【導(dǎo)讀】功等過程量．時間間隔=終止時刻－開始時刻。對變速運動的粗略描述．公式V=/2只對勻變速直線運動適用。的切線方向指向前進的一側(cè)．瞬時速度是對變速運動的精確描述．瞬時速度的大小叫速率，同時給予Ａ、Ｂ相同的速率ｖ０，使Ａ向左運動，Ｂ向右運動，已知Ａ、Ｂ相對運。位移是矢量，是由初始位置指向終止位置的有向線段；路。程是標量，是物體運動軌跡的總長度。從開始運動到5s末物體所經(jīng)過的路程為m，克服電場力所。由v0=at可知在4s末物體速度減小到零，然后反向做勻。去F1，改為恒力F2作用，又經(jīng)過時間2t物體回到A點。再利用加速度定義式，可以得到加速度大小之比，從而得到F1、F2大小之比。設(shè)加速度大小分別為a1、a2，有：。本題中以返回A點時的速度方向為正，因此AB段的末速度為負。平均速度是運動質(zhì)點的位移與發(fā)生該位

　　

【正文】 MN 上行駛的速度 v1可達到 50km/h，在軌道外的平地上行駛速 度v2可達到 40km/h，與軌道的垂直距離為 30km 的 B處有一基地，如圖所示，問小車從基地 B出發(fā)到離 D 點 100km 的 A處的過程中最短需要多長時間（設(shè)小車在不同路面上的運動都是勻速運動，啟動時的加速時間可忽略不計）？ 【解析】建構(gòu)合理的知識體系，巧用類比，觸發(fā)頓悟性聯(lián)想。 顯然，用常規(guī)解法是相當(dāng)繁瑣的。我們知道，光在傳播過程中 “走 ”的是時間最短的路徑?？梢?，我們可以把小車的運動類比為光的全反射現(xiàn)象的臨界狀態(tài)（如圖所示），根據(jù)臨界角知識得： sinC=v2/v1＝ 4/5，由圖得： sinC＝x/ 22 30?x ，小車運動時間： t=（ 100－ x） /vl＋ 22 30?x /v2由以上幾式可得： c＝ 40km， t ＝ 2． 45h。 【例 2】高為 h 的電梯正以加速度 a勻加速上升，忽然天花板上一顆螺釘脫落．螺釘落到電梯底板上所用的時間是多少？ 解析 ：此題為追及類問題，依題意畫出反映這一過程的示意圖，如圖 2— 27 所示．這樣至少不會誤認為螺釘作自由落體運動，實際上螺釘作豎直上拋運動．從示意圖還可以看出，電梯與螺釘?shù)奈灰脐P(guān)系： S 梯 一 S 釘 = h 式中 S 梯 ＝ vt 十 189。at2， S 釘 ＝ vt－ 189。gt2 可得 t= ? ?agh ?/2 錯誤 ：學(xué)生把相遇過程示意圖畫成如下圖，則會出現(xiàn) S 梯 ＋ S 釘 = h 式中 S 梯 ＝ v0t 十 189。at2， S 釘 ＝ v0t－ 189。gt2 這樣得到 v0t 十 189。at2＋ v0t－ 189。gt2=h，即 189。（ a－ g） t2＋ 2v0t－ h=0 由于未知 v0，無法解得結(jié)果。判別方法是對上述方程分析，應(yīng)該是對任何時間 t，都能相遇，即上式中的 Δ＝ 4v02＋ 2（ a－ g） h≥0 也就是 v0≥ ? ? 2/hga? ，這就 對 a 與 g關(guān)系有了限制，而事實上不應(yīng)有這樣的限制的。 點評 ：對追及類問題分析的關(guān)鍵是分析兩物體運動的運動過程及轉(zhuǎn)折點的條件． 可見，在追趕過程中，速度相等是一個轉(zhuǎn)折點，要熟記這一條件．在諸多的物理問題中存在 “隱蔽條件 ”，這類問題往往是難題，于是，如何分析出 “隱蔽條件 ”成為一個很重要的問題，一般是根據(jù)物理過程確定 ．該題中 “隱蔽條件 ”就是當(dāng)兩車速度相同時距離最大．解析后，問題就迎刃而解． 相遇問題的分析思路 相遇問題分為追及相遇和相向運動相遇兩種情形，其主要條件是兩物體在相遇處的位置坐標相同． (1)列出兩 物體運動的位移方程，注意兩個物體運動時間之間的關(guān)系． (2)利用兩物體相遇時必處在同一位置，尋找兩物體位移間的關(guān)系． （ 3)尋找問題中隱含的臨界條件． （ 4)與追及中的解題方法相同 【例 3】．在某鐵路與公路交叉的道口外安裝的自動攔木裝置如圖所示，當(dāng)高速列車到達 A 點時，道口公路上應(yīng)顯示紅燈，警告來越過停 車線的汽車迅速制動，而且超過停車線的汽車能在列車到達道口前安全通過道口。已知高速列車的速度 V1=120km/h，汽車過道口的速度 V2=5km/h，汽車駛至停車線時立即制動后滑行的距離是 S0＝ 5m，道 口寬度 s＝ 26m，汽車長l=15m。