(shù)是1，53除以3的余數(shù)與15=5除以3的余數(shù)相同。這是因為52＝38+1，其中38能被3整除，而53=（38+1）5=（38）5+15，（38）5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與15除以3的余數(shù)相同。由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。由55247。2=27??1知，555247。3的余數(shù)與51247。3的余數(shù)相同，等于2。例5 某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？分析與解：1時后有13=31（個）細菌，2時后有313=32（個）細菌??20時后，有320個細菌，所以本題相當于“求320247。7的余數(shù)”。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的余數(shù)列表如下：由上表看出，3n247。7的余數(shù)以六個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由20247。6＝3??2知，320247。7的余數(shù)與32247。7的余數(shù)相同，等于2。所以最后還剩2個細菌。最后再說明一點，an247。b所得余數(shù)，隨著n的增大，必然會出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因為所得余數(shù)必然小于b，所以在b個數(shù)以內(nèi)必會重復(fù)出現(xiàn)。練習(xí)81．求下列各數(shù)的個位數(shù)字：（1）3838；（2）2930；（3）6431；（4）172．求下列各式運算結(jié)果的個位數(shù)字：（1）9222＋5731；（2）615+487+349；（3）4696211；（4）3748+59610。3．求下列各除法算式所得的余數(shù)：（1）5100247。4；（2）8111247。6；（3）488247。7 第9講 數(shù)字謎（一）我們在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些簡單的數(shù)字謎問題。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過的知識外，還要學(xué)習(xí)一些新的內(nèi)容。例1 在下面算式等號左邊合適的地方添上括號，使等式成立：5+78+12247。42＝20。分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的78所得的積比20大得多。因此必須設(shè)法使這個積縮小一定的倍數(shù)，化大為小。從整個算式來看，78是4的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)，5不能被4整除，因此可在78+12前后添上小括號，再除以4得17，5＋172=20。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程解：5+（78+12）247。42=20。例2 把1～9這九個數(shù)字填到下面的九個□里，組成三個等式（每個數(shù)字只能填一次）：分析與解：如果從加法與減法兩個算式入手，那么會出現(xiàn)許多種情形。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：23＝6或24＝8，所以應(yīng)當從乘法算式入手。因為在加法算式□+□=□中，等號兩邊的數(shù)相等，所以加法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和是偶數(shù)；而減法算式□□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和也是偶數(shù)。于是可知，原題加減法算式中的六個數(shù)的和應(yīng)該是偶數(shù)。若乘法算式是24＝8，則剩下的六個數(shù)1，3，5，6，7，9的和是奇數(shù)，不合題意；若乘法算式是23＝6，則剩下的六個數(shù)1，4，5，7，8，9可分為兩組：4＋5＝9，87＝1（或81＝7）；1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。所以答案為 與綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例3 下面的算式是由1～9九個數(shù)字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數(shù)填入□，使得等式成立：□□□247。□□=□□=□7。分析與解：因為左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被減數(shù)只能填9，由此知左端被除數(shù)的百位數(shù)只能填1，故中間減式有86，64，53和42四種可能。經(jīng)逐一驗證，86，64和42均無解，只有當中間減式為53時有如下兩組解：128247。64=53=97，或 164247。82＝53＝97。例4 將1～9九個數(shù)字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：□+□=6，□□=8，□□=6，□□247。□=8。分析與解：因為每個□中要填不同的數(shù)字，對于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對于乘式也只有兩種填法：18或24。加式與乘式的數(shù)字不能相同，搭配后只有兩種可能：（1）加式為1＋5，乘式為24；（2）加式為2+4，乘式為18。對于（1），還剩3，6，7，8，9五個數(shù)字未填，減式只能是93，此時除式無法滿足；對于（2），還剩3，5，6，7，9五個數(shù)字未填，減式只能是93，此時除式可填56247。7。答案如下：2＋4＝6，18＝8，9－3＝6，56247。7＝8。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2～例4都是對題目經(jīng)過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可能情況的題目，如果可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。例5 從1～9這九個自然數(shù)中選出八個填入下式的八個○內(nèi)，使得算式的結(jié)果盡可能大：[○247?！穑ā?○）][○○+○○]