【導讀】在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固。固定的端點O叫做圓心，線段。圓周上的點與圓心有什么關(guān)系？到定點的距離等于定長的點都在圓上。你能模仿圓的集合定義思想，圓的內(nèi)部是到圓心的距離小于半徑的點的集合。同圓和等圓有什么性質(zhì)？經(jīng)過兩個點，如何作圓，能作多少個？經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，如何找三角形的外心？側(cè)半圓會有什么關(guān)系？的直線都是它的對稱軸。條弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖，P為⊙O的弦BA延長線上一點，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半徑。弦長構(gòu)成直角三角形，定理的題設和結(jié)論。如圖，CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，EF⊥CD，如圖，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，圓心角所對的弦相等，的其余各組量都分別相等。

　　

【正文】 2上 ， 連心線 O1O2交 ⊙ O1于點 C、 D， 交 ⊙ O2于 點 E， 過點 C作 CF⊥ CE， 交 EA的延長線于點 F， 若 DE=2， AE= （ 1） 求證： EF是 ⊙ O1的切線； （ 2） 求線段 CF的長； （ 3） 求 tan∠ DAE的值 . 52B O 1 D C O 2 E A F （ 2） ∵ DE=2， AE= ， 且 EA、 EDC分別是⊙ O1 的切線和割線 5252由 CF⊥ CE，可得 CF是 ⊙ O1的切線，從而FC= Rt△ EFC中，設 CF= x， 則 FE= x+ .又 CE=10，由勾股定理可得： （ x+ ） 2= x2+102， 52解得 x= .即 CF= . 5454解：（ 1）連結(jié) O1A， ∵ O1E是 ⊙ O2的直徑，∴ O1A⊥ EF ∴ EF是 ⊙ O1的切線 .. ∴ EA2=EDEC， ∴ EC=10 連結(jié) AC，由 EA是 ⊙ O1的切線知∠ DAE=∠ tan∠ ∠ CAD=900，所以只需求 的值即可 .觀察和分析圖形，可得△ ADE∽ △ CAE， . 從而 tan∠ ACD= ，即 tan∠ DAE=. ACAD551052 ???CEAEACAD55?ACAD55B O 1 D C O 2 E A F G 作 DG⊥ AE于 G， 求 AG和 DG的值 .分析已知條件 ， 在 Rt△ A O1E中 ， 三邊長都已知或可求 （O1A=4， O1E=6） ， 又 DE=2， 且 DG∥ A O1（因為 DG⊥ AE） ， 運用平行分線段成比例 ,3 54,34 ?AG55可求得 DG= 從而 tan∠ DAE= . 3）解法一：（構(gòu)造含 ∠ DAE的直角三角形） 解法二：（等角轉(zhuǎn)化） 例 ， 已知矩形 ABCD， 以 A為圓心 ， AD為半徑的圓交 AC、 AB于 M、 E，CE的延長線交 ⊙ A于 F， CM=2， AB=4. （ 1） （ 2） 求 CF的長和 △ AFC的面積 . 求 ⊙ A的半徑； D M A E B C F G （ 2） 過 A作 AG⊥ EF于 G.∵ AE=3， BE=AB―AE= 1， ∴ CE= 由 CECF=CD2， 得 CF= .又 ∵∠ B=∠ AGE=900， ∠ BEC=∠ GEA， ∴ △ BCE∽ △ GAE.∴ ， 即 S△ AFC= CFAG= . 