【正文】 中的運(yùn)算，再進(jìn)行小括號外面的運(yùn)算。按通常的規(guī)則從左至右進(jìn)行運(yùn)算。例5已知a※b=（a+b）（ab），求9※2的值。分析與解：這是一道很簡單的題，把a(bǔ)=9，b=2代入新運(yùn)算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則運(yùn)算的法則，我們可以先把新運(yùn)算“※”化簡，再求結(jié)果。a※b=（a+b）（ab）=a+ba+b=2b。所以，9※2=22=4。由例1可知，如果定義的新運(yùn)算是用四則混合運(yùn)算表示，那么在符合四則混合運(yùn)算的性質(zhì)、法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運(yùn)算量，又提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度。例6定義運(yùn)算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個(gè)數(shù)，k為常數(shù)。比如：2⊙7=32+527+7k。（1）已知5⊙2=73。問：8⊙5與5⊙8的值相等嗎？（2）當(dāng)k取什么值時(shí)，對于任何不同的數(shù)a，b，都有a⊙b=b⊙a(bǔ)，即新運(yùn)算“⊙”符合交換律？分析與解：（1）首先應(yīng)當(dāng)確定新運(yùn)算中的常數(shù)k。因?yàn)?⊙2=35+552+k =65+2k，所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（7365）247。2=4。定義的新運(yùn)算是：a⊙b=3a+5ab+4b。8⊙5=38+585+45=244，5⊙8=35+558+48=247。因?yàn)?44≠247，所以8⊙5≠5⊙8。（2）要使a⊙b=b⊙a(bǔ)，由新運(yùn)算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb3bka=0，3(ab)k(ab)=0，(3k)(ab)=0。對于兩個(gè)任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3k=0，即k=3。當(dāng)新運(yùn)算是a⊙b=3a+5ab+3b時(shí)，具有交換律，即 a⊙b=b⊙a(bǔ)。例7 對兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a☆b，即a☆b=[a，b]（a，b）。比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么10☆14=702=68。（1）求12☆21的值；（2）已知6☆x=27，求x的值。分析與解：（1）12☆21=[12，21]（12，21）=843=81；（2）因?yàn)槎x的新運(yùn)算“☆”沒有四則運(yùn)算表達(dá)式，所以不能直接把數(shù)代入表達(dá)式求x，只能用推理的方法。因?yàn)?☆x=[6，x]（6，x）=27，而6與x的最大公約數(shù)（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)[6，x]只能是28，29，30，33。這四個(gè)數(shù)中只有 30是 6的倍數(shù)，所以 6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因?yàn)閍b=[a，b]（a，b），所以6x=303，由此求得x=15。課后練習(xí)姓名： 分?jǐn)?shù)：，規(guī)定a*b=3ab247。3。求8*9的值?！騜表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求8◎2的值?！髇表示m的3倍減去n的2倍，即 m◇n=3m2n。b表示（ab）247。（a+b），試計(jì)算：（53）（106）。b表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求134的值。（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。第十二講 奇偶性整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如0，2，4，6，8，10，12，14，16，?（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，?整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個(gè)整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因?yàn)榕紨?shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。每一個(gè)整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個(gè)屬性叫做這個(gè)數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：（1）兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來，兩個(gè)數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個(gè)數(shù)奇偶性相同；兩個(gè)數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個(gè)數(shù)肯定是一奇一偶。（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個(gè)偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。（3）兩個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。（4）若干個(gè)數(shù)相乘，如果其中有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個(gè)數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；如果若干個(gè)數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。因?yàn)椋?n）2=4n2=4n2，所以（2n）2能被4整除；因?yàn)椋?n+1）2=4n2+4n+1=4（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。（7）相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。（8）如果一個(gè)整數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)（包括1和這個(gè)數(shù)本身），那么這個(gè)數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個(gè)整數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)數(shù)一定不是平方數(shù)。