語文版中職數(shù)學(xué)拓展模塊62等差數(shù)列的性質(zhì)1(存儲版)
【正文】 016. 故所求 n 的取值集合為 { n |1 ≤ n ≤ 2 016 ， n ∈ N*} ． 1 ． 等差數(shù)列中 ， 已知 5 個(gè)元素 a1， an， n ， d ， Sn中的任意三個(gè) ， 便可求出其余兩個(gè) ． 除已知 a1， d ， n 求 an，Sn可以直接用公式外 ， 其他情況一般都要列 方程或方程組求解 ， 因此這種問題蘊(yùn)含著方程思想 ． 注意 ， 我們把a(bǔ)1， d 叫做等差數(shù)列的基本元素 ． 將所有其他元素都轉(zhuǎn)化成基本元素是解決等差數(shù)列問題的一個(gè)非常重要的基本思想 ． 2 ． 求等差數(shù)列 { an} 前 n 項(xiàng)的絕對值 {| an|} 之和 ， 首先應(yīng)分清這個(gè)數(shù)列哪些項(xiàng)是負(fù)的 ， 哪些項(xiàng)是非負(fù)的 ， 然后再分段求和 ． 3 ． 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值通常是在正負(fù)項(xiàng)分界的位置產(chǎn)生 ， 利用這一性質(zhì)可求其最值；另一種方法是利用二次函數(shù)的性質(zhì)． 4 ． 靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì) ( 如等差中項(xiàng)的性質(zhì) ) ， 可簡化運(yùn)算． 5 ． 等差數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和滿足：??????????Snn也是等差數(shù)列 ， 且首項(xiàng)與 { an} 的首項(xiàng)相同 ， 公差為 { an} 公差的一半． 6 ． 數(shù)列 { an} 是等差數(shù)列的充要條件是 Sn＝ An2＋ Bn ( A ， B 是常數(shù) ， n ∈ N*) ． 。 a2 北京 ) 設(shè) { an} 是等差數(shù)列 ， 下列結(jié)論中正確的是 ( ) A ． 若 a1＋ a20 ， 則 a2＋ a30 B ． 若 a1＋ a30 ， 則 a1＋ a20 C ． 若 0 a1 a2， 則 a2 a1a3 D ． 若 a10 ， 則 ( a2－ a1)( a2－ a3) 0 解： 選項(xiàng) A 中 ， 當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的前三項(xiàng)是 4 ， 1 ， － 2 時(shí) ， 結(jié)論不成立；選項(xiàng) B 中 ， 當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的前三項(xiàng)是 4 ， － 1 ， － 6 時(shí) ， 結(jié)論不成立；選項(xiàng) C 中 ， 設(shè)公差為 d ( d ≠ 0 ) ， 則a22 a22－ d2＝ ( a2－ d )( a2＋ d ) ＝ a1 重慶 ) 在等差數(shù)列 { a n }中 ， 若 a 2 ＝ 4 ， a 4 ＝ 2 ， 則 a 6 ＝ ( ) A ． － 1 B ． 0 C ． 1 D ． 6 解： 由等差數(shù)列的性質(zhì)知 a 2 ， a 4 ，a 6 成等差數(shù)列 ， 所以 a 2 ＋ a 6 ＝ 2 a 4 ，所以 a 6 ＝ 2 a 4 － a 2 ＝ 0. 故選 B . 已知等差數(shù)列 { a n } 中 ， a 2 ＝ 7 ， a 4 ＝ 15 ， 則其前 10 項(xiàng)的和為 ( ) A ． 1 0 0 B ． 2 1 0 C ． 380 D ． 4 0 0 解： 在等差數(shù)列 { a n } 中 ， ∵ a 2 ＝ 7 ，a 4 ＝ 15 ， ∴ d ＝a 4 － a 22＝ 4 ， a 1 ＝ a 2 － d ＝ 3 ，∴ S 10 ＝ 10 3 ＋10 92 4 ＝ 210. 故選 B . ( 2 0 1 5 3 ＝32n2－132n . ( 3 ) 設(shè)數(shù)列的前三項(xiàng)分別為 a2－ d ， a2， a2＋ d ， 依題意有： ???（ a2－ d ）＋ a2＋（ a2＋ d ）＝ 12 ，（ a2－ d ） 洛陽統(tǒng)考 ) 設(shè)等差數(shù)列{ a n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ， 且 a 1 ＞ 0 ， a 3 ＋ a 10 ＞ 0 ，a 6 a 7 ＜ 0 ， 則滿足 S n ＞ 0 的最大自然數(shù) n 的值為( ) A ． 6 B ． 7 C ． 12 D ． 13 解： ∵ a 1 ＞ 0 ， a 6 a 7 ＜ 0 ， ∴ a 6 ＞ 0 ， a 7 ＜ 0 ， 等差數(shù)列的公差小于零 ， 又 a 3 ＋ a 10 ＝ a 1 ＋ a 12 ＞ 0 ，a 1 ＋ a 13 ＝ 2 a 7 ＜ 0 ， 又 ∵ S n ＝n （ a 1 ＋ a n ）2， ∴ S 12 ＞ 0 ， S 13 ＜ 0 ， ∴ 滿足 S n ＞ 0 的最大自然數(shù) n的值為 12. 故選 C . ( 2 ) 設(shè) 等差數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ，若 a 1 0 ， S 2 015 ＝ 0. ① 求 S n 的最小值及此時(shí) n 的值； ② 求 n 的取值集合 ， 使 a n ≥ S n . 解： ① 設(shè)公差為 d ， 則由 S2 0 1 5＝ 0 得 2 015 a1＋2 015 2 0142d ＝ 0 ， 得 a1＋ 1 007 d ＝ 0 ， d ＝－11 007a1， a1＋ an＝2 015 － n1 007a1， ∴ Sn＝n2( a1＋ an) ＝n2 d ＝ 2 k ＋k （ k － 1 ）2 2 ＝ k2＋ k . 由 Sk＝ 1 10 ， 得 k2＋ k － 1 10 ＝ 0 ， 解得 k ＝ 10 或 k ＝－ 11 ( 舍去 ) ， 故 a ＝ 2 ， k ＝ 10. ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 得 Sn＝n （ 2 ＋ 2 n ）2＝ n ( n ＋ 1 ) ， 則 bn＝Snn＝ n ＋ 1 ， 故 bn ＋ 1－ bn＝ ( n ＋ 2 ) － ( n ＋ 1 ) ＝ 1 ， 即數(shù)列 { bn} 是 2 為首項(xiàng) ， 1 為公差的等差數(shù)列 ， bn＝ n ＋ 1
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