【導(dǎo)讀】究，既是人們對現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的探究，也是對網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的發(fā)展。活更加有序，讓我們所處的網(wǎng)絡(luò)化社會更加和諧，讓我們的認(rèn)知更進(jìn)一步。絡(luò)模型，模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的研究也得到了廣泛的關(guān)注。對模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)以及BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了仿真分析，對比了他們的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，一條直線，聚類系數(shù)也大致相同。但是模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的模塊度值要遠(yuǎn)大于BA無。標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，更符合我們的真實(shí)網(wǎng)絡(luò)，例如萬維網(wǎng)，Inter等。網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)行為打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

　　

【正文】 網(wǎng)絡(luò)中選取 M 個點(diǎn)作為一個模塊。然后我們對這個模塊中的節(jié)點(diǎn)的度進(jìn)行計(jì)算，那么新加入的節(jié)點(diǎn)就可以根據(jù)這個概率，在這個模塊中進(jìn)行優(yōu)先連接。例如我們想要新開一家服裝店，那么我們一定首選選擇服裝店稠密的街道進(jìn)行開店，就是一個小的模塊，所生成的網(wǎng)絡(luò)也就是模塊化網(wǎng)絡(luò)。 我們本次模擬所采取的算法如下： 1）模塊結(jié)構(gòu)的優(yōu)先連接選擇：當(dāng)有一個新的節(jié)點(diǎn)加入到某個模塊中，或者從一個模塊中挑選其模塊外的節(jié)點(diǎn)數(shù)時，它選擇模塊 i的概率 )( iS? 與模塊的規(guī)模 is 成正比，即： ???k kii SSS )( （ 42） 2）度優(yōu)先選擇連接：給定一個模塊 i ，讓一個新的節(jié)點(diǎn)從中選擇連 接對象時，它選擇模塊 i 內(nèi)節(jié)點(diǎn) j的概率 )( ijK? 為： ????? k ijijij KKK )()( ?? （ 43） 其中 ijK 表示模塊 i內(nèi)節(jié)點(diǎn) j的度 ，而 ? 是一個偏重，且 ? ????? ,m? 。 聚類系數(shù)的 比較 我們知道聚類系數(shù) C 用來表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的聚集情況，即我們平時所說的網(wǎng)絡(luò)有 多緊密。 通過對聚類系數(shù)的比較，我們可以得到網(wǎng)絡(luò)的緊密程度，對網(wǎng)絡(luò)的了解更近一步。 通過研究證實(shí)，只有在全連通網(wǎng)絡(luò)中（即每個節(jié)點(diǎn)都與其他節(jié)點(diǎn)相連），聚類系統(tǒng)才可以等于 1，一般情況下的網(wǎng)絡(luò)中，劇烈系統(tǒng)均小于 1。在完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中， CN，但是在大量的實(shí)驗(yàn)證明下，大部分的真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)比較喜歡聚集在一起， 那么聚類系數(shù) C 的值遠(yuǎn)大于 N，但是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 1。 為了便于對比，我們規(guī)定兩種網(wǎng)絡(luò)模型的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模一致，如表 所示。在往南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 后的實(shí)驗(yàn)中，我們設(shè)定 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型都用 BA 縮寫，而模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型都用 M縮寫。實(shí)驗(yàn)中兩種網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)設(shè)置如表 所示。 表 網(wǎng)絡(luò)參數(shù)表 BA 模型 M模型 0m =8 0m =8 2?m m=2 N=20xx N=20xx 隨機(jī)連接 C=5 首先，我們進(jìn)行 BA 模型的計(jì)算。 我們設(shè)定 網(wǎng)絡(luò)參數(shù) 為， 2 0 0 0280 ??? Nmm ， 連接方式為隨機(jī)連接，那么我們得到的運(yùn)行結(jié)果如下： ?BAc 但是我們知道網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)的大小與網(wǎng)絡(luò)的連接方式息息相關(guān)，所以我們改變網(wǎng)絡(luò)的連接方式， 將表 中的 連接方式 改 為全連接，得到的運(yùn)行結(jié)果如下：?BAc 。 在此基礎(chǔ)上，我們?yōu)榱颂岣叩奈覀兘y(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，我們擴(kuò)大網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模， 將表 中的 N值變?yōu)?3000，得到的運(yùn)行結(jié)果如下： ?BAc 。 然后，我們進(jìn)行模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型聚類系數(shù)的計(jì)算。 為了方便，在此我們設(shè)定網(wǎng)絡(luò)參數(shù)： 52 0 0 0280 ???? CNmm ，， ，連接方式為隨機(jī)連接，我們得到運(yùn)行結(jié)果如下 ： ?MC 。