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【正文】 tg d g u t h a x u dxL ? ????. 下面我們來根據(jù)()Bt的定義，直接估計可得： 0( ) = ( ) ( ( ) ( ) )tB t u g t u t u d dx?? ? ? ???（ ） 00( ( ) ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ) )ttg t u t u d g t u d dx?? ? ? ? ?? ? ? 0) ( ( ) ( ( ) ( ) ) )tta x u g t u t u d dx?? ? ??? 0( ( ) ( ( ) ( ) ) )tu u g t u t u d dx? ? ? 200 ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) )+1 +1ttt t tu u g t u t u d dx g d u dx???? ???? ? ? ?? ? ? ? 20 ) ( ( ) )tu d dx g d u dx????? ? ?. 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 16 當(dāng) 0?? 時，首先估計式子右端第一項： 0( ( ) ( ( ) ( ) ) )tu g t u t u d dx? ? ? ??? 2 01 ) ( ) ( )4 tu dx g d g u t? ?? ??? ? ? ???????. 估計第二項： 00( ( ) ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ) )ttg t u t u d g t u d dx? ? ? ? ?? ? ? 22001( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )4ttg t u d dx g t u t u d dx? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 20 ( ) ( ( ) ( ) )t g t u t u dx? ?? ? ? ??? 22 012 ( 1 ) ( ) ( ) ( )4 tL u dx g d g u t? ?? ??? ? ? ? ??????? 22 012 ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( )4 tL u dx g d g u t?? ?? ??? ? ? ? ? ?????. 估計第三項： 0( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ) )tta x u g t u t u d dx? ?? ? ?2 ( ) ( ) ( )4t Ca u dx g d g u t? ?? ?? ? ??. 估計第四項： 0( ( ) ( ( ) ( ) ) )tu u g t u t u d dx?? ???? ? ?2( 1 ) ( ) ( ) ( )4Cu dx g d g u t?? ???? ? ??, 其中， 2( 1 ) 2( + 1) 22( + 1) 22 ( 0)()Eu dx C u C uL?? ???? ? ? ? ??, 綜上所述， 0( ( ) ( ( ) ( ) ) )tu u g t u t u d dx?? ? ? 222 ( 0)( ) ( ) ( ) + ( )4CEg d g u t C uL ??? ? ?. 估計第五項： 通過 Sovolev 嵌入定理 ,且 ( ) (0), 0E t E t??，可以得出： 2 ( 1 ) 2( 2 ( 0) )u dx C E u dx? ?????. 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 17 繼而 得： 01 ( ) ( ( ) ( ) )+1 tttu u g t u t u d dx??? ? ??? 2 ( 0)( 2 ( 0) ) ( ) ( )+1 4 ( 1 )tC g CE u dx g u t?? ? ? ?? ?? ? ? ? ???. 估計第六項： 0( ) ( ( ) ( ) )ttu g t u t u d dx? ? ???? 22( 0) ( ) ( ) ( )4 tt ogu dx C g t u t u dx d? ??? ?? ? ? ? ?? ? ? 2 ( 0) ( ) ( )4t gu dx C g u t? ?? ?? ? ??. 綜上所述， 22 22 ( 0)( ) 1 2( 1 ) ( ) + ( 2 ( 0) )+1ECB t L C E uL ???? ???? ? ? ? ? ????? 01+ 2 ( ) ( ) ( )22 tC g d g u t????? ??? ? ??? ?????? ? 4 ( 0) 4 ( 0) ( ) ( )4 4 ( 1 )gg C g u t? ? ? ???? 20(1 ) ( )t ta g u dx? ? ?? ? ? ?? 201 ( ( ) ) .+1 t ng d U dx?? ???? 且0(0) 0 0 ,gt??時 存 在使得： 0 0000( ) ( ) 0 , .ttg d g d g t t? ? ? ? ? 整理以上，我們可得： ( ) : ( ) ( ) ( )Z t M E t A t B t?? ? ? 2 ( ( ) ) ( ) tM C h a x u d x?? ??? ? 220 4( 1 ) 4t La g u dx u dx??? ???? ?? ? ??? 2222 ( 0)1 2( 1 ) ( ) + ( 2 ( 0) )4 +1L E CL C E uL ??? ?? ? ? ? ? ? 