1013 2222 ???? BEBC1058104 22 ??CECDAECEAGBC ?,3103 ?AG21536解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD是矩形， ∴ CD=AB=4， 在 Rt△ ACD中， AC2=CD2+AD2， ∴ （ 2+AD） 2=42+AD2，解得 AD=3. （ 1） 求 ∠ B的度數(shù)； (2) 求 CE的長 . O D B A C E H F 例 ， △ ABC內(nèi)接于 ⊙ O， BC=4， S△ ABC= ， ∠ B為銳角 ， 且關(guān)于 x的方程 x2–4xcosB+1=0有兩個相等的實數(shù)根 .D是劣弧 AC上的任一點 （ 點 D不與點 A、 C重合 ） ， DE平分 ∠ ADC， 交 ⊙ O于點 E， 交 AC于點 F. 36解： （ 1 ） ∵ 關(guān)于 x 的方程 x2–4xcosB+1=0有兩個相等的實數(shù)根 ， ∴ Δ=（ 4cosB） 24=0.∴ cosB= ， 或cosB= （ 舍去 ） . 又 ∵∠ B為銳角 ， ∴∠ B=600. 2121（ 2） 過 點 A作 AH⊥ BC， 垂足為 H. S△ ABC= BCAH= BCABsin600= ， ∵ AB=4, 解得 AB=6 在 Rt△ ABH中， BH=ABcos600=6 =3， AH=ABsin600=6 ， ∴ CH=BCBH=43=1. 在 Rt△ ACH中，AC2+CH2=27+1=28.∴ AC= （負值舍去） .∴ AC= .連結(jié) AE，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中， ∠ B+∠ ADC=1800，∴∠ ADC= ∵ DE平分 ∠ ADC，∴∠ EDC=600=∠ EAC. 又∵∠ AEC=∠ B=600， ∴∠ AEC=∠ EAC，∴ CE=AC= . 212136213323 ?72?7272O D B A C E H F 例 6. 已知：如圖 ， ⊙ O的半徑為 r， CE切 ⊙ O于點 C， 且與弦 AB的延長線交于點 E， CD⊥ AB于 CE=2BE， 且AC、 BC的長是關(guān)于 x的方程 x2–3（ r–2） x+ r2–4=0的兩個實數(shù)根 .求 （ 1） AC、 BC的長； （ 2） CD的長 . C O A E D B 解： （ 1 ） ∵ CE 切 ⊙ O 于 C ，∴∠ ECB=∠ ∵∠ E是公共角 ，∴ △ ECB∽ △ EAC， ∴ AC= AC、 BC的長是關(guān)于x的方程 x2–3（ r–2） x+ r2–4=0的兩個實數(shù)根 ， ∴ AC+BC=3（ r2） ；ACBC=r24， 解得 r=6， ∴ BC=4，AC=8. 2 1 ? ? CE BE AC BC O A E D F B C ∠ CAF=900 ， ∠ CFA=∠ CBD. ∵∠ CDB=900=∠ CAF， ∴ △ CAF∽ △ CDB， . ∴ CD= . BC CF CD AC ? 381248 ????CFBCAC（ 2）連結(jié) CO并延長交⊙ O于 F，連結(jié) AF，則 例 ， △ ABC內(nèi)接于 ⊙ O， AB是 ⊙ O的直徑 ， PA是過A點的直線 ， ∠ PAC=∠ B. （ 1） 求證： PA是 ⊙ O的切線； P O A B C F D （ 2）如果弦 CD交 AB于 E， CD的延長線交 PA于 F，AC=CE∶ EB=6∶ 5， AE∶ EB=2∶ 3，求 AB的長和 ∠ FCB的正切值 . 解： （ 1） ∵ AB是 ⊙ O的直徑 ，∴∠ ACB=900. ∴∠ CAB+∠ B=900， ∴∠ CAB+∠ PAC= PA⊥ AB，∴ PA是 ⊙ O的切線 . 又 ∵ ∠ PAC=∠ B （ 2) 設 CE=6aAE=2x, 則 ED=5a ，EB=3x. 由 相 交 弦 定 理 ， 得2x3x=5a6a∴ x= a. 連結(jié) AD. 由△ BCE∽ △ DAE得 連結(jié) BD. 由 △ BED∽ △ CEA， 得 . 5553??EDEBADBC25??AEBEACBD1 0 02 ?AB∴ BD= .由勾股定理得 BC= ， AD= . ∴ .兩邊平方，整理得 ， ∴ （負值舍去） .∴ AD= ∵∠ FCB=∠ BAD， ∴ tan∠ FCB= tan∠ BAD= 553)54(82222???ABAB54 22 8?AB2)54(?AB5225254 ??ADBD10?ABP O A B C F D E 提高練習 從一個底面半徑為 40cm，高 60cm的圓柱中挖去一個以圓柱上底為底，下底圓心為頂點的圓錐，如圖，得到一個幾何體，求這個幾何體的表面積。