【導(dǎo)讀】組合恒等式是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)組成部分，也是組合數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容.率問(wèn)題，得到同一事件的概率兩種不同的表達(dá)形式，由其相等導(dǎo)出組合恒等式.對(duì)于需要被證明的組合恒等式，將所構(gòu)。造概率模型中相關(guān)事件的概率計(jì)算出來(lái)以后，從而推導(dǎo)出式子兩端相等。述問(wèn)題更加透徹.

　　

【正文】 11111213111 21 111 1111 111111 ???????????????mmnnmnmnnnmnmnmnnmnmnm CCCC CCCCCCCC CCCCC CCCC ??? 接下來(lái) ，我們構(gòu)造這樣的概率模型： 一個(gè)盒子中中裝有 n張卡片，其中有 m 張紅色卡片，現(xiàn)在從中連續(xù)取出卡片并且不放回，求取得紅色卡片的概率。 記事件 A 為取得紅色卡片，事件 iA 為第 i次取得紅色卡片 于是我們得到 A = ? ? ? ? ? ?121321211 ??? ? mnmn AAAAAAAAAA ?????? 由加法公式、乘法公式及條件概率的定義，得 ? ? 111 1111 11 1111 111111 mmmn mnn mnnmn mnnm CCCCCCCCCCCCCCAP ???????? ?? ????? ?? 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 20 顯然，只要逐個(gè)取 卡片，早晚是要取得紅色卡片 的 . 即事件 A 為一必然事件，故 1)( ?AP . 所以 .111 11 111121311 21 11 111 11mnCCC CCCCCC CCCC mmn mnnn mnmnn mn ?????? ????? ????? ??? 古典概率與組合數(shù)有著十分密切的聯(lián)系，某些組合式本身或稍加整理，就具有某種明顯的概率意義 . 例如 rnkrmnkmCCC?? 就可視為下面概率問(wèn)題的解：“某盒中有 n個(gè)球，其中有紅球 m 個(gè)，今從盒中任取 r 個(gè)球，求恰有 k 個(gè)紅球的概率”，基于這一點(diǎn)，對(duì)某些組合恒等式，我們可采用 古典 概率的方法 來(lái)證明 . 例 3 證明組合恒等式 ?? ????? ?nkn rmk krkn km CCC0 1 ? ?mn? 證明 我們構(gòu)造如下 古典模型： 一個(gè)城 市的 道路是經(jīng)緯均勻網(wǎng)狀，李某的家庭住址和上班地點(diǎn) 恰好分別處于兩個(gè)交叉點(diǎn) .以李某的家庭住址 所在的兩條路為坐標(biāo)軸、交叉點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，并使 李某的上班地點(diǎn) 處于坐標(biāo)系第一象限之中 . 設(shè)李某的上班地點(diǎn) 位于點(diǎn) ),1( nrnm ??? . 考慮李某從家庭住址到上班地點(diǎn) 走過(guò)的路最短時(shí)所選擇的路徑問(wèn)題，（即在以 )0,0( 、 ),0( n 、 ),1( nrnm ??? 、 )0,1( ??? rnm 為頂點(diǎn)的矩形內(nèi)，李某 從住處到單位上班沿與 X 軸平行的方向行走時(shí)只能向左拐，沿與 Y 軸平行的方向行走時(shí)只能向右拐） . 易知， 李某 從 家庭住址到上班地點(diǎn) 走過(guò)的路最短所選擇經(jīng)過(guò)的路徑共有nrmC 1?? 種不同方式 . 記 kA 表示事件“ 李某 經(jīng)過(guò)端點(diǎn)為 ),( kr 和 ),1( kr? 的路徑數(shù)” kA 所包含的基本事件個(gè)數(shù)為 :從 )0,0( 點(diǎn)到 ),(kr 點(diǎn)走過(guò)的路徑數(shù)乘以從),1( kr? 點(diǎn)到 ),1( nrnm ??? 點(diǎn)的路徑條數(shù) . 即為 kn kmk krkn knrrnmk kr CCCC ???? ???????? ?)1(1 ? ? ?n rmkn kmk krk C CCAP 1?????? （ nk ,2,1 ?? ） 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 21 由 kA 的定義知， rAAA ?、 10 構(gòu)成一個(gè)完備事件組 . ? ? ?? ?? ? ?????? ??????????? rkrk n rmkn kmk krkkrk CCCAPAP0 0 101 ? 