語文版中職數(shù)學拓展模塊62等差數(shù)列的性質4(存儲版)
【正文】 a4＋ a8. 解 (1) 法一 根據(jù)等差數(shù)列性質 a 2 ＋ a 10 ＝ a 4 ＋ a 8 ＝ 2 a 6 . 由 a 2 ＋ a 6 ＋ a 10 ＝ 1 ，得 3 a 6 ＝ 1 ，解得 a 6 ＝13， ∴ a 4 ＋ a 8 ＝ 2 a 6 ＝23. 法二 根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得 a 2 ＋ a 6 ＋ a 10 ＝ ( a 1 ＋ d ) ＋ ( a 1 ＋ 5 d ) ＋ ( a 1 ＋ 9 d ) ＝ 3 a 1 ＋ 15 d . 由題意知， 3 a 1 ＋ 15 d ＝ 1 ，即 a 1 ＋ 5 d ＝13. ∴ a 4 ＋ a 8 ＝ 2 a 1 ＋ 10 d ＝ 2( a 1 ＋ 5 d ) ＝23. (2){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，設公差為 d， ∵ a1＋ a3＝2a2， ∴ a1＋ a2＋ a3＝ 15＝ 3a2， ∴ a2＝ 5， 又 a1a2a3＝ 80， ∴ a1a3＝ (5－ d)(5＋ d)＝ 16?d＝ 3或 d＝－ 3(舍去 )， ∴ a12＝ a2＋ 10d＝ 35， a11＋ a12＋ a13＝ 3a12＝ 105. 法一運用了等差數(shù)列 {an}的性質：若 m＋ n＝ p＋q＝ 2w，則 am＋ an＝ ap＋ aq＝ 2aw(m， n， p， q， w都是正整數(shù) )；法二利用通項公式轉化為數(shù)列的首項與公差的結構完成運算屬于通性通法．兩種方法都運用了整體代換與方程的思想． 在等差數(shù)列 {an}中： (1)若 a3＝ 5，則 a1＋ 2a4＝ ________； (2)若 a15＝ 8， a60＝ 20，則 a75＝ ________. 解析 (1)a1＋ 2a4＝ a1＋ (a3＋ a5)＝ (a1＋ a5)＋ a3＝ 2a3＋ a3＝3a3＝ 15. (2)法一 設首項為 a1，公差為 d. ∵ a15＝ 8， a60＝ 20， 【 變式 1】 ????? a 1 ＋ 14 d ＝ 8 ，a 1 ＋ 59 d ＝ 20 ，解得????? a 1 ＝6415，d ＝415. 故 a 75 ＝ a 1 ＋ 74 d ＝6415＋ 74 415＝ 24. 法三 ∵ {an}為等差數(shù)列， ∴ a15， a30， a45， a60， a75成等差數(shù)列，設公差為 d， 則 a15為首項， a60為第 4項． ∴ a60＝ a15＋ 3d，即 20＝ 8＋ 3d， ∴ d＝ 4. 從而 a75＝ a60＋ d＝ 20＋ 4＝ 24. 答案 (1)15 (2)24 法二 ∵ a 60 ＝ a 15 ＋ ( 60 － 15 ) d ∴ d ＝20 － 860 － 15＝415， ∴ a 75 ＝ a 60 ＋ ( 75 － 60 ) d ＝ 20 ＋ 15 415＝ 24. (1)三個數(shù)成等差數(shù)列，和為 6，積為－ 24，求這三個數(shù)； (2)四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為 2，首末兩項的積為－ 8，求這四個數(shù)． [思路探索 ] (1)根據(jù)三個數(shù)成等差數(shù)列，可設這三個數(shù)為 a－ d， a， a＋ d(d為公差 )； (2)四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，且中間兩數(shù)的和已知，可設為 a－ 3d， a－ d， a＋ d， a＋ 3d(公差為 2d)． 題型 二 等差數(shù)列的設法與求解 【 例 2】 解 (1)法一 設等差數(shù)列的等差中項為 a，公差為 d， 則這三個數(shù)分別為 a－ d， a， a＋ d. 依題意， 3a＝ 6且 a(a－ d)(a＋
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