【導讀】則∠C=度.∠B=度.④AD∥BC⑤AB=CD⑥OB=OD.且∠AOB=120°，AD=5，BD=，AB=。并證明你的結論．

　　

【正文】 菱形 矩形 變式練習 （ 4） 順次連結 正方形 各邊中點所得的四邊形是 ___________ ？ （ 5）順次連結 梯形 各邊中點所得的四邊形是______________？ （ 6）順次連結 等腰梯形各邊中點所得的四邊形是 __________？ 正方形 平行四邊形 菱形 （ 7） 順次連結 對角線相等的四邊形各邊中點所得的四邊形是什么 ？ （ 9）順次連結 對角線相等且垂直 的四邊形各邊中點所得的四邊形是什么？ （ 8） 順次連結 對角線垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形是什么 ？ 菱形 1. ① 如圖，矩形 ABCD的對角線 AC、 BD交于點 O，過點 D作 DP∥OC ，且 DP=OC，連結 CP， 試說明：四邊形 CODP是的形狀。 A B D C O P ③ 如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?(圖二 )，結論又應變?yōu)槭裁矗? ② 如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?(圖一 )，結論應變?yōu)槭裁矗? 圖一 A O D P B C P C D O B A 圖二 以△ ABC的邊 AB、 AC為邊的等邊三角形 ABD和等邊三角形 ACE，四邊形 ADFE是平行四邊形。 （ 1）當 ∠ BAC滿足 時，四邊形 ADFE是矩形； （ 2）當 ∠ BAC滿足 時，平行四邊形 ADFE不存在； （ 3）當△ ABC分別滿足什么條件時，平行四邊形時菱形、正方形。 B C A E F D 解 :（ 3) AB=AC時，平行四邊形 ADFE時菱形。 AB=AC且 ∠ BAC=150176。 時，平行四邊形 ADFE是正方形 。 150176。 60176。 60176。 60176。 如圖，在梯形 ABCD中， AB∥ CD，中位線 EF=7cm，對角線 AC⊥ BD， ∠ BDC=30176。 ，求梯 形的高線 AH A B C H F E M D O 過 A作 AM∥ BD，交 CD的延長線于 M 又 ∵ AB∥ CD ∴ 四邊形 ABDM是平行四邊形， ∴ DM=AB， ∠ AMC= ∠ BDC=30176。 又 ∵ 中位線 EF=7cm， ∴ CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm 又 ∵ AC⊥ BD， ∴ AC⊥ AM， ∵ AH⊥ CD， ∠ ACD=60176。 ∴ AC= CM=7cm 1 2 ∴ AH=ACsin60176。 = √3(cm) 7 2 已知： E、 F為邊 AB、 BC的中點， 在 AC上取 G、 H兩點，使 AG=GH=HC，連結 EG、 FH，并延長交于 D點。 求證：四邊形 ABCD是平行四邊形。 O 注：①解“翻折圖形”問題的關鍵是要認識到對折時折痕為重合兩點的對稱軸，會形成軸對稱圖形。 ②本題通過設未知數(shù)，然后根據(jù)圖形的幾何元素間的關系列方程求解的方法，是數(shù)學中常用的“方程思想”。 已知，如圖，矩形紙片長為 8cm，寬為 6cm, 把紙對折使相對兩頂點 A， C重合，求折痕的長。 A B C D F E O D 解： 設折痕為 EF，連結 AC， AE， CF，若 A， C兩點重合，它們必關于 EF對稱，則 EF是 AC的中垂線 ，故AF=FC，設 AC與 EF交于點 O，AF=FC=xcm 25 4 解得 x= ∴ AF=FC= ,FD=8 – x= 25 4 7 4 答：折痕的長為 則 FD=AD – AF=8 x ∵ 在 Rt△ CDF中， FC = FD + CD 2 2 2 ∴ x = （ 8 x） + 6 2 2 2 H 在 Rt△ FEH中， EF = FH + EH 2 2 2 ∴ EF =6 + （ ） 2 2 2 25 4 7 4 ∴ EF=177。 (負根舍去） 作 FH⊥ BC于 H 如圖所示，設 P為 ABCD內(nèi)的一點，△ PAB、△ PBC、△ PDC、△ PDA的面積分別記為 S S S S4，則有 ( ) (A)S1=S4 (B)S1+S2=S3+S4 (C)S1+S3=S2+S4 (D)以上都不對 【 解析 】 選 C.△ PAB中 AB上的高與△ PDC中 CD上的高之和就是平行四邊形 AB上的高，所以△ PAB與△ PDC的面積之和等于平行四邊形面積的一半，那么△ PDA與△ PBC的面積之和也等于平行四邊形面積的一半 . 例 2：如圖，在四邊形 ABCD中， AB=2， CD=1， ∠ A=60176。 ， ∠ B= ∠ D=90 176。 ，求四邊形 ABCD的面積。 B A D C E 注：四邊形的問題經(jīng)常轉化為三角形的問題來解，轉化的方法是添加適當?shù)妮o助線，如連結對角線、延長兩邊等。 解： 延長 AD， BC交于點 E， ∵ 在 Rt△ ABE中， ∠ A=60176。 ， ∴∠ E=30176。 