【導(dǎo)讀】掌握四維散亂數(shù)據(jù)的概念，即什么是四維散亂數(shù)據(jù)。了解四維散亂數(shù)據(jù)在各方面的應(yīng)用背景。通過比較這些插值方法，了解這些插值方法的優(yōu)點(diǎn)并發(fā)現(xiàn)每種方法的不足，最后改進(jìn)使自己的方法得以優(yōu)化，獲取更好的效果。整理相關(guān)資料，完成畢業(yè)論文的寫作。對論文進(jìn)行全面修改、完善，準(zhǔn)備論文答辯。過程中,從理論上延續(xù)了Lorenson和Cline于1987年提出的MarchingCubes. 算法的思想，該算法適用于數(shù)據(jù)場密度較高的體數(shù)據(jù)，下面利用MC算法的一些思想，干計(jì)算機(jī)繪圖和醫(yī)學(xué)，地理學(xué)，氣象學(xué)，熱學(xué)等實(shí)際應(yīng)用。本文先對給定區(qū)域進(jìn)行六。面體剖分，構(gòu)造四維散亂數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)，然后利用線性插值求出四維離散數(shù)據(jù)的等值點(diǎn),如果等值點(diǎn)比較稀疏，則必須進(jìn)行等值點(diǎn)加密處理。關(guān)鍵是選擇較為合適的變差函數(shù)模型，例如球面，指數(shù)，高斯模型。

　　

【正文】 兩不同的點(diǎn) }{ix ，使得 0))(()( ??? ?? jjkjkj xFDxx ???? ，從而 )()( jj xFx?? 是一個(gè)一概率 1 取某值的變量。 定義五：區(qū)域化變量與二階平穩(wěn) 區(qū)域化變量： 能用其空間分布來表征一個(gè)自然現(xiàn)象的變量（將空間位置作為隨機(jī)函數(shù)的自變┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 裝 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 訂 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 線 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 安徽工業(yè)大學(xué) 本科畢業(yè)論文 第 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 裝 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 訂 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 線 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 10 量）。注意： ① 空間一點(diǎn)處的觀測值可解釋為一個(gè)隨機(jī)變量在該點(diǎn)處的一個(gè)隨機(jī)實(shí)現(xiàn)。 ② 空間各點(diǎn)處隨機(jī)變量的集合構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)函數(shù)。 二階平穩(wěn)： 當(dāng)區(qū)域化變量 )(uz 滿足下列二個(gè)條件時(shí)，則稱其為二階平穩(wěn)或弱平穩(wěn)： ① 在整個(gè)研究區(qū)內(nèi)有 )(uz 的數(shù)學(xué)期望存在，且等于常數(shù)，即： humhuFEuFE ????? ,),()]([)]([ 常數(shù) ② 在整個(gè)區(qū)域內(nèi)， )(uF 的協(xié)方差函數(shù)存在且平穩(wěn) (即只依賴于滯后 h ，而與 u 無關(guān) ),即 )()]()([ )]([)]([)]()([))(),(( 2 hcmhuFuFE huFEuFEhuFuFEhuFuFC ov ???? ????? 所以協(xié)方差不依賴于空間絕對位置，而依賴于相對位置 ，即具有空間的二階平穩(wěn)不變性。 定義六：本征假設(shè) 當(dāng)區(qū)域化變量 )(uF 的增量 )]()([ huFuF ?? 滿足下列二條件時(shí)，稱其為滿足本征假設(shè)或內(nèi)蘊(yùn)假設(shè)。 ①在整個(gè)研究區(qū)內(nèi)有 0)]]()([[ ??? huFuFE ② 增量 [ )(uF )( huF ? ]的方差函數(shù) (變差函數(shù) ,Variogram) 存在且平穩(wěn) (即不依賴于 u)，即： )(2),(2 )]()([) ] ]()([[)]()([)]()([222hhu huFuFEhuFuFEhuFuFEhuFuFV ar ?? ?? ??????????? 定義七：變異函數(shù) 區(qū)域化變量 )(xF 在點(diǎn) x 和 hx? 的值 )(xF 與 )( hxF ? 差的方差的一半為區(qū)域化變量 F(x)在 x軸方向上的變異函數(shù)，記為 )(h? 。 在滿足本征假設(shè)條件下： 2)]()([)]()([V a )( hxFxFhxFxFh ??????? 變異函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系： 隨著相對距離的增加，觀測點(diǎn)的變異程度趨近于定值，相關(guān)性也逐漸降低。理論上 )(h? 在 0?h 時(shí) 0)( ?h? ，但有時(shí)候在原點(diǎn)附近出現(xiàn)不連續(xù)的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為塊金效應(yīng)（ Nugget Effect）；當(dāng)觀測點(diǎn)間的距離大到一定程度的時(shí)候， )(hr 呈現(xiàn)緩慢增加或不再增加，這時(shí)的 )(h? 就叫臨界變異值（ Sill）?？傊?，空間相對距離小的，具有較高的相關(guān)性，變異性較??；空間相對距離大的，具有較小的相關(guān)性，變異性較大。 其中滿足 )()0()( hCCh ??? 注意到變異函數(shù)模型中的參數(shù)會(huì)直接影響到等值面的效果程度，可以考慮將所有觀測點(diǎn)的相對距離劃分為若干個(gè)級別，計(jì)算每個(gè)級別內(nèi)的觀測點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后將每個(gè)級別所有點(diǎn)數(shù)取距離的平均值即 )(h? 的平均值。最后將所有級別的這些 ))(,( hh? 點(diǎn)連接后就可以得到實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)。建立實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)后，再以最小二乘法計(jì)算出理論變異函數(shù)及其參數(shù)。 