【導(dǎo)讀】A．55°B．45°C．35°D．65°9．把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6，DC=7，把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1（如圖乙），此時(shí)AB與CD1交于點(diǎn)。18．已知，如圖，△OBC中是直角三角形，OB與x軸正半軸重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，將△OBC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，使OB1=OC，得到。，如此繼續(xù)下去，得到△OB2021C2021，則點(diǎn)C2021的坐標(biāo)是．。本次調(diào)查中，張老師一共調(diào)査了名同學(xué)，其中C類女生有名，將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；轎車到達(dá)乙地后，貨車距乙地多少千米？求海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離；（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈，cos55°≈，tan55°≈，tan42°≈0.900，判斷⊙O與BC的位置關(guān)系，并說明理由；劃在70天內(nèi)完成，在不超過計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢？是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)中的結(jié)論是否成立？

　　

【正文】 的外接圓 ⊙O 的圓心 O在 AC上， ∵OD=OB ， OC=OC， CB=CD， ∴△OBC≌△ODC ． ∴∠OBC=∠ODC=90176。 ， 又 ∵OB 為半徑， ∴⊙O 與 BC相切； （ 2） ∵AD=CD ， ∴∠ACD=∠CAD ． ∵AO=OD ， ∴∠OAD =∠ODA ． ∵∠COD=∠OAD+∠AOD ， ∠COD=2∠CAD ． ∴∠COD=2∠ACD 又 ∵∠COD+∠ACD=90176。 ， ∴∠ACD=30176。 ． ∴OD= OC， 即 r= （ r+2）． ∴r=2 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切線的判定與性質(zhì)，利用了切線的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)． 24．某市 2021年啟動(dòng)省級(jí)園林城市創(chuàng)建工作，計(jì)劃 2021年下半年順利通過驗(yàn)收評(píng)審．該市為加快道路綠化及防護(hù)綠地等各項(xiàng)建設(shè)．在城市美化工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)．經(jīng)測(cè)算：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要 60天；若由甲隊(duì)先做 20天，剩下的工程由甲、乙合做 24天可完成． （ 1）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？ （ 2）甲隊(duì)施工一天，需付工程款 萬(wàn)元，乙隊(duì)施工一天需付工程款 2萬(wàn)元．若該工程計(jì)劃在 70 天內(nèi)完成，在不超過計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢？還是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？ 【考點(diǎn)】 分式方程的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需 x 天，總工作量為單位 1，根據(jù)題意可得，甲隊(duì)做 44天，乙隊(duì)做 24天可完成任務(wù)，列方程求解； （ 2）分別求出甲乙單獨(dú)和甲乙合作所需要的錢數(shù)，然后比 較大?。? 【解答】 解：（ 1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需 x天， 根據(jù)題意得， +24（ + ） =1， 解得， x=90， 經(jīng)檢驗(yàn)， x=90是原方程的根． 答：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需 90天； （ 2）由甲隊(duì)獨(dú)做需： 60=210 （萬(wàn)元）； 乙隊(duì)獨(dú)做工期超過 70天，不符合要求； 甲乙兩隊(duì)合作需 1247。 （ + ） =36天， 需要： 36 （ +2） =198（萬(wàn)元）， 答：由甲乙兩隊(duì)全程合作最省錢． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注 意檢驗(yàn)． 25．已知，點(diǎn) P 是 Rt△ABC 斜邊 AB 上一動(dòng)點(diǎn)（不與 A、 B 重合），分別過 A、 B 向直線 CP作垂線，垂足分別為 E、 F、 Q為斜邊 AB的中點(diǎn)． （ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) P與點(diǎn) Q重合時(shí)， AE與 BF的位置關(guān)系是 AE∥BF ， QE與 QF的數(shù)量關(guān)系是 QE=QF ； （ 2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) P在線段 AB上不與點(diǎn) Q重合時(shí)，試判斷 QE與 QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明； （ 3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) P在線段 BA（或 AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（ 2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并給予證明． 【考點(diǎn)】 全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上 的中線． 