整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點(diǎn)關(guān)系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+?+1997+1998。分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來判斷這個(gè)和的奇偶性。但如果能不計(jì)算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2），和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無關(guān)。1～1998中共有999個(gè)奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。例2 能否在下式的□中填上“+”或“”，使得等式成立？1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。分析與解：等號左端共有9個(gè)數(shù)參加加、減運(yùn)算，其中有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)。5個(gè)奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因?yàn)椤捌鏀?shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。例3 任意給出一個(gè)五位數(shù)，將組成這個(gè)五位數(shù)的5個(gè)數(shù)碼的順序任意改變，得到一個(gè)新的五位數(shù)。那么，這兩個(gè)五位數(shù)的和能不能等于99999？分析與解：假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等于99999，則有下式：其中組成兩個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼完全相同。因?yàn)閮蓚€(gè)個(gè)位數(shù)相加，和不會大于 9+9=18，豎式中和的個(gè)位數(shù)是9，所以個(gè)位相加沒有向上進(jìn)位，即兩個(gè)個(gè)位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個(gè)加數(shù)的10個(gè)數(shù)碼之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇數(shù)。另一方面，因?yàn)榻M成兩個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼完全相同，所以組成兩個(gè)加數(shù)的10個(gè)數(shù)碼之和，等于組成第一個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。奇數(shù)≠偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等于99999，所以假設(shè)不成立，即這兩個(gè)數(shù)的和不能等于99999。例4 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下？分析與解：盲目的試驗(yàn)，可能總也找不到要領(lǐng)。如果我們分析一下每次翻轉(zhuǎn)后杯口朝上的杯子數(shù)的奇偶性，就會發(fā)現(xiàn)問題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只，是奇數(shù)；第一次翻轉(zhuǎn)后，杯口朝上的變?yōu)?只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，因?yàn)橹荒芊D(zhuǎn)兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝上的杯子數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說，不可能使7只杯子全部杯口朝下。例5 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的（m1）只杯子。經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？分析與解：當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，（m1）是偶數(shù)。由例2的分析知，如果每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)只杯子，那么無論經(jīng)過多少次翻轉(zhuǎn)，杯口朝上（下）的杯子數(shù)的奇偶性不會改變。一開始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)（m1）即偶數(shù)只杯子。無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝下的杯子數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)，不可能全部朝上。當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，（m1）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m= 4的情形入手觀察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻轉(zhuǎn)3只杯子，保持不動的杯子用*號標(biāo)記。翻轉(zhuǎn)情況如下：由上表看出，只要翻轉(zhuǎn)4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不動，就可達(dá)到要求。一般來說，對于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對于m只杯子，當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，因?yàn)椋╩1）是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉(zhuǎn)（m1）次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點(diǎn)，只需要翻轉(zhuǎn)m次，并且依次保持第1，2，?，m只杯子不動，這樣在m次翻轉(zhuǎn)中，每只杯子都有一次沒有翻轉(zhuǎn)，即都翻轉(zhuǎn)了（m1）次。綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)（m1）只。當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，無論翻轉(zhuǎn)多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，翻轉(zhuǎn)m次，可以使m只杯子全部改變初始狀態(tài)。課后練習(xí)姓名： 分?jǐn)?shù)：三個(gè)兩個(gè)7中選出5個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)的和等于22？