上式整理得： ?? ????? ?nkn rmkn kmk kr CCC0 1 令 nm? 得： n nrn nrrr CCCC 110 ??? ???? ? 例 4 證明組合恒等式 ??? ????? ? niin rinn rn CC0 21 證明 我們構(gòu)造如下古典概率模型： 設(shè)將 n張相同的卡片放到 r 個(gè)不同的盒子中，把這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果作為一個(gè)向量),( 21 rxxx ? ，其中 ix 表示被分到第 i個(gè)盒子中的卡片數(shù)，于是滿(mǎn)足 )(21 ????? nxxx r? 的向量 ),( 21 rxxx ? 的個(gè)數(shù)。 考慮 n 張白色卡片與 1?r 張黑色卡片組成的排列，將每一個(gè)這樣的排列與)(? 式按照下面的方式對(duì)應(yīng)起來(lái)：使 1x 等于排列中第一張黑色卡片左邊的白色卡片的張數(shù)， 2x 等于第二張黑色卡片間白色卡片的張數(shù)，如此繼續(xù)到 rx ，它等于最后一張黑色卡片右邊的白色卡片的張數(shù)。很容易得到 n張白色卡片與 1?r 張黑色卡片的所有排列與方程 )(? 的全體解一一對(duì)應(yīng)，由于排列共有 n rnCrn rn 1)!1(! )!1( ?????? 個(gè)，即解也有 nrnC 1?? 個(gè)，所以得到 ??? ????? ? niin rinn rn CC0 21 或者還可以如下：我們很明顯看出 1x 可取 n,2,1,0 ? 的 1?n 個(gè)值， rxx ,2 ? 可以組成一個(gè) 1?r 維向量 ),( 2 rxx ? 令 0A ：當(dāng) 1x =0 時(shí)， ),( 2 rxx ? 的解的個(gè)數(shù)為 nnrnC??? 2 。? nA ：當(dāng) 1x =n 時(shí)， ),( 2 rxx ? 的解的個(gè)數(shù)為 nrnC 2?? 由于 1)(10 20?????? ??????n rnniin rinni i CCAP 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 22 所以得到 ??? ????? ? niin rinn rn CC0 21 例 5 證明組合恒等式 ?? ??? ?rjj jmr mr CC0 1 證明 之前的例子我們證明過(guò)這樣一個(gè)組合恒等式： rnrnrn CCC 111 ??? ?? 這個(gè)需要被證明的組合恒等式實(shí)際就是該組合恒等式的推廣，于是我們建立如下古典概率模型： 現(xiàn)在將 rm? 張卡片從 1 進(jìn)行編號(hào)，并從中抽取 r 張卡片作為一組，用 n 來(lái)表示 n,2,1 ? 號(hào)都被選出而 1?n 號(hào)未被選出的最大值，如 1 號(hào)未被選出那么 0?n .若 1 號(hào)選上了而 2 號(hào)未被選上，則 1?n ，如此等等，令 in? ，不同組的卡片數(shù)顯然等于從編號(hào)為 miii ??? ,3,2 ? 的卡片中抽出 ir? 張卡片的選法總數(shù)。于是in? 的組有 ir irmC? ??? 1 個(gè)，因此總數(shù) rrmC? 滿(mǎn)足 ??? ???? ? riir irmr rm CC0 1 我們令 irj ?? 得 ?? ??? ?rjj jmr mr CC0 1 運(yùn)用等概率法證明組合恒等式 我們從不同的角度解答同一個(gè)概率問(wèn)題，就可以得到同一事件的概率兩種不同的表達(dá)形式，并 且由它們相等來(lái)證明組合恒等式。在概率問(wèn)題中，我們往往不能局限在一種思維，其實(shí)可以用多角度的思想去解答，這樣也會(huì)給證明帶來(lái)便利。 例 1 證明 nnnnn CCC 210 ???? ? 證明 這是一個(gè)重要的組合恒等式 , 這里用概率的思想證明 . 為此 我們 構(gòu)造 如下 概率模型： “某人 投籃 命中率 21 ，現(xiàn)獨(dú)立地重復(fù) 投籃 了 n 次，問(wèn)投進(jìn) 的概率是多少？” 記事件 kA 為投籃 n次投進(jìn)了 k 次（ nk ,2,1 ?? ） , 于是 問(wèn)題是求 ? ?nAAAP ???? 21 . 由于 nAAAA ?321 , 兩兩互斥，得 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 23 ? ? ? ???? nk kn APAAAP 121 ???? = ????? ????????????? nk nknknknkkn CC11 22121 又因 nAAA ???? 