【導(dǎo)讀】掌握四維散亂數(shù)據(jù)的概念，即什么是四維散亂數(shù)據(jù)。了解四維散亂數(shù)據(jù)在各方面的應(yīng)用背景。通過比較這些插值方法，了解這些插值方法的優(yōu)點并發(fā)現(xiàn)每種方法的不足，最后改進使自己的方法得以優(yōu)化，獲取更好的效果。整理相關(guān)資料，完成畢業(yè)論文的寫作。對論文進行全面修改、完善，準備論文答辯。過程中,從理論上延續(xù)了Lorenson和Cline于1987年提出的MarchingCubes. 算法的思想，該算法適用于數(shù)據(jù)場密度較高的體數(shù)據(jù)，下面利用MC算法的一些思想，干計算機繪圖和醫(yī)學(xué)，地理學(xué)，氣象學(xué)，熱學(xué)等實際應(yīng)用。本文先對給定區(qū)域進行六。面體剖分，構(gòu)造四維散亂數(shù)據(jù)節(jié)點，然后利用線性插值求出四維離散數(shù)據(jù)的等值點,如果等值點比較稀疏，則必須進行等值點加密處理。關(guān)鍵是選擇較為合適的變差函數(shù)模型，例如球面，指數(shù)，高斯模型。

　　

【正文】 兩不同的點 }{ix ，使得 0))(()( ??? ?? jjkjkj xFDxx ???? ，從而 )()( jj xFx?? 是一個一概率 1 取某值的變量。 定義五：區(qū)域化變量與二階平穩(wěn) 區(qū)域化變量： 能用其空間分布來表征一個自然現(xiàn)象的變量（將空間位置作為隨機函數(shù)的自變┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 裝 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 訂 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 線 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 安徽工業(yè)大學(xué) 本科畢業(yè)論文 第 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 裝 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 訂 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 線 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 10 量）。注意： ① 空間一點處的觀測值可解釋為一個隨機變量在該點處的一個隨機實現(xiàn)。 ② 空間各點處隨機變量的集合構(gòu)成一個隨機函數(shù)。 二階平穩(wěn)： 當(dāng)區(qū)域化變量 )(uz 滿足下列二個條件時，則稱其為二階平穩(wěn)或弱平穩(wěn)： ① 在整個研究區(qū)內(nèi)有 )(uz 的數(shù)學(xué)期望存在，且等于常數(shù)，即： humhuFEuFE ????? ,),()]([)]([ 常數(shù) ② 在整個區(qū)域內(nèi)， )(uF 的協(xié)方差函數(shù)存在且平穩(wěn) (即只依賴于滯后 h ，而與 u 無關(guān) ),即 )()]()([ )]([)]([)]()([))(),(( 2 hcmhuFuFE huFEuFEhuFuFEhuFuFC ov ???? ????? 所以協(xié)方差不依賴于空間絕對位置，而依賴于相對位置 ，即具有空間的二階平穩(wěn)不變性。 定義六：本征假設(shè) 當(dāng)區(qū)域化變量 )(uF 的增量 )]()([ huFuF ?? 滿足下列二條件時，稱其為滿足本征假設(shè)或內(nèi)蘊假設(shè)。 ①在整個研究區(qū)內(nèi)有 0)]]()([[ ??? huFuFE ② 增量 [ )(uF )( huF ? ]的方差函數(shù) (變差函數(shù) ,Variogram) 存在且平穩(wěn) (即不依賴于 u)，即： )(2),(2 )]()([) ] ]()([[)]()([)]()([222hhu huFuFEhuFuFEhuFuFEhuFuFV ar ?? ?? ??????????? 定義七：變異函數(shù) 區(qū)域化變量 )(xF 在點 x 和 hx? 的值 )(xF 與 )( hxF ? 差的方差的一半為區(qū)域化變量 F(x)在 x軸方向上的變異函數(shù)，記為 )(h? 。 在滿足本征假設(shè)條件下： 2)]()([)]()([V a )( hxFxFhxFxFh ??????? 變異函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系： 隨著相對距離的增加，觀測點的變異程度趨近于定值，相關(guān)性也逐漸降低。理論上 )(h? 在 0?h 時 0)( ?h? ，但有時候在原點附近出現(xiàn)不連續(xù)的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為塊金效應(yīng)（ Nugget Effect）；當(dāng)觀測點間的距離大到一定程度的時候， )(hr 呈現(xiàn)緩慢增加或不再增加，這時的 )(h? 就叫臨界變異值（ Sill）?？傊臻g相對距離小的，具有較高的相關(guān)性，變異性較??；空間相對距離大的，具有較小的相關(guān)性，變異性較大。 其中滿足 )()0()( hCCh ??? 注意到變異函數(shù)模型中的參數(shù)會直接影響到等值面的效果程度，可以考慮將所有觀測點的相對距離劃分為若干個級別，計算每個級別內(nèi)的觀測點的個數(shù)，然后將每個級別所有點數(shù)取距離的平均值即 )(h? 的平均值。最后將所有級別的這些 ))(,( hh? 點連接后就可以得到實驗變異函數(shù)。建立實驗變異函數(shù)后，再以最小二乘法計算出理論變異函數(shù)及其參數(shù)。 