【正文】 要放7盆植物。教師：如果改為兩端都放，該怎么算？ 32247。4+1=9（盆）教師：這兩種不同的擺法相差幾盆？（2盆）為什么？（兩端都放時，盆數(shù)=間隔數(shù)+1；兩端都不放時，盆數(shù)=間隔數(shù)1。）2．一根木頭長10 m，要把它平均分成5段。每鋸下一段需要8分鐘，鋸?fù)暌还惨ǘ嗌俜昼?？教師：這個問題和我們學(xué)習(xí)的植樹問題有關(guān)聯(lián)嗎？屬于植樹問題中的哪一種情況？可以先用畫圖的方法試一試。學(xué)生練習(xí)，分析講評：10247。51=4（次）84=32（分鐘）答：鋸?fù)暌还惨?2分鐘?！驹O(shè)計意圖】第1題在完成后進(jìn)行了比較練習(xí)，加深了學(xué)生對兩種不同數(shù)學(xué)模型之間關(guān)系的認(rèn)識；第2題雖然不是植樹的情境，但規(guī)律是相同的，引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖的方法即可抓住題目的本質(zhì)，同時擴(kuò)展了學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用視野。五、利用變式，強(qiáng)化認(rèn)知小明家門前有一條35 m的小路，綠化隊要在路旁栽一排樹。每隔5 m栽一棵樹（一端栽一端不栽）。一共要栽多少棵？教師：這題與已經(jīng)學(xué)過的植樹問題有什么不同？（一端栽一端不栽）先猜一猜，再用自己喜歡的方法驗證結(jié)果是否正確。預(yù)設(shè)1：兩端都栽的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)+1；兩端不栽的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)1。這種一端栽一端不栽的情況，應(yīng)該是棵數(shù)=間隔數(shù)。預(yù)設(shè)2：是用畫線段圖的方法得出的，一共要栽7棵。預(yù)設(shè)3：直接用35247。5=7（棵）。（教師追問：35247。5算的是什么？）間隔數(shù)。（用這樣的方法計算其實(shí)是以什么作為依據(jù)的？）在一端栽一端不栽的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)。教師：比較植樹問題的三種情況，說說你自己的理解?！驹O(shè)計意圖】以已學(xué)知識為基礎(chǔ)，放手讓學(xué)生獨(dú)立思考，鼓勵用自己喜歡的方法探索這種情況的規(guī)律，在最后的比較環(huán)節(jié)也強(qiáng)調(diào)說出自己的理解。學(xué)生通過這樣的方式獲取的知識、思維活動的經(jīng)驗才能更加鮮活和深刻，充分體現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一基本理念。六、課堂小結(jié)，布置作業(yè)小結(jié)：植樹問題在生活中的應(yīng)用非常廣泛，在解決這類問題時，應(yīng)該先判斷出屬于哪一種情況，再根據(jù)題意列式解答。課外作業(yè)：先判斷以下各題屬于哪種情況，再列式解答。（1）在一條長2千米的公路的一邊栽白楊樹，每隔8米栽1棵，最多可以栽多少棵？最少可以栽多少棵？（2）搬運(yùn)工從一樓到二樓，走了16級臺階，王麗家住6樓，每相鄰兩層臺階相同，從一樓到六樓一共走多少級臺階？（3）一個古老的擺鐘，于六時整敲響六下，需時五秒鐘；那么，在正午敲響十二下時，需時多少秒？《在一條首尾相接的封閉曲線上植樹》教學(xué)設(shè)計教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級上冊第108頁例3相關(guān)內(nèi)容。教學(xué)目標(biāo)：1．運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法，使學(xué)生理解在一條首尾封閉的曲線上植樹所需棵數(shù)與間隔數(shù)“一一對應(yīng)”的數(shù)學(xué)模型。2．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力，以及抽取數(shù)學(xué)模型的能力。教學(xué)重點(diǎn)：理解在一條首尾相接的封閉曲線上植樹的基本數(shù)學(xué)模型。教學(xué)難點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力。教學(xué)準(zhǔn)備：課件。教學(xué)過程：一、談話引入，復(fù)習(xí)舊知教師：在前面兩節(jié)課中，我們共同探討了在一條線段上植樹的問題，還運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決了許多生活中的實(shí)際問題。誰來幫助大家一起回顧這些知識？預(yù)設(shè)：在一條線段上植樹可以分成三種情況：兩端都栽時，棵數(shù)比間隔數(shù)多1；兩端都不栽時，棵數(shù)比間隔數(shù)少1；一端栽一端不栽時，棵數(shù)和間隔數(shù)相等。教師：在解決復(fù)雜問題時，我們是怎么做的？預(yù)設(shè)：可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再應(yīng)用找到的規(guī)律來解決原來的問題。教師：同學(xué)們對已學(xué)知識掌握得很好！今天這節(jié)課，我們要一起來研究植樹問題中的另一種情況。【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)舊知再現(xiàn)了在一條線段上植樹的三種情況，以及“猜測──驗證”的方法和“從簡單事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再將規(guī)律應(yīng)用于復(fù)雜問題解決”的數(shù)學(xué)思想，為本課新知內(nèi)容的探索打下了堅實(shí)的基礎(chǔ)。二、自主探索，學(xué)習(xí)新知1．