【分析】 （ 1）根據(jù) AAS推出 △AEQ≌△BFQ ，推出 AE=BF即可； （ 2）延長(zhǎng) EQ交 BF于 D，求出 △AEQ≌△BDQ ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出 EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點(diǎn)性質(zhì)得出即可； （ 3）延長(zhǎng) EQ交 FB于 D，求出 △AEQ≌△BDQ ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出 EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點(diǎn)性質(zhì)得出即可． 【解答】 解：（ 1）如圖 1， 當(dāng)點(diǎn) P與點(diǎn) Q重合時(shí)， AE與 BF 的位置關(guān)系是 AE∥BF ， QE與 QF 的數(shù)量關(guān)系是 AE=BF， 理由是： ∵Q 為 AB的中點(diǎn)， ∴AQ=BQ ， ∵AE⊥CQ ， BF⊥CQ ， ∴AE∥BF ， ∠AEQ=∠BFQ=90176。 ， 在 △AEQ 和 △BFQ 中 ∴△AEQ≌△BFQ ， ∴QE=QF ， 故答案為： AE∥BF ， QE=QF； （ 2） QE=QF， 證明：延長(zhǎng) EQ交 BF于 D， ∵ 由（ 1）知： AE∥BF ， ∴∠AEQ=∠BDQ ， 在 △AEQ 和 △BDQ 中 ∴△AEQ≌△BDQ ， ∴EQ=DQ ， ∵∠BFE=90176。 ， ∴QE=QF ；， （ 3）當(dāng)點(diǎn) P在線段 BA（或 AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（ 2）中的結(jié)論成立， 證明：延長(zhǎng) EQ交 FB于 D，如圖 3， ∵ 由（ 1）知： AE∥BF ， ∴∠AEQ=∠BDQ ， 在 △AEQ 和 △BDQ 中 ∴△AEQ≌△BDQ ， ∴EQ=DQ ， ∵∠BFE=90176。 ， ∴QE=QF ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出 △AEQ≌△BDQ ，用了運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，難度適中． 26．如圖，二次函數(shù) y=x2+2x+c的圖象與 x軸交于點(diǎn) A和點(diǎn) B（ 1， 0），以 AB為邊在 x軸上方作正方形 ABCD，動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn) A 出發(fā)，以每秒 2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 x軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn) C出發(fā)，以每秒 1個(gè)單 位長(zhǎng)度的速度沿 CB勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) Q到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn) P停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒．連接 DP，過點(diǎn) P作 DP 的垂線與 y軸交于點(diǎn) E． （ 1）求點(diǎn) A的坐標(biāo)； （ 2）當(dāng)點(diǎn) P在線段 AO（點(diǎn) P不與 A、 O重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段 OE的長(zhǎng)有最大值，并求出這個(gè)最大值； （ 3）在 P， Q運(yùn)動(dòng)過程中，求當(dāng) △DPE 與以 D， C， Q為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí) t的值； （ 4）是否存在 t，使 △DCQ 沿 DQ翻折得到 △DC′Q ，點(diǎn) C′ 恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上？若存在，請(qǐng)求出 t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）先 將點(diǎn) B的坐標(biāo)代入解析式求得 c的值確定二次函數(shù)解析式，令 y=0 即可求得 A點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）由 DP⊥PE 證得 △DAP∽△POE ，用比例式表示出 y與 t的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可求得 OE的最大值； （ 3）需要分類討論：根據(jù) t的不同取值得出相似三角形，再由相似的性質(zhì)可得 t的取值； （ 4）先證明 △DCQ≌△DC′Q ，從而得到 ∠CDQ=∠C′DQ ， DC′=DC=4 ，再得出 ∠CDQ=30176。 ，即可求得滿足條件的 t值． 【解答】 解：（ 1）把 B（ 1， 0）代入 y=x2+2x+c得 c=﹣ 3． ∴y=x 2+2x﹣ 3． 由 x2+2x﹣ 3=0得 x1=﹣ 3， x2=1． ∴ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為（﹣ 3， 0）． （ 2）如圖（ 2），由正方形 ABCD得 AD=AB=4． 由 DP⊥PE 證得 △DAP∽△POE ， ∴ 設(shè) OE=y，則 ． ∴ ． ∵a= ﹣ 1＜ 0 ∴ 當(dāng) t= （屬于 0＜ t＜ ）時(shí)， ，此時(shí) ， 即點(diǎn) P位于 AO的中點(diǎn)時(shí)， 線段 OE的長(zhǎng)有最大值 ． （ 3） ① 如圖 ① ，當(dāng) 0＜ t＜ 時(shí)， △DPE∽△DCQ ， ∴ ．又 △ADP∽△OPE ， ∴ ． ∴ ．即 ，解得 t=1． 經(jīng)檢驗(yàn)： t=1是原方程的解． ② 如圖 ② ，當(dāng) 時(shí)，同理證得 △ADP∽△OPE ， ∴ ． 即 ，解得 t=3．經(jīng)檢驗(yàn)： t=3是原方程的解． ③ 如圖 ③ ，當(dāng) 時(shí)， △DPE∽△QCD ， ∴ ． 同理得 ． ∴ ．即 ，解得 （ 經(jīng) 檢 驗(yàn) ： 舍 去）． 綜上所述， t=1或 3或 ． （ 4）存在 ． 理由如下：如圖 由 △DCQ 沿 DQ翻折得 △DC′Q ，則 △DCQ≌△DC′Q ， ∴∠CDQ=∠C′DQ ， DC′=DC=4 ． 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交 DC于 G，則 DG=2．在 Rt△DC′G 中， ∵C′D=2DG ， ∴∠C′DG=60176。 ． ∴ ． ∴CQ= ， 即 t= ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)與一判定，二次函數(shù)的最值等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．