【正文】 定義，勾股定理，垂徑定理，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△AEC∽△OBC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出所求的角與∠A相等，由∠A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)。（2）利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長，再由OB⊥MN，根據(jù)垂徑定理、勾股定理列出關(guān)于R的方程。（3）把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F(xiàn)重合．在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有6個。頂點在圓上的三角形，延長EO與圓交于點D，連接DF，△FDE即為所求。利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，表示出△EFD的周長，再由（2）求出的△OBC的三邊表示出△BOC的周長，即可求出兩三角形的周長之比。4.（廣東佛山）（1）按語句作圖并回答：作線段AC（AC=4），以A為圓心a為半徑作圓，再以C為圓心b為半徑作圓（a＜4，b＜4，圓A與圓C交于B、D兩點），連接AB、BC、CD、DA．若能作出滿足要求的四邊形ABCD，則a、b應(yīng)滿足什么條件？（2）若a=2，b=3，求四邊形ABCD的面積．【考點】作圖（復(fù)雜作圖），相交兩圓的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）根據(jù)題意畫出圖形，只有兩圓相交，才能得出四邊形，即可得出答案；（2）連接BD，根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)得出DB⊥AC，BE=DE，設(shè)CE= x，則AE=4－x，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出x，根據(jù)三角形的面積公式求出即可。5.（浙江嘉興）將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得△AB′C′，即如圖①，我們將這種變換記為[θ，n]．（1）如圖①，對△ABC作變換[60176。得△AB′C′，則S△AB′C′：S△ABC=BC與直線B′C′所夾的銳角為度；（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30176。，∠ACB=90176。，對△ABC 作變換[θ，n]得△AB39。C39。，使點B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB39。C39。為矩形，求θ和n的值；（4）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36176。，BC=l，對△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB39。C39。為平行四邊形，求θ和n的值．【考點】新定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，含30角直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，公式法解一元二次方?！痉治觥浚?）根據(jù)題意得：△ABC∽△AB′C′，0230。AB162。246。∴S△AB′C′：S△ABC=231。247。=232。AB248。22=3，∠B=∠B′?！摺螦NB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60176。（2）由四邊形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90176。，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′∠BAC，即可求得θ的度數(shù)，又由含30176。角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得n的值。（3）由四邊形ABB′C′是平行四邊形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72176。，又由△ABC∽△B′BA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得AB=CB?BB′=CB（BC+CB′），繼而求得答案?！咀灾饔?xùn)練】1.（廣東汕頭）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點G；E、F分別是C′D和BD上的點，線段EF交AD于點H，把△FDE沿EF折疊，使點D落在D′處，點D′恰好與點A重合．（1）求證：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的長．2.（湖北宜昌）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90176。．點E為底AD上一點，將△ABE沿直線BE折疊，點A落在梯形對角線BD上的G處，EG的延長線交直線BC于點F．（1）點E可以是AD的中點嗎？為什么？（2）求證：△ABG∽△BFE；（3）設(shè)AD=a，AB=b，BC=c①當四邊形EFCD為平行四邊形時，求a，b，c應(yīng)滿足的關(guān)系；②在①的條件下，當b=2時，a的值是唯一的，求∠C的度數(shù)．3.（廣東珠海）已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應(yīng)點C恰好落在⊙O上．（1）當P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；（2）當P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；（3）當P、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．4.（湖北天門）△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，以D為頂點作∠MDN=∠B．（1）如圖（1）當射線DN經(jīng)過點A時，DM交AC邊于點E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．（2）如圖（2），將∠MDN繞點D沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點（點E與點A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論．（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當△DEF的面積等于△ABC的面積的5.（四川樂山）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0176。＜θ＜90176。）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45176。時，如圖3，延長BD交CF于點G．①求證：BD⊥CF；②當AB=4，AD時，求線段BG的長．1時，求線段EF的長． 4