語(yǔ)文版中職數(shù)學(xué)拓展模塊62等差數(shù)列的性質(zhì)1-資料下載頁(yè)
2024-11-17 23:26本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的，通常用字母d表示，即＝d(n∈N＋，＝pn＋q，其中p＝_________，q＝_________，且公差分別為，，.S偶－S奇＝nd，解：由等差數(shù)列的性質(zhì)知a2，a4，a6成等差數(shù)列，所以a2＋a6＝2a4，所以a6＝2a4－a2＝0.故選B.已知等差數(shù)列{an}中，a2＝7，項(xiàng)是4，－1，－6時(shí)，結(jié)論不成立；{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.和為Sn，若對(duì)于所有的正整數(shù)n，
【正文】 S12得 5 a1＋ 10 d ＝ 12 a1＋ 66 d ，d ＝－18a1＜ 0. Sn＝ na1＋n （ n － 1 ）2d ＝ na1＋n （ n － 1 ）2??????－18a1 ＝－116a1( n2－ 17 n ) ＝－116a1??????n －1722＋28964a1， ∵ a1＞ 0 ， n ∈ N*， ∴ 當(dāng) n ＝ 8 或 9 時(shí) ， Sn有最大值 ． 解法三： 由解法二得 d ＝－18a1＜ 0. 設(shè)此數(shù)列的前 n 項(xiàng)和最大 ， 則??? a n ≥ 0 ，an ＋ 1≤ 0 ， 即????? an＝ a1＋（ n － 1 ） ??????－18a1 ≥ 0 ，an ＋ 1＝ a1＋ n ??????－18a1 ≤ 0 ， 解得??? n ≤ 9 ，n ≥ 8 ， 即 8 ≤ n ≤ 9 ， 又 n ∈ N*， ∴ 當(dāng) n ＝ 8 或 9 時(shí) ， Sn有最大值 ． 解法四： 由解法二得 d ＝－18a 1 ＜ 0 ， 又 S 5 ＝ S 12 得 a 6 ＋ a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 ＋ a 10 ＋ a 11 ＋ a 12＝ 0 ， ∴ 7 a 9 ＝ 0 ， ∴ a 9 ＝ 0. ∴ 當(dāng) n ＝ 8 或 9 時(shí) ， S n 有最大值 ． 【點(diǎn)撥】 求等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值 ， 常用的方法： ( 1 ) 利用等差數(shù)列的單調(diào)性 ， 求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)； ( 2 ) 利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng) ， 便可求得和的最值； ( 3 ) 將等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 S n ＝ An2＋ Bn ( A ， B 為常數(shù) ) 看作二次函數(shù) ， 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值 ． ( 1) ( 2020 洛陽(yáng)統(tǒng)考 ) 設(shè)等差數(shù)列{ a n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ， 且 a 1 ＞ 0 ， a 3 ＋ a 10 ＞ 0 ，a 6 a 7 ＜ 0 ， 則滿足 S n ＞ 0 的最大自然數(shù) n 的值為( ) A ． 6 B ． 7 C ． 12 D ． 13 解： ∵ a 1 ＞ 0 ， a 6 a 7 ＜ 0 ， ∴ a 6 ＞ 0 ， a 7 ＜ 0 ， 等差數(shù)列的公差小于零 ， 又 a 3 ＋ a 10 ＝ a 1 ＋ a 12 ＞ 0 ，a 1 ＋ a 13 ＝ 2 a 7 ＜ 0 ， 又 ∵ S n ＝n （ a 1 ＋ a n ）2， ∴ S 12 ＞ 0 ， S 13 ＜ 0 ， ∴ 滿足 S n ＞ 0 的最大自然數(shù) n的值為 12. 故選 C . ( 2 ) 設(shè) 等差數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ，若 a 1 0 ， S 2 015 ＝ 0. ① 求 S n 的最小值及此時(shí) n 的值； ② 求 n 的取值集合 ， 使 a n ≥ S n . 解： ① 設(shè)公差為 d ， 則由 S2 0 1 5＝ 0 得 2 015 a1＋2 015 2 0142d ＝ 0 ， 得 a1＋ 1 007 d ＝ 0 ， d ＝－11 007a1， a1＋ an＝2 015 － n1 007a1， ∴ Sn＝n2( a1＋ an) ＝n22 015 － n1 007a1＝a12 014( 2 015 n － n2) ． ∵ a10 ， n ∈ N*， ∴ 當(dāng) n ＝ 1 007 或 1 008 時(shí) ， Sn取最小值 50 4 a1. ② an＝1 008 － n1 007a1， Sn≤ an?a12 014( 2 015 n － n2) ≤1 008 － n1 007a1. ∵ a10 ， ∴ n2－ 2 017 n ＋ 2 016 ≤ 0 ， 即 ( n － 1 )( n － 2 01 6 ) ≤ 0 ， 解得 1 ≤ n ≤ 2 016. 故所求 n 的取值集合為 { n |1 ≤ n ≤ 2 016 ， n ∈ N*} ． 1 ． 等差數(shù)列中 ， 已知 5 個(gè)元素 a1， an， n ， d ， Sn中的任意三個(gè) ， 便可求出其余兩個(gè) ． 除已知 a1， d ， n 求 an，Sn可以直接用公式外 ， 其他情況一般都要列 方程或方程組求解 ， 因此這種問(wèn)題蘊(yùn)含著方程思想 ． 注意 ， 我們把a(bǔ)1， d 叫做等差數(shù)列的基本元素 ． 將所有其他元素都轉(zhuǎn)化成基本元素是解決等差數(shù)列問(wèn)題的一個(gè)非常重要的基本思想 ． 2 ． 求等差數(shù)列 { an} 前 n 項(xiàng)的絕對(duì)值 {| an|} 之和 ， 首先應(yīng)分清這個(gè)數(shù)列哪些項(xiàng)是負(fù)的 ， 哪些項(xiàng)是非負(fù)的 ， 然后再分段求和 ． 3 ． 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值通常是在正負(fù)項(xiàng)分界的位置產(chǎn)生 ， 利用這一性質(zhì)可求其最值；另一種方法是利用二次函數(shù)的性質(zhì)． 4 ． 靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì) ( 如等差中項(xiàng)的性質(zhì) ) ， 可簡(jiǎn)化運(yùn)算． 5 ． 等差數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和滿足：??????????Snn也是等差數(shù)列 ， 且首項(xiàng)與 { an} 的首項(xiàng)相同 ， 公差為 { an} 公差的一半． 6 ． 數(shù)列 { an} 是等差數(shù)列的充要條件是 Sn＝ An2＋ Bn ( A ， B 是常數(shù) ， n ∈ N*) ．
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