理論的變異函數(shù)有：高斯模型、指數(shù)模型、球面模型 ]13[ ┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 裝 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 訂 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 線 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 安徽工業(yè)大學(xué) 本科畢業(yè)論文 第 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 裝 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 訂 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 線 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 11 球面模型 ahahahCCahCChh ???????????????? 0],[0,0)( 331010? ① 指數(shù)模型 )]e x p (1[)( 10 ahCCh ????? ② 高斯模型 )]ex p (1[)( 2210 ahCCh ????? 其中：在工程上 0C 為塊金值， 1C 為部分基臺值， 0C + 1C 為基臺值， h 為分離距離，a為變差距離，及曲線達(dá)到基臺值時(shí)所對應(yīng)的分離距離。一般認(rèn)為塊金值代表隨機(jī)變異的量，基臺值代表變量空間變異的結(jié)構(gòu)性方差，塊金系數(shù)是塊金值與基臺值的比值，用于反映變量的空間自相關(guān)程度。 方法 ]5[ 設(shè) ),( 1 nxx ? 為區(qū)域上的一系列觀測點(diǎn)， ))(,),(( 1 nxFxF ? 為相應(yīng)的觀測值。區(qū)域化變量在 x 處的值 )(* xF 可采用一 個(gè)線性組合來估計(jì)： x 處的估計(jì)值的表達(dá)式為： )()()(* jj xFxxF ?? ? 那么應(yīng)該尋找怎樣的逼近呢？運(yùn)用最小方差無偏估計(jì)的原則，首先希望是無偏估計(jì)，即對 )(xF 的可能實(shí)現(xiàn)值從概率上講要與我們估計(jì)的有一樣的期望值。當(dāng) 0)( ?xEF時(shí)，由求均值是線性運(yùn)算得到 )(0)()()(* xEFxEFxxEF jj ??? ? ? ， 從而在討論所有的隨機(jī)函數(shù)中的隨機(jī)函數(shù)都能滿足要求。 其次是希望估計(jì)的方差能達(dá)到最小，即希望對每個(gè)固定的 x 尋找 )}({ xj? ，使得下式取最小 2** ))()(())()((m in xFxFExFxFD ???? 計(jì)算得 )0()()(2)()()()())()(()(2))()(()()())()(( 22*?????????????????? ?? ? ?? ?jjkjkjjjkjkj xxxxxxx xEFxFxFExxFxFExxxFxFE這是一個(gè)關(guān)于系數(shù)函數(shù)的二次型，固定 x 對 )}({ xj? 求導(dǎo)并令為 0 得到 Nkxxxxx kkjj ,...,1),()()( ????? ??? 這個(gè)線性方程的解就是上述二次型的唯一最小值。 那么： )()()(* jj xFxxF ?? ? = 1 [12]TD A F? ┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 裝 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 訂 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 線 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 安徽工業(yè)大學(xué) 本科畢業(yè)論文 第 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 裝 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 訂 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 線 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 12 其中?????????????????01111),c o v (),c o v (),c o v (1),c o v (),c o v (),c o v (1),c o v (),c o v (),c o v (212221212111?????????kkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxA ?????????????????1),cov(),cov(),cov(21kxxxxxxD ?； ?????????????????0)()()(21kxFxFxFF ? 注： ),cov( 1 kxx 為點(diǎn) kxx,1 之間的變異量，變異量只與兩點(diǎn)間的距離有關(guān)， A 為對陣矩陣。 Shepard 方法 (局部方法 )]2[ 在插值問題的實(shí)際背景中，被插函數(shù)經(jīng)常有這樣的性質(zhì)：函數(shù)在一點(diǎn)上的值對距它不同遠(yuǎn)近的點(diǎn)有不同大小的影響；距離越近影響越大。 Shepard 在 1968 年注意到了這個(gè)現(xiàn)象，并由此提出他的方法。假設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn) dnjj Rx ??0}{ 兩兩不 同， njjf 0}{ ? 是其上的數(shù)據(jù)值。希望尋找插值函數(shù) jj fxs ?)( 及某種連續(xù)條件，而函數(shù) )(xs 能體現(xiàn)這種依距離的遠(yuǎn)近而產(chǎn)生的不同大小的影響。一個(gè)直接的想法是按照距離的倒數(shù)或距離的平方的倒數(shù)進(jìn)行加權(quán)然后取其平均 ??? nj jj xlfxs 0 )()( 這里 )(xlj 并不是 Lagrange 多項(xiàng)式，而是體現(xiàn)了函數(shù)在 jx 的值 jf 對在 x點(diǎn)的函數(shù)值的影響。比如可以假設(shè)影響的是與距離的 ? 次方的倒數(shù)成正比，那么定義權(quán)函數(shù)： ? ???? ?????? nm kmkkjkkjj xrxrxrxrxl011)()()()()( 。 就有 ??? ???? kj kjxl jkkj ,0,1)( ? 其中 djj Ryxxxxryxyxr ????? ,)(,),( 22 ?? 范數(shù)范數(shù) 得到如下定理： ? ? ??? ?? ????? nj nm kmkkjkjnj jj xrxrfxlfxs000 )()()()( 是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)，并且滿足插值條件。 ┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