然后我們改變防落的連接方式， 將表 中的 連接方式 改 為全連接 ，得到運(yùn)行結(jié)果如下： ?Mc 。 然后擴(kuò)大網(wǎng)絡(luò)規(guī)模，將表 中的 N值變?yōu)?3000 得到結(jié)果如下： ?Mc 。 通過以上 幾 次試驗(yàn)，我們得到，網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)的大小與網(wǎng)絡(luò)的連接方式有關(guān)，從理論上來說，一個完全連通的網(wǎng)絡(luò)， 聚類 系數(shù)應(yīng)該為 1，其他都應(yīng)該小于 1。在最開 始的 網(wǎng)絡(luò)以完全連通時， 聚 類系 數(shù) 大大提高 且 接近于 1， 隨著 網(wǎng)絡(luò)規(guī)模 的 擴(kuò)大，聚類系統(tǒng)就無限趨近于 1。 南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 而 BA 網(wǎng)絡(luò)與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行對比，我們發(fā)現(xiàn)二者大致相同，更精確來說，模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)要略大于 BA網(wǎng)絡(luò)，這是因?yàn)槟K化網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)優(yōu)先選取模塊內(nèi)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行鏈接，所以模塊內(nèi)的節(jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)要大大增大。 平均路徑長度的 比較 在我們的網(wǎng)絡(luò)研究中，我們一般 把 兩節(jié)點(diǎn)間的距離， 也就是 兩節(jié)點(diǎn)間最短路徑的邊 所存在的 數(shù)目為最短路徑， 那么 網(wǎng)絡(luò)中任意兩點(diǎn)間最大距離 就是我們所說的網(wǎng)絡(luò)直徑 。我們把所有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)對之間的距 離平均值定義為平均路徑，這個指數(shù)描述了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的分離程度，即我們所說的網(wǎng)絡(luò)的大小。下面通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。 其中兩種網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)設(shè)置如表 所示。 表 網(wǎng)絡(luò)參數(shù)表 BA 模型 M 模型 0m =10 0m =10 2?m m=2 N=20xx N=20xx 隨機(jī)連接 C=5 首先，我們進(jìn)行 BA 網(wǎng)絡(luò)模型的計(jì)算。 我們定義網(wǎng)絡(luò) 參數(shù) 為： 2 0 0 02100 ??? Nmm ， ，連接方式為隨機(jī)連接，得到的結(jié)果如下： inf?BAL 。我們發(fā)現(xiàn)結(jié)果為無窮大，這是因?yàn)槲覀兯⒌倪@個網(wǎng)絡(luò)為隨機(jī)連接，一些節(jié)點(diǎn)之間的無限連接，從而導(dǎo)致了這個結(jié)果。下面，我們改變網(wǎng)絡(luò)的連接方式， 將表 中的 連接方式為 變?yōu)?全連接，所得到的結(jié)果如下： ?BAL 。接下來，我們改變網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模， 將表 中的 N 值變?yōu)?3000，得到運(yùn)行結(jié)果如下：?BAL 。 其次，我們再進(jìn)行模塊化網(wǎng)絡(luò)模型的計(jì)算。 南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 定義網(wǎng)絡(luò)參數(shù)： 52 0 0 02100 ???? CNmm ，， ，連接方式為隨機(jī)連接，運(yùn)行結(jié)果如下： inf?ML 。然后改變網(wǎng)絡(luò)的連接方式，將表 中的連接方式變?yōu)槿B接 ，得到結(jié)果如下： ?ML ， 最后 我們改變網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模，將表 中的 N 值變?yōu)?3000，得到結(jié)果如下：?ML 。 由此結(jié)果我們知道， BA 模型與模塊化模型相比較，模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的平均路徑均長度要略大于 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型，這說明模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的分離程度大于 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型。這是因?yàn)槟K化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在進(jìn)行連接時，優(yōu)先選擇模塊，然后在模塊內(nèi)進(jìn)行優(yōu)先連接。因此，模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的平均路徑長度要大于 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的平均路徑長度。 我們知道在 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型 中，節(jié)點(diǎn)之間優(yōu)先于節(jié)點(diǎn)度比較大的節(jié)點(diǎn)連接，導(dǎo)致了其他的節(jié)點(diǎn)之間比較分散，距離較遠(yuǎn)，因此路徑長度 也比 較大。我們可以推斷出， BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的路徑長度要大于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)。 