又 ∵ AB=2 ∴ BE=√3AB=2 √3 ∵ 在 Rt△ CDE中，同理可得 DE=√3CD= √3 ∴ S四邊形 ABCD=S Rt△ ABE S Rt△ CDE = ABBE CDDE 1 2 1 2 = 2 2√3 1 √3 1 2 1 2 = √3 3 2 2 1 ABCD中 ,AE⊥ BC于 E, AF⊥ CD于F ,AE=4,AF=6,平行四邊形 ABCD的周長為 40 ,求平行四邊形 ABCD的面積 . A B C D E F 4 6 X 20X 4 X = 6 (20X) ∴ X=12 面積 =12 4=48 或 8 6=48 １０ .在△ ABC中， P 是 BC 上一動點，過點 P 作 PE∥ AC ，交 AB于 E ， 過 P作 PF∥ AB 交 AC于 F，當點 P 運動到什么位置時，四邊形 AEPF是菱形？ A B C P E F 當ＡＰ平分 ∠ ＢＡＣ時， 四邊形 AEPF是菱形 １ ２ ３ １１、如 圖，△ ABC中，點 O是 AC上一個動點，過點 O 作直線 MN∥BC ，設 MN交 ∠ BCA的平分線于點 E，交 ∠ BCA的外角平分線于點 F， (1)、找出圖形中相等的線段，并證明。 (2)、當點 O運動到何處時，四邊形 AECF是矩形， 并證明你的結論。 （３）當 △ ABC滿足什么條件時，四邊形 AECF是正方形？ A B C N M F E O ＯＥ＝ＯＦ １ ２ ３ 當０運動到ＡＣ中點時，四邊形 AECF是矩形 ∠ ＡＣＢ＝９０ 176。 １２．正方形ＡＢＣＤ對角線ＡＣ．ＢＤ交于Ｏ，Ｐ是ＢＤ上一點，ＰＥ ⊥ ＡＢ于Ｅ，ＰＦ ⊥ ＡＤ于Ｆ，連ＯＥ，ＯＦ 求證（１ ）ＯＥ＝ＯＦ （２）ＯＥ ⊥ ＯＦ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｏ Ｅ Ｆ １ ２ ３ ４ Ｐ ５ 證明△ＢＯＥ ≌ △ＡＯＦ ＯＡ＝ＯＢ ∠ １＝ ∠ ２ ＡＦ＝ＢＥ １３．在直角梯形ＡＢＣＤ中，Ｅ．Ｆ分別是ＡＢ，ＣＤ的中點，且ＥＦ＝ a，ＡＢ ⊥ ＢＣ，且ＡＢ＝ b，則圖中陰影部分面積是＿＿＿＿＿，（用 a， b表示） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ a b １／２ ab Ｓ１ Ｓ２ Ｓ３ Ｓ１＋Ｓ２＝Ｓ３ １４．田村有一口呈四邊形的池塘，在它 的四個角 A、B、 C、 D處均種有一棵大核桃樹．田村準備開挖魚池建養(yǎng)魚 苗 ，想使池塘面積擴大一倍，又想保持 核桃樹不動，并要求擴建后的池塘成平行四邊形形狀， 請問田村能否實現(xiàn)這一設想 ?若能，請你設計并畫出圖形；若不能，請說明理 由． O A B C D E F G H △ ABC的邊 BC同側分別作三個正三角形 BCE,正三角形ABD, 正三角形 ACF. (1)四邊形 ADEF是 四邊形 (2)當△ ABC滿足 時 ,四邊形 ADEF為矩形 (3)當△ ABC滿足 時 ,四邊形 ADEF為菱形 (4)當△ ABC滿足 時 ,四邊形 ADEF不存在 A B C D E F 平行 ∠ BAC=150度 AB=AC ∠ BAC=60度 A B C D O 性質(zhì) ： 1）對邊平行且相等。 2）對角相等。 3）兩條對角線互相平分。 4）中心對稱 。 判定方法 ： 1）兩組對邊分別平行。 2）兩組對邊分別相等。 3）一組對邊平行且相等。 4）兩條對角線互相平分。 5）兩組對角分別相等。 A B C D O 性質(zhì) ： 1）對邊平行且相等。 2）四個角都是直角。 3）兩條對角線互相平分且相等。 4）軸對稱和中心對稱。 判定方法 ： 1）有三個角是直角的四邊形。 2）是平行四邊形，并且有一個角是直角。 3）是平行四邊形，并且兩條對角線相等 。 C A B D O 性質(zhì) ： 1）對邊平行，四條邊都相等 。 2）對角相等。 3）兩條對角線互相垂直平分 ， 每條對角線平分一組對角。 4）軸對稱和中心對稱。 判定方法 ： 1）四條邊都相等的四邊形。 2）是平行四邊形，并且有一組鄰邊相等。 3）是平行四邊形，并且兩條對角線互相垂直。 A B C D O 性質(zhì) ： 1）對邊平行，四條邊都相等 。 2）四個角都是直角。 3）兩條對角線互相垂直平分且相等， 每條對角線平分一組對角。 4）軸對稱和中心對稱。 判定方法 ： 1）是矩形，并且有一組鄰邊相等。 2）是菱形，并且有一個角是直角。 3）是平行四邊形，并且有一組鄰邊相等 和有一個角是直角。 A B C D 性質(zhì) ： 1）兩底并行，兩腰相等。 2）同一底上的兩個角相等。 3）兩條對角線相等。 4）軸對稱。 判定方法 ： 1）是梯形，并且同一底上的兩個角相等。 2）是梯形，并且兩條對角線相等。 O 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊， 并且等于第三邊的一半。 A B C D E DE∥ BC， DE＝ 1/2 BC A D B C E F 梯形中位線定理 梯形的中位線定理平行于兩底， 并且等于兩底和的一半。 EF∥ AD∥ BC， EF＝ 1/2 (AD+BC) 在矩形 ABCD中， AB=16， BC=8.將矩形沿 AC折疊，點 D落在點 E處，且CE交 AB于點 F，求 AF的長 . C E F D A B 思考 點撥 ： 對于折疊問題，可以從折疊前后的兩個圖形是全等圖形入手進行分析 . 1：如圖，四邊形 ABCD為平行四邊形