若欄木關(guān)閉時間 tl＝ 16s，為保障安全需多加時間 t2=20s。問：列車從 A點 到道口的距離 L 應(yīng)為多少才能確保行車安全？ 解析：由題意知，關(guān)閉道口時間為 16s，為安全保障再加 20s，即關(guān)閉道口的實際時間為 t0=20+16=36s，汽車必須在關(guān)閉道口前已通過道口，汽車從停車線到通過道口實際行程為 S=26+5+15=46m，需用時2 46 36005000t ??，由此亮起紅燈的時間為 T=t0+t2，故 A點離道口的距離應(yīng)為： L=V1T=1 2 0 0 0 0 4 6 3 6363600 50?????????=2304m 【例 4】火車以速度 Vl勻速行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距 S 處有另一火車沿同方向以速度 V2（對地、且 V1＞ V2）做勻速運動．司機立即以加速度 a 緊急剎車．要使兩車不相撞，a 應(yīng)滿足什么條件？ 解法一 ：后車剎車后雖做勻減速運動，但在其速度減小至和 V2相等之前，兩車的距離仍將逐漸減??；當(dāng)后車速度減小至小于前車速度，兩車距離將逐漸增大．可見，當(dāng)兩車速度相等時，兩車距離最近．若后車減速的加速度過小，則會出現(xiàn)后車速度減為和前車速度相等之前即追上前車，發(fā)生撞車事故；若后車加速度 過大，則會出現(xiàn)后車速度減為和前車速度相等時仍未過上前車，根本不可能發(fā)生撞車事故；若后車加速度大小為某值時，恰能使兩車在速度相等時后車追上前車．這正是兩車恰不相撞的臨界狀態(tài)，此時對應(yīng)的加速度即為兩車不相撞 V 0、 a 的最小加速度．綜上分析可知，兩車恰不相撞時應(yīng)滿足下列兩方程： V1t－ a0t2/2＝ V2t＋ S V1—a0t=V2 解之可得： a0=? ?SVV 2 212?．所以當(dāng) a≥? ?SVV 2 212?時，兩車即不會相撞 解法二 ：要使兩車不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為 V1t－ at2/2 ≤S＋ V2t 即 at2/2＋（ V2－ V1） t＋ S≥0 對任一時間 t，不等式都成立的條件為 Δ＝（ V2－ V1） 2－ 2as≤0 由此得 a≥? ?SVV 2 212? 解法三 ：以前車為參照物，剎車后后車相對前車做初速度 V0= V1－ V2， 加速度為 a的勻減速直線運動．當(dāng)后車相對前車的速度成為零時，若相對位移 S/≤S，則不會相撞．故由 S/= V02/2a= （ V1－ V2） 2/2a≤S，得 a≥? ?SVV 2 212? 點評 ：三種解法中，解法一注重對 運動過程的分析，抓住兩車間距有極值時速度應(yīng)相等這一關(guān)鍵條件來求解；解法二中由位移關(guān)系得到一元二次方程．然后利用根的判別式來確定方程中各系數(shù)間的關(guān)系，這也是中學(xué)物理中常用的數(shù)學(xué)方法；解法三通過巧妙地選取參照物，使兩車運動的關(guān)系變得簡明． 說明 ：本題還可以有多種問法，如 “以多大的加速度剎車就可以不相碰？ ”， “兩車距多少米就可以不相碰？ ”， “貨車的速度為多少就可以不相碰？ ”等，但不管哪一種問法，都離不開 “兩車速度相等 ”這個條件． 【例 5】甲、乙兩車相距 S，同時同向運動，乙在前面做加速度為 a初速度為零的勻加速運 動，甲在后面做加速度為 a初速度為 v0 的勻加速運動，試討論兩車在運動過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系。 【分析】由于兩車同時同向運動，故有 v 甲 =v0＋ a2t， v 乙 =a1t。 ① 當(dāng) al＜ a2時， alt＜ a2t，可得兩車在運動過程中始終有， V 甲 ＞ V 乙 。由于原來甲在后，乙在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時間后甲車必然超過乙車，且甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次。 ② 當(dāng) al=a2時， alt＝ a2t，可得 v 甲 =v0＋ v 乙 ，同樣有 v 甲 ＞ v 乙 ，因此甲、乙兩車也只能相遇一次。 ③ 當(dāng) al＞ a2時， alt＞ a2t， v 甲 和 v 乙 的大小關(guān)系會隨著運動時間的增加而發(fā)生變化。剛開始， alt和 a2t 相差不大且甲有初速 v0，所以 v 甲 ＞ v 乙 ；隨著時間的推移， alt 和 a2t相差越來越大；當(dāng) alt－ a2t＝ v0時， v 甲 =v 乙 ，接下來 alt－ a2t＞ v0，則有 v 甲 ＜ v 乙 ，若在 v 甲 =v 乙 之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于 v 甲 ＜ v 乙 ，甲車就沒有機會超過乙車，即兩車不相遇；若在v 甲 =v 乙 時，兩車剛好相遇，隨后 v 甲 ＜ v 乙 ，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在 v 甲 =v 乙 前，甲車已超過乙車，即已相通 過一次，隨后由于 v 甲 ＜ v 乙 ，甲、乙距離又縮短，直到乙車后反超甲車時，再相遇一次，則兩車能相遇兩次。 【解】由于 S 甲 =v0 t＋ 189。a2t2， S 乙 =189。a1t2， 相遇時有 S 甲 － S 乙 ＝ s，則 v0 t＋ 189。a2t2－ 189。a1t2＝ S， 189。（ a1一 a2） t2一 v0 t＋ S＝ 0． ? ? ? ?20 0 1 2222 1v v a a st aa? ? ?? ? ① 當(dāng) a1＜ a2時， ① 式；只有一個正解，則相遇一次。 ② 當(dāng) a1＝ a2時 S 甲 一 S 乙 =v0 t＋ 189。a2t2－ 189。a1t2=v0 t=S， ∴ t=S/v0 t 只有一個解，則相遇一次。 ③ 當(dāng) al＞ a2時，若 v20 ＜ 2（ al－ a2） s， ① 式無解，即不相遇。 若 v02=2（ al－ a2） s， ① 式 t 只有一個解，即相遇一次。 若 v02＞ 2（ al－ a2） s， ① 式 t 有兩個正解，即相遇兩次。 解法 2：利用 v 一 t 圖象求解。 ① 當(dāng) al＜ a2時，甲、乙車的運動圖線分別為如圖，其中劃斜線部分的面積表示 t 時間內(nèi)甲車比乙車多發(fā)生的位移，著此而積為 S，則 t 時刻甲車追上乙車而相遇，以后在相等時間內(nèi)甲車發(fā)生的位移都比乙車多，所以只能相遇一次。 ② 當(dāng) al=a2時，甲、乙兩車的 運動圖線分別如圖，討論方法同 ① ，所以兩車也只能相遇一次。 ③ 當(dāng) al＞ a2 時，甲、乙兩車的運動圖線分別為如圖的 1 和 11，其中劃實斜線部分面積表示用車比乙車多發(fā)生的位移，劃虛斜線部分的面積表示乙車比甲車多發(fā)生的位移。若劃線部分的面積小于 S，說明甲追不上乙車，則不能相遇；若劃實斜線部分的面積等于 S，說明甲車剛追上乙車又被反超，則相遇一次；若劃實斜線部分的面積大于 S，說明 tl內(nèi)劃實線部分的面積為 S，說明 t1時刻甲車追上乙車，以后在 t1——t 時間內(nèi)，甲車超前乙車的位移為 tl－ ——t時間內(nèi)劃實線部分的面積，隨后在 t——－ t2時間內(nèi)，乙車比甲車多發(fā)生劃應(yīng)線部分的面積，如果兩者相等，則 t2時刻乙車反超甲車，故兩車先后相遇兩次。 【例 6】在空中足夠高的某處，以初速度 v 豎直上拋一小球， t s 后在同一地點以初速度 v/豎直下拋另一個小球，若使兩個小球在運動中能夠相遇，試就下述兩種情況討論 t的取值范圍：（ l） 0＜ v/＜ v，（ 2） v/＞ v 【解析】若兩小球在運動中能夠在空中相遇，必須是下拋小球剛拋出時，上拋小球已進入下降階段，且速度大的小球在后，追趕前面速度小的球， （ 1） 如圖甲所示．上拋小球速度方向變?yōu)橄蛳?，大小達 v/時所經(jīng)歷的時間為 t0，則 t0=vg＋gv/ ∴ 當(dāng) t＞ t0時，上拋小球的即時速度 vt＞ v/，上拋小球能夠追上下拋小球，但是，若上拋小球已越過拋出點，再向下拋出另一個小球時，兩球就不會相遇，而上拋球回到拋出點的時間 t1為： t1=gv2 即：當(dāng) /vvg?＜ t＜gv2時兩球能夠在運動中相遇 （ 2）如圖乙所示，上拋小球速度方向變 為向下，大小達 v/時所經(jīng)歷時間為 t0/，則： t0/=gvv /? 當(dāng) t＜ t0/時，上拋時即時速度 vt＜ v/，但若使上拋球在前， t 還大于 t1=2v/g才行，因此，兩球在運動中相遇的條件為：gv2＜ t＜gvv /?