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2025-08-16 02:27本頁面
【正文】 f{使得,量則存在非零向,中兩個(gè)非空凸集是和設(shè)212121SxxpSxxppSSRSSTTn???? ??證明： },|{令2)2(1)1()1()2( SxSxxxzzS ?????.0是非空凸集，且 SS ?.0有,使得對(duì),非零向量 ???? zpSzp T3. 凸集分離定理的應(yīng)用 Farkas定理 無解。的充要條件是有解且則維向量為矩陣為設(shè)0,00,A?????ycyAxcAxnmTT必要性反正法，充分性凸集分離定理 Gordan定理 A , 00 , 0Tm n A xy A y????設(shè) 為 矩 陣 則 有 解 的 充 要 條 件是 不 存 在 非 零 向 量 使 。 設(shè) RRXf n ??: ， 任取 Xxx ?21 , ， 如果 1,0, 2 121 ??? ??i iaaa ， 有 )()())(( 22112211 xfaxfaxaxaf ????， 則稱 f 為 X上的（嚴(yán)格） 凸函數(shù)。 例子： 2)( xxf ?凹函數(shù)？ 水平集 ： fXxxfxD ,)(|{ ??? ?? 是凸函數(shù) }。 性質(zhì)：凸函數(shù)的水平集一定是凸集。 Rxxxf ?? |,|)(3. 凸函數(shù)的性質(zhì) 定理 5. 凸函數(shù)的局部極小點(diǎn)就是全局極小點(diǎn)。 證明 : )()(),(,0)(xfxfxNxxfx????，有使得的局部極小點