21 的對(duì)立事件是 nAAA ?21? ，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求? ?nAAAP ?211 ?? ，而 ? ?nnn CAAAP 2021 ?? ? ? ? nnn CAAAP 211 021 ???? ? 即 nnnnn CCC 210 ???? ? . 例 2 證明組合恒等式 ? ? ? ? ? ? nnnnnn CCCC 222120 ???? ? 證明 根據(jù)組合式的性質(zhì) . rnnrn CC ?? , 原式左邊 可變形 為： nnnnnnnnnnn CCCCCCC 20xx0 ???? ? ? 兩端同除以 nnC2 ，得： 1202120 ???? ?nn nnnnnnnknnnnnnC CCCCCC CC ? 我們來(lái) 觀(guān)察上面這個(gè)式子 式的概率意義， 可以構(gòu)造 下面的模型： “一 盒子里 有 2n張卡片 ，其中 n 張白色卡片 n張紅色卡片 ，今從中任取 n 張卡片 ，求至少有 一張紅色卡片 的概率 .” 記事件 A 為 抽得的 n個(gè)球中至少有 一張紅色卡片； 事件 iA 為 抽得的 n個(gè)球中恰有 i張紅色卡片 則 ? ?nninnini CCCAP 2?? （ ni ,2,1 ?? ） 而 nAAAA ???? 21? 且 ??ji A? ? ?ji? 根據(jù)有限可加性，得 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 24 ? ? ? ? ? ? ? ?nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCAPAPAPAP2022221121???????????? 另一方面 ?A { 抽得的 n 張卡片 都是 白色卡片 } 而 ? ?nnnnnCCCAP 20? 于是 ? ? ? ? nnnnnCCCAPAP2011 ???? 所以 n nnnnn n nnnn nnnnn nnnnC CCC CCCCCCCC 2020222211 1 ???? ?? ? nnnnnnnnnn CCCCCCC 20xx00 ???? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? nnnnnn CCCC 222120 ???? ? 例 3 證明組合恒等式 ???? ??mimmnim inin CCC0 2 證明 我們 構(gòu)造 以下 概率模型： 設(shè)箱子中有 n 付大小不同的手套，現(xiàn)在我們隨機(jī)從 中取出 m 只，計(jì)算取出的 手套 全不配對(duì)的概率 . 把從 2n 只 手套 中取出 m 只不同 手套 的組合作為樣本點(diǎn)，則樣本點(diǎn)總數(shù)為mnC2 . 記事件 A 為 取出的 m只 手套 全不配對(duì)， 接下來(lái) 計(jì)算 P(A). 方法一 A 發(fā)生要求 m 只 手套 必須取自于不同型號(hào)種類(lèi)的 手套 ，而 手套 的種類(lèi)有 n 種，因而 m 只 手套 可有 n 種可供選取，共有 mnC 個(gè)選取種數(shù) .同時(shí)，在每一種類(lèi)型號(hào)的 手套 中又有“左”、“右”兩只 手套 可選擇，有 12C 種取法，這樣，取出 m只 手套 共有 1212 CC ?? （ m個(gè)）種取法 .綜合上述， A的 基本事件 數(shù)目為 mmnC 2? ，則 ? ? ./2 2mnmmn CCAP ?? 方法二 令 ?iA 取出的 m 只 手套 中含有 i 個(gè)“左”只 手套 ， mi ?,1,0? .顯然齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 25 imi AA 0??? 且 ??jiAA （ )ji? 則 ? ? ? ????mi iAPAP 0 .又因 為 iA 中的 i只“左”手套 可有 n種“左” 手套 可供選取，共有 inC 種取法 .其余另外的 im? 只 手套 全是“右” 手套 ，為了使得取出的 m 只 手套 全不配對(duì)，那么，這 in? 只“右” 手套只能在剩下的 in? 種型號(hào)的 手套 所對(duì)應(yīng)的 in? “右” 手套 中選取，共有 iminC?? 種取法 .于是，由乘法原理可得， iA 的 基本事件 數(shù)目為 imininCC ?? （ mi ?2,1,0? ） 那么 ? ? mnim inini CCCAP 2/???