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 18 01+ 2 ( ) ( ) ( )2 2 2 tC g d g u tL? ????? ??? ? ? ??? ?????? ? +2+2( 0) ( ) ( )42 tgM C g u t u ???? ?? ? ? ?. 在此，我們讓0 /2g??,，則存在足夠小的 ? ，使得： 02m in , 2 ( 0)2( 1 )1 2( 1 ) ( ) + ( 2 ( 0) )+1g LECa L C EL????? ??????? ???? ? ???. 同理： 0(1 ) 0ag? ?? ? ? ?. 2 2 ( 0)1 2( 1 ) ( ) + ( 2 ( 0) ) 04 +1L E CL C EL ??? ?? ? ? ? ?. 而對于任意存在的 ? 和 ? ，我們可以找出足夠大的 M ，使其滿足M ( ) 0Ch? ? . 0( 0) 1 2 ( ) 04 2 2 2 2 tg M CC g dL???? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? ?. 因此，在假設(shè)()g g x?? ??（ x)的條件下，對于些 0?? ， 可得： +2 22+2( ) ( ) ( )t t t tZ t u u u g u t? ???? ??????? ? ? ? ? ? ?????. 由上述可知，存在正常數(shù) a ，可得( ) ( )Z t aE t? ??， 0tt?? ， 利用定理可推知( ) ( )aZ t Z tb?， 0tt?? . 最后將上述不等式積分， 得到： 0()0( ) ( ) a ttbZ t Z t e ??? ， 0tt?? . 因此也就證明了衰減性。 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 19 致 謝 首先我把這篇論文獻給我親愛的的父母親，感謝他們給了我生命，給了我一個完整的家庭，給了我深造的機會，他們教會我踏實做人本分做事一步一個腳印，也感謝他們給予我無保留的的愛和奉獻的精神，事實證明，這足以受用終生。我要感謝我大學(xué)四年來的所有的老師，他們的兢兢業(yè)業(yè)的教誨共同鑄就了這篇論文，沒有他們孜孜矻矻的教化，難以想象這一切是如何開始又如何結(jié)尾的 ，尤其感謝我們的李文清老師，在我寫論文之伊始，李老師就傾注了大量心血，指點我如何選材，如何查詢必要的資料，如何深入淺出地分析案例，李老師嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、誨人不倦的精神、淵博的知識對我產(chǎn)生了無法估量的影響，在這里我要祝福李老師，身體健康，萬事通達。本文是對我大學(xué)四年的學(xué)習(xí)成果的總結(jié)，大家的閱讀是我至上的榮耀，如果大家能提出一些意見和建議，我更是求之不得，感激不盡。時光飛逝，在這四年里我經(jīng)歷了許許多多難以忘懷的時刻，在這生命最美麗的四年里和將近四年的學(xué)習(xí)生活中，我要感謝我的一些同學(xué)和朋友們，你們的支持是我前進的 動力，你們的幫助更是對我的激勵，感謝在最美麗的年華遇到所有的你們。 最后，感謝自己，曾經(jīng)的努力，造就一個更加自信，更加完美的自己，告訴自己，路一直都在，不拋棄，不放棄。 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 20 參考文獻 [1]Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J. Existence and uniform decay for a nonlinear viscoalastic equation with strong damping [M].20xx . [2]Tater N,Messaoudi S A. Exponential and polynomial decay for a quasilinear viscoelastic equation[M]Nonlinear Analysis,20xx(68)785793 [3]韓小森，王明新，帶非線性阻尼的粘彈方程解的整體存在性和一致衰減性， [M].20xx [4]Shuntang decay of solutions for a viscoelastic equation with nonlinear damping and source terms [M].20xx. [5]Xiaosen Han,Mingxin Wang,General decay of energy for a viscoelastic equat ion with nonlinear damping [M].20xx [6]Wenjun Liu. Exponential or polynomial decay of solutions to a viscoelastic equation with nonlinear localized damping [M].20xx. [7]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，高等數(shù)學(xué) [M].高等教育出版社， 1979. [8]張全德，非線性波動方程整體解的存在性與唯一性 [J].陜西師大學(xué)報 (自然科學(xué)版 ),20(1992)81— 82. [9]Messaoudi A,Berrimi S. Existence and decay of solutions of a viscoalastic equ ation with a nonlinear source[M].Nonlinear Analysis,20xx,23142331 [10]Tater N,Messaoudi S A. 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