度分布 與累積度 的比較 度分布的比較 節(jié)點(diǎn)的度是指，網(wǎng)絡(luò)中與該節(jié)點(diǎn)連接的邊的數(shù)目。是對一個節(jié)點(diǎn)屬性的重要評判指標(biāo)。一個節(jié)點(diǎn)的度越大，說明這個節(jié)點(diǎn)連接的節(jié)點(diǎn)越多，在網(wǎng)絡(luò)中所承擔(dān)的任務(wù)也就越多，扮演的角色也就越重要。因此，對節(jié)點(diǎn)的度的研究具有深遠(yuǎn)的意義。 在我們的網(wǎng)絡(luò)研究中，針對單個節(jié)點(diǎn)而言，我們要研究他們的單個節(jié)點(diǎn)的度分布情況。在此， 我們通過 Matlab 代碼計(jì)算出每個節(jié)點(diǎn)的度，并以圖的形式表示出各個節(jié)點(diǎn)度的大小。 首先，為了方便對比，我們定義兩種網(wǎng)絡(luò)模型的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模一致，兩種網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)設(shè)置如表 所示 。 南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 表 網(wǎng)絡(luò)參數(shù)表 BA 模型 M模型 0m =5 0m =5 m=3 m=3 N=20xx N=20xx 隨機(jī)連接 C=5 BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果如圖 所示： 圖 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布圖 模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果如圖 所 示 ： 南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 圖 模塊化無標(biāo)度度分布圖 我們知道，在 BA 網(wǎng)絡(luò)模型中，在整個網(wǎng)絡(luò)中是進(jìn)行優(yōu)先連接的，所以在整個網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)分布是比較分散的，每個節(jié)點(diǎn)的度分布都不相同。當(dāng)有新的節(jié)點(diǎn)加入到網(wǎng)絡(luò)中，與網(wǎng)絡(luò)中度大的節(jié)點(diǎn)有限連接，逐個逐個的降低，因而度分布的大小必然不一樣 。 我們在進(jìn)行試驗(yàn)時，為了減少偶然因素，提高我們統(tǒng)計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性，保證試驗(yàn)的科學(xué)性，我們擴(kuò)大網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模來觀察度分布的大小。 我們改變網(wǎng)絡(luò) 總節(jié)點(diǎn)數(shù) ， 將表 中的 N 值由 20xx 擴(kuò)大為 3000，我們得到 BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果 如 圖 所示 ： 南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 圖 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布圖 我們得到模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果如圖 所示 ： 圖 模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布圖 接下來，我們再改變網(wǎng)絡(luò)的連接方式， 將表 中的 隨機(jī)連接改變?yōu)槿B接。 南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 我們 得到 BA 模型的 結(jié)果如 圖 所示 ： 圖 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布圖 我們得到模塊化無標(biāo)度模型的結(jié)果如圖 所示 ： 圖 模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布圖 接下來改變 m的參數(shù)， 將表 中的 m值由 2 改為 3。 我們 得到 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型 如 圖 所示 ： 南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 圖 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布圖 我們得到模塊 化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)果如圖 所示： 圖 模塊化網(wǎng)絡(luò)度分布圖 從度分布圖的對比來看，模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型所呈現(xiàn)的圖要比 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)所呈現(xiàn)的圖形平緩一些。這是因?yàn)?BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在新節(jié)點(diǎn)加入時，是全局優(yōu)先連接。而模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的新節(jié)點(diǎn)加入時，首先選擇一個模塊，再進(jìn)行優(yōu)先連接，也就是局部優(yōu)先連接，所以，模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的冪律曲線要平緩一些。 南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 從 平均度 來看 ， 不管網(wǎng)絡(luò)的連接方式，只要網(wǎng)絡(luò)的 M 值相同，那么他們的 平均度是相等 的。 在本次模擬實(shí)驗(yàn)中，我們的網(wǎng)絡(luò)參數(shù) m為 2，他們的平均度都為 4。 