出示情境，展開探索例3：張伯伯準(zhǔn)備在圓形池塘周圍栽樹。池塘的周長是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵樹？教師：這道題與前面學(xué)習(xí)的植樹問題相比，有什么相同和不同的地方？預(yù)設(shè)：不同之處在于前面學(xué)習(xí)的是在線段上植樹的問題，這道題是在一個圓形周圍植樹。（教師追問1：線段是怎樣的？圓形又是怎樣的？）線段是直的，圓形是一條曲線。（教師追問2：一條什么樣的曲線？）逐步引導(dǎo)得出：一條首尾相接的封閉曲線。預(yù)設(shè)：相同之處是，都是已知長度和間隔距離。教師：你能聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識，自主解決“一共要栽多少棵樹”的問題嗎？學(xué)生獨(dú)立思考，討論匯報。2．概括歸納，得出模型教師：大家想到了用什么方法來解決問題？（畫圖）120 m的長度太長了，怎么辦？（先用簡單的數(shù)據(jù)試一試）（1）以周長為40 m的圓為例，通過下圖得知，能栽4棵樹。（2）如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？預(yù)設(shè)：相當(dāng)于在線段上植樹的問題中“一端栽一端不栽”的情況。（3）我們還可以用這樣的方式來理解。引導(dǎo)得出：植樹的棵數(shù)與間隔數(shù)“一一對應(yīng)”。教師：利用發(fā)現(xiàn)的知識，你能解決例3的問題嗎？（出示：池塘的周長是120 m？）120247。10=12（棵）答：一共要栽12棵樹。教師：誰能完整地概括一下剛才的發(fā)現(xiàn)？預(yù)設(shè)：在一條首尾相接的封閉曲線上植樹，所需棵數(shù)與間隔數(shù)“一一對應(yīng)”，相當(dāng)于在線段上植樹的一端栽一端不栽的情況?！驹O(shè)計意圖】學(xué)生已經(jīng)有了“在線段上植樹”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，在出示情境圖引導(dǎo)學(xué)生比較相同點(diǎn)和不同點(diǎn)之后，教師放手讓學(xué)生自主探究。在概括歸納的環(huán)節(jié)，注重模型的對比和溝通，通過兩種不同的方式，自然地得出在一條首尾相接的曲線上植樹所需棵樹與間隔數(shù)“一一對應(yīng)”的結(jié)論，相當(dāng)于在線段上植樹中一端栽一端不栽的情況。三、課堂練習(xí)，鞏固強(qiáng)化教師：運(yùn)用剛才的發(fā)現(xiàn)，解決以下實(shí)際問題。1．圓形滑冰場的一周全長是150 m。如果沿著這一圈每隔15 m安裝一盞燈，一共需要裝幾盞燈？150247。15=10（盞）答：一共需要裝10盞燈。教師：你能利用題目中的數(shù)據(jù)編出一道在線段上植樹（一端栽一端不栽）的問題嗎？學(xué)生練習(xí)，交流匯報。2．一條項鏈長60 cm，每隔5 cm有一顆水晶。這條項鏈上共有多少顆水晶？教師：這題與我們學(xué)習(xí)的植樹問題的知識有關(guān)聯(lián)嗎？屬于哪一種情況？（在一條首尾相接的封閉曲線上植樹）你能說說在這題中誰與誰“一一對應(yīng)”嗎？（水晶的顆數(shù)與間隔數(shù)）練習(xí)校對：60247。5=12（顆）答：這條項鏈上共有12顆水晶?！驹O(shè)計意圖】第1題中利用題目中的數(shù)據(jù)編出一道在線段上植樹（一端栽一端不栽）的解決問題，進(jìn)一步溝通了這兩種植樹問題之間的聯(lián)系；第2題通過提問，使學(xué)生切實(shí)感受到植樹問題的知識在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，同時強(qiáng)化了“一一對應(yīng)”的模型思想。四、拓展延伸，靈活應(yīng)用小區(qū)花園是一個長60 m，寬40 m的長方形?，F(xiàn)在要在花園四周栽樹，四個角上都要栽，每相鄰兩棵間隔5 m。一共要栽多少棵樹？教師：仔細(xì)讀題并思考，這題與我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容有什么不同？（是在長方形的四周植樹）你能運(yùn)用畫圖的方法找到這類問題中隱藏的規(guī)律嗎？獨(dú)立思考，合作交流。預(yù)設(shè)1：可以先求出花園的周長，再按照棵數(shù)和間隔數(shù)一一對應(yīng)的方法來求。（追問：這種方法跟我們今天這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容是？）相同的。（60+40）2=200（m）200247。5=40（棵）答：一共要栽40棵樹。教師：這樣的方法栽樹能夠保證四個角上都有樹嗎？為什么？（能夠保證，因為長和寬都是5的倍數(shù)）預(yù)設(shè)2：也可以分別求四條邊上各栽多少棵，再求一共栽多少棵。（追問：用這種方法求的時候，要特別注意什么？）四個角上的樹不能重復(fù)計算。教師：那我們可以把4條邊都當(dāng)作一端栽一端不栽的情況來求。（你能自己畫一畫嗎？）60247。52=24（棵）40247。52=16（棵）24+16=40（棵）答：一共要栽40棵樹?！驹O(shè)計意圖】通過從一條首尾相接的封閉曲線到長方形的轉(zhuǎn)變，繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生利用畫圖方法解決問題的能力。按第一種方法計算，最后的提問“這樣的方法能夠保證四個角上都有樹嗎？”意在引起學(xué)生的反思；第二種思路可以演化出多種算法，通過畫示意圖的方法能使學(xué)生更為深刻地理解此類問題中隱藏的規(guī)律。五、全課總結(jié)，暢談收獲教師：通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？跟大家交流一下。根據(jù)學(xué)生回答，強(qiáng)調(diào)：在一條首尾相接的封閉曲線上植樹，所需棵數(shù)和間隔數(shù)“一一對應(yīng)”，相當(dāng)于在線段上植樹的問題中一端栽一端不栽的情況。