全國優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)：二次函數(shù)圖像和性質(zhì)x-資料下載頁
2024-11-22 02:56本頁面
【導(dǎo)讀】通過對(duì)實(shí)際問題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義.會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì).會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對(duì)稱軸，并能解決簡單實(shí)際問題.會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.*知道給定不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)二次函數(shù).從方法上看，在研究一次函數(shù)和反比例函數(shù)時(shí)，教材側(cè)重于通過觀察函數(shù)圖象來直觀了解函數(shù)的性質(zhì).而進(jìn)入高中后，教材則側(cè)重于通過分析解析式來研究函數(shù)性質(zhì).因此，在《二次函數(shù)》一章的教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生將研究方法從圖象逐步向解析式轉(zhuǎn)移，讓學(xué)生在體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)，初步經(jīng)歷代數(shù)說理的過程，也為下一學(xué)段的學(xué)習(xí)做好過渡.為了讓課堂更豐富，同時(shí)加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系，我將所研究的幾個(gè)二次函數(shù)用一個(gè)橋拱的情境串聯(lián)起來，從圖形入手，由淺入深地實(shí)現(xiàn)
【正文】 當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有最大值0，所以y4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，可以得知坐標(biāo)系的建立方法如圖. 可以看出，對(duì)于形如y=ax2+bx+c的二次函數(shù)，用配方的方法同樣可以幫助我們求出函數(shù)的最值，從而確定頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸. 〖預(yù)案3〗從解析式上分析，拋物線y4=2x2+4x2可以看做由拋物線y3=2x2+4x向下平移2個(gè)單位得到，所以其頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0). 〖預(yù)案4〗設(shè)B(a,b)，則A(a+1,b+2)，C(a+2,b)，代入拋物線的解析式，解得a=2，b=2，所以B(2,2)，由此可確定原點(diǎn)的位置. 小結(jié)：從大家的解法中不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)形如y=ax2+bx+c的二次函數(shù)，同樣可以通過繪制圖象或者對(duì)解析式配方來確定它的頂點(diǎn)坐標(biāo). 事實(shí)上，還有同學(xué)發(fā)現(xiàn)，這一類二次函數(shù)可以由二次函數(shù)y=ax2+bx向上或向下平移得到，只要研究清楚二次函數(shù)y=ax2+bx的性質(zhì)，就容易研究出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)，所以我們?cè)趩栴}1中使用的配方的方法在這里仍然可以適用. 【小試身手】試研究二次函數(shù)y=2x23x1的性質(zhì). 解：（1）繪制圖象：列表、描點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象x…210123…y…1341218…描點(diǎn)后發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)能夠反映出圖象的大致走勢(shì)，且開口向上，但還不足以準(zhǔn)確確定對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo). 〖預(yù)案〗可以再增加一些點(diǎn)（紅色），匯總?cè)缦卤恚簒…210123…y…13841122114813…加入新的點(diǎn)并連線后，能夠看出拋物線開口向上，并且關(guān)于一條平行于y軸的直線對(duì)稱，由一組對(duì)稱點(diǎn) (0,1)、(,1)，容易找到圖象的對(duì)稱軸是直線x=. 當(dāng)時(shí)，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)是. （2）最值：由于對(duì)任意實(shí)數(shù)x，因此. 只有當(dāng)時(shí). 所以圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，是圖象的最低點(diǎn). （2）對(duì)稱性：圖象的對(duì)稱軸是直線. 對(duì)任意m0，當(dāng)自變量x分別取和時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等. 事實(shí)上，通過配方確定了拋物線的對(duì)稱軸后，若利用對(duì)稱性進(jìn)行描點(diǎn)會(huì)更加的方便. （3）增減性：在對(duì)稱軸左側(cè)圖象從左到右上升，即當(dāng)時(shí) y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸右側(cè)圖象從左到右下降，即當(dāng)時(shí)， y隨x的增大而增大. 歸納：二次函數(shù)y=2x23x1的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)圖象特征最值當(dāng)時(shí).向上開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱性對(duì)任意m0，當(dāng)自變量x分別取和時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等.直線對(duì)稱軸增減性當(dāng)時(shí)y隨x的增大而減?。划?dāng)時(shí)y隨x的增大而增大. 在對(duì)稱軸左側(cè)圖象從左到右下降。在對(duì)稱軸右側(cè)圖象從左到右上升. 曲線趨勢(shì)【設(shè)計(jì)說明】在問題2中，讓學(xué)生將前面用到的方法運(yùn)用到形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函數(shù)中，體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系. 然后，再通過一個(gè)具體的數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)，結(jié)合圖象和解析式梳理研究二次函數(shù)性質(zhì)的一般過程和方法. 4. 總結(jié)提升這節(jié)課我們主要研究了形如y=ax2+bx(a≠0)和y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函數(shù)的圖象與性質(zhì). 【想一想】（1）對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的研究，你有什么心得？（2）我們還能從哪些方面繼續(xù)研究二次函數(shù)的性質(zhì)呢？從研究思路來看，在研究某一類函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，通常先從形式較簡單的特殊情形開始研究，比如在二次函數(shù)中我們先研究形如y=ax2的一類二次函數(shù)，再逐漸過渡到一般形式的二次函數(shù). 從研究方法來看，圖象能幫助我們直觀把握函數(shù)的一些特征，而通過分析解析式能讓研究的過程更嚴(yán)謹(jǐn)、結(jié)論更可靠. 就像著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微. 數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非. ”今天我們主要對(duì)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性、頂點(diǎn)是最值點(diǎn)兩方面的圖象特征進(jìn)行了說理論證. 其實(shí)，圖象的升降趨勢(shì)、開口方向等特征也同樣可以從解析式中找到依據(jù)，今后同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)了其它相關(guān)知識(shí)后就可以對(duì)它們加以論證了. 【課后作業(yè)】（1）試研究下列二次函數(shù)的性質(zhì)，并作出圖象：①； ②. （2）試用含a、b、c的式子表示二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并確定其開口方向. （3）（選做）問題3：在拱橋的問題中，①你發(fā)現(xiàn)yyyy4的圖象之間有什么聯(lián)系？②如果以C為原點(diǎn)，直線BC為x軸，你能直接寫出橋拱所在拋物線的解析式嗎？和同學(xué)交流一下，看看誰的方法又快又好. ③在②的條件下，橋拱在水中的倒影y′也是拋物線，你能直接寫出它的解析式嗎？想一想，你的依據(jù)是什么. 【設(shè)計(jì)說明】在總結(jié)提升環(huán)節(jié)，通過課堂小結(jié)讓學(xué)生再次梳理研究的思路和方法，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)“數(shù)形結(jié)合”的特點(diǎn). 課后作業(yè)的層次鮮明：第（1）題鞏固本課的研究過程和方法；第（2）題讓學(xué)生試著將方法推廣到一般情形，找出一般性規(guī)律；第（3）題給學(xué)有余力的學(xué)生更高的思維空間，讓他們體會(huì)拋物線進(jìn)行平移或?qū)ΨQ變化時(shí)解析式的變化規(guī)律，加深對(duì)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解. 北京市三帆中學(xué) 陳立雪
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