，得一個(gè)新的三位數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學(xué)的計(jì)算有沒有錯？：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，?第十三講列方程解應(yīng)用題有些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題，用算術(shù)方法求解比較困難。此時(shí)，如果能恰當(dāng)?shù)丶僭O(shè)一個(gè)未知量為x（或其它字母），并能用兩種方式表示同一個(gè)量，其中至少有一種方式含有未知數(shù)x，那么就得到一個(gè)含有未知數(shù)x的等式，即方程。利用列方程求解應(yīng)用題，數(shù)量關(guān)系清晰、解法簡潔，應(yīng)當(dāng)熟練掌握。例1商店有膠鞋、布鞋共46雙，，全部賣出后，膠鞋比布鞋多收入10元。問：膠鞋有多少雙？分析：此題幾個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系不容易看出來，用方程法卻能清楚地把它們的關(guān)系表達(dá)出來。設(shè)膠鞋有x雙，則布鞋有（46x）雙。，（46x）元，根據(jù)膠鞋比布鞋多收入10元可列出方程。解：設(shè)有膠鞋x雙，則有布鞋（46x）雙。（46x）=10，+=10，=，x=21。答：膠鞋有21雙。分析：因?yàn)轭}目條件中黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)都是與紅球個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，所以答：袋中共有74個(gè)球。在例1中，求膠鞋有多少雙，我們設(shè)膠鞋有x雙；在例2中，求袋中共有多少個(gè)球，我們設(shè)紅球有x個(gè)，求出紅球個(gè)數(shù)后，再求共有多少個(gè)球。像例1那樣，直接設(shè)題目所求的未知數(shù)為x，即求什么設(shè)什么，這種方法叫直接設(shè)元法；像例2那樣，為解題方便，不直接設(shè)題目所求的未知數(shù)，而間接設(shè)題目中另外一個(gè)未知數(shù)為x，這種方法叫間接設(shè)元法。具體采用哪種方法，要看哪種方法簡便。在小學(xué)階段，大多數(shù)題目可以使用直接設(shè)元法。例3某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計(jì)劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米3，灰磚30米3，那么，紅磚缺40米3，灰磚剩40米3。問：計(jì)劃修建住宅多少座？分析與解一：用直接設(shè)元法。設(shè)計(jì)劃修建住宅x座，則紅磚有（80x40）米3，灰磚有（30x+40）米3。根據(jù)紅磚量是灰磚量的2倍，列出方程80x40=（30x+40）2，80x40=60x+80，20x=120，x=6（座）。分析與解二：用間接設(shè)元法。設(shè)有灰磚x米3，則紅磚有2x米3。根據(jù)修建住宅的座數(shù)，列出方程。（x40）80=（2x+40）30，80x3200=60x+1200，20x=4400，x=220（米3）。由灰磚有220米3，推知修建住宅（22040）247。30=6（座）。同理，也可設(shè)有紅磚x米3。留給同學(xué)們做練習(xí)。例4教室里有若干學(xué)生，走了10個(gè)女生后，男生是女生人數(shù)的2倍，又走了9個(gè)男生后，女生是男生人數(shù)的5倍。問：最初有多少個(gè)女生？分析與解：設(shè)最初有x個(gè)女生，則男生最初有（x10）2個(gè)。根據(jù)走了10個(gè)女生、9個(gè)男生后，女生是男生人數(shù)的5倍，可列方程x10=[（x10）29]5，x10=（2x29）5，x10=10x145，9x=135，x=15（個(gè)）。例5一群學(xué)生進(jìn)行籃球投籃測驗(yàn)，每人投10次，按每人進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)的部分情況如下表：還知道至少投進(jìn)3個(gè)球的人平均投進(jìn)6個(gè)球，投進(jìn)不到8個(gè)球的人平均投進(jìn)3個(gè)球。問：共有多少人參加測驗(yàn)？分析與解：設(shè)有x人參加測驗(yàn)。由上表看出，至少投進(jìn)3個(gè)球的有（x754）人，投進(jìn)不到8個(gè)球的有（x341）人。投中的總球數(shù)，既等于進(jìn)球數(shù)不到3個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)3個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù)，07+15+24+6（x754）= 5+8+6（x16）= 6x83，也等于進(jìn)球數(shù)不到8個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)8個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù)，3（x341）+83+94+101，= 3（x8）+24+36+10= 3x+46。由此可得方程6x83=3x+46，3x=129，x=43（人）。例6甲、乙、丙三人同乘汽車到外地旅行，三人所帶行李的重量都超過了可免費(fèi)攜帶行李的重量，需另付行李費(fèi)，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一個(gè)人帶150千克的行李，除免費(fèi)部分外，應(yīng)另付行李費(fèi)8元。求每人可免費(fèi)攜帶的行李重量。分析與解：設(shè)每人可免費(fèi)攜帶x千克行李。一方面，三人可免費(fèi)攜帶3x千克行李，三人攜帶150千克行李超重（1503x）千克，超重行李每千克應(yīng)付4247。（1503x）元；另一方面，一人攜帶150千克行李超重（150x）千克，超重行李每千克應(yīng)付8247。（150x）元。根據(jù)超重行李每千克應(yīng)付的錢數(shù)，可列方程4247。（1503x）=8247。（150x），4（150x）=8（1503x），6004x=120024x，20x=600，x=30（千克）。課后練習(xí)姓名： 分?jǐn)?shù)：還剩60元。問：甲、乙二人各有存款多少元？、小兩個(gè)水池都未注滿水。若從小池抽水將大池注滿，則小池還剩5噸水；若從大池抽水將小池注滿，則大池還剩30噸水。，問：兩池中共有多少噸水？，男孩每人戴一頂黃帽，女孩每人戴一頂紅帽。在每個(gè)男孩看來，黃帽子比紅帽子多5頂；在每個(gè)女孩看來，黃帽子是紅帽子的2倍。問：男孩、女孩各有多少人？，走了10個(gè)女生后，又走了10個(gè)女生后，男生人數(shù)是女生的4倍。問：教室里原有多少個(gè)學(xué)生？第二篇：奧數(shù)教案課題 ：應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系 知識點(diǎn)用數(shù)學(xué)的方法解決在生活和工作中的實(shí)際問題 ————— 解應(yīng)用題。