我們可以初步的判斷，模塊化網(wǎng)絡(luò)比 BA 網(wǎng)絡(luò)更貼切于我們的現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)，符合我們現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的特征。對我們的網(wǎng)絡(luò)研究有著不可替代的作用。 累積度 的 比較 下面我們來分析比較節(jié)點(diǎn)的 累積度 。這里的 累積度 是指每個節(jié)點(diǎn)的度的概率分布圖。我們用累積度分布圖來描繪。通過 累積 度分布圖，我們可以清楚的觀察各個節(jié)點(diǎn)的概率分布，就是我們所說的優(yōu)先連接機(jī)制，在新的節(jié)點(diǎn)加入進(jìn)來時，根據(jù)概率選擇所需要連接的節(jié)點(diǎn)。 首先，我們定義網(wǎng)絡(luò) 參數(shù) ： 2 0 0 0250 ??? Nmm ， ，隨機(jī)連接，所得概率分布圖如 圖 ， 所示 ： 圖 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)圈中節(jié)點(diǎn)度的概率分布圖 南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 圖 模塊化無標(biāo)度 網(wǎng)絡(luò)圈中節(jié)點(diǎn)度的概率分布圖 我們在這里所選定的 BA 模型為隨機(jī)連接，所以在最初始的網(wǎng)絡(luò)中，本身就已經(jīng)存在了度分布的小大關(guān)系，每個節(jié)點(diǎn)的概率也不相同，因此，在新的節(jié)點(diǎn)的加入下，優(yōu)先選擇概率比較大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，而進(jìn)一步加大這一節(jié)點(diǎn)的概率。 我們增大網(wǎng)絡(luò) 總結(jié)點(diǎn)數(shù) ，繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)， 將 N 值由 20xx 變?yōu)?3000，得到結(jié)果如圖 ， 所示 ： 圖 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)圈中節(jié)點(diǎn)度的概率分布圖 南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 圖 模塊化無標(biāo)度 網(wǎng)絡(luò)圈中節(jié)點(diǎn)度的概率分布圖 我們看到， BA 模型的兩次結(jié)果大致相同，概率高的出現(xiàn)在前 500 個節(jié)點(diǎn)，到了第 1000 個節(jié)點(diǎn)左右，就出現(xiàn)了基本一樣的概率 ，用優(yōu)先連接機(jī)制來解釋，因?yàn)榍懊娴墓?jié)點(diǎn)，已經(jīng)通過優(yōu)先連接機(jī)制形成了概率分布，在新的節(jié)點(diǎn)加入進(jìn)來的時候，就自然而然的與前面概率大的節(jié)點(diǎn)優(yōu)先連接，而新進(jìn)來的節(jié)點(diǎn)本身也只有三條邊，被作為新節(jié)點(diǎn)連接的概率比較低，所有后面的節(jié)點(diǎn)幾乎不連接，概率幾近不變。 通過以上實(shí)驗(yàn)，我們可以清楚的觀察到，他們都符合我們上面所分析的冪律分布，且分布的指數(shù)大致為： 1?v 以及 ?? 。 這與我們的理論分析非常接近。而且，從度分布的圖中，我們還可以發(fā)現(xiàn)，節(jié)點(diǎn)在我們模塊內(nèi)的度分布與總的度分布是大致相似的，這是因?yàn)槟K內(nèi)節(jié)點(diǎn)的聯(lián)系比不容模塊間的節(jié)點(diǎn)的聯(lián)系要緊密的多，從而導(dǎo)致了這一現(xiàn)象。 那么我們分析累積度有什么意義呢？在我們的研究中，如果邊的連接發(fā)生了變化，那么這個網(wǎng)絡(luò)也就會隨著變化，這個網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，魯棒性，抗毀滅性等也都隨之改變。所以，分析一個網(wǎng)絡(luò)的度分布，對我們研究這個網(wǎng)絡(luò)的各個特性有著巨大的作用。 通過參考文獻(xiàn)，我們還可以得知，在我們的現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中，模塊化網(wǎng)絡(luò)無處不在。而在網(wǎng)絡(luò)中，如果 具有較大的冪指數(shù)，那么這個網(wǎng)絡(luò)的模塊結(jié)構(gòu)一般是比較清晰的。 南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 模塊度值的比較 我們所說的模塊度值即 Q 值。我們知道，模塊化網(wǎng)絡(luò)是在 BA 模型的基礎(chǔ)上，對網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分割，形成模塊。那么如何形成模塊，形成的模塊是否是有效的，是否是符合我們研究需求，是否滿足于我們的現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)，這就需要一個標(biāo)準(zhǔn)來衡量。經(jīng)過科學(xué)家們的長期研究，我們發(fā)現(xiàn)，模塊的 Q 值 ，即模塊度值，可以很好的衡量這一標(biāo)準(zhǔn)，我們通過對 Q 值的計(jì)算，來判斷我們模塊的劃分是否具有科學(xué)性和可行性。 我們分別對 BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)和模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的 Q 值進(jìn)行了計(jì)算。我們的兩種網(wǎng)絡(luò)參數(shù)如變 所示： 表 網(wǎng)絡(luò)參數(shù)表 BA 模型 M模型 0m =5 0m =5 m=2 m=2 N=20xx N=20xx 隨機(jī)連接 C=5 我們得出 BA 網(wǎng)絡(luò)的模塊度值 ?Q ，模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的模塊度值?Q 。 然后，我們擴(kuò)大網(wǎng)絡(luò)規(guī)模，增加網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)，把表 中的 N 值由 20xx 變?yōu)?3000。 我們得出 BA 網(wǎng)絡(luò)的模塊度值