理論的變異函數(shù)有：高斯模型、指數(shù)模型、球面模型 ]13[ ┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 裝 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 訂 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 線 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 安徽工業(yè)大學(xué) 本科畢業(yè)論文 第 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 裝 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 訂 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 線 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 11 球面模型 ahahahCCahCChh ???????????????? 0],[0,0)( 331010? ① 指數(shù)模型 )]e x p (1[)( 10 ahCCh ????? ② 高斯模型 )]ex p (1[)( 2210 ahCCh ????? 其中：在工程上 0C 為塊金值， 1C 為部分基臺值， 0C + 1C 為基臺值， h 為分離距離，a為變差距離，及曲線達到基臺值時所對應(yīng)的分離距離。一般認為塊金值代表隨機變異的量，基臺值代表變量空間變異的結(jié)構(gòu)性方差，塊金系數(shù)是塊金值與基臺值的比值，用于反映變量的空間自相關(guān)程度。 方法 ]5[ 設(shè) ),( 1 nxx ? 為區(qū)域上的一系列觀測點， ))(,),(( 1 nxFxF ? 為相應(yīng)的觀測值。區(qū)域化變量在 x 處的值 )(* xF 可采用一 個線性組合來估計： x 處的估計值的表達式為： )()()(* jj xFxxF ?? ? 那么應(yīng)該尋找怎樣的逼近呢？運用最小方差無偏估計的原則，首先希望是無偏估計，即對 )(xF 的可能實現(xiàn)值從概率上講要與我們估計的有一樣的期望值。當(dāng) 0)( ?xEF時，由求均值是線性運算得到 )(0)()()(* xEFxEFxxEF jj ??? ? ? ， 從而在討論所有的隨機函數(shù)中的隨機函數(shù)都能滿足要求。 其次是希望估計的方差能達到最小，即希望對每個固定的 x 尋找 )}({ xj? ，使得下式取最小 2** ))()(())()((m in xFxFExFxFD ???? 計算得 )0()()(2)()()()())()(()(2))()(()()())()(( 22*?????????????????? ?? ? ?? ?jjkjkjjjkjkj xxxxxxx xEFxFxFExxFxFExxxFxFE這是一個關(guān)于系數(shù)函數(shù)的二次型，固定 x 對 )}({ xj? 求導(dǎo)并令為 0 得到 Nkxxxxx kkjj ,...,1),()()( ????? ??? 這個線性方程的解就是上述二次型的唯一最小值。 那么： )()()(* jj xFxxF ?? ? = 1 [12]TD A F? ┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 裝 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 訂 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 線 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 安徽工業(yè)大學(xué) 本科畢業(yè)論文 第 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 裝 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 訂 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 線 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 12 其中?????????????????01111),c o v (),c o v (),c o v (1),c o v (),c o v (),c o v (1),c o v (),c o v (),c o v (212221212111?????????kkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxA ?????????????????1),cov(),cov(),cov(21kxxxxxxD ?； ?????????????????0)()()(21kxFxFxFF ? 注： ),cov( 1 kxx 為點 kxx,1 之間的變異量，變異量只與兩點間的距離有關(guān)， A 為對陣矩陣。 Shepard 方法 (局部方法 )]2[ 在插值問題的實際背景中，被插函數(shù)經(jīng)常有這樣的性質(zhì)：函數(shù)在一點上的值對距它不同遠近的點有不同大小的影響；距離越近影響越大。 Shepard 在 1968 年注意到了這個現(xiàn)象，并由此提出他的方法。假設(shè)數(shù)據(jù)點 dnjj Rx ??0}{ 兩兩不 同， njjf 0}{ ? 是其上的數(shù)據(jù)值。希望尋找插值函數(shù) jj fxs ?)( 及某種連續(xù)條件，而函數(shù) )(xs 能體現(xiàn)這種依距離的遠近而產(chǎn)生的不同大小的影響。一個直接的想法是按照距離的倒數(shù)或距離的平方的倒數(shù)進行加權(quán)然后取其平均 ??? nj jj xlfxs 0 )()( 這里 )(xlj 并不是 Lagrange 多項式，而是體現(xiàn)了函數(shù)在 jx 的值 jf 對在 x點的函數(shù)值的影響。比如可以假設(shè)影響的是與距離的 ? 次方的倒數(shù)成正比，那么定義權(quán)函數(shù)： ? ???? ?????? nm kmkkjkkjj xrxrxrxrxl011)()()()()( 。 就有 ??? ???? kj kjxl jkkj ,0,1)( ? 其中 djj Ryxxxxryxyxr ????? ,)(,),( 22 ?? 范數(shù)范數(shù) 得到如下定理： ? ? ??? ?? ????? nj nm kmkkjkjnj jj xrxrfxlfxs000 )()()()( 是一個連續(xù)的函數(shù)，并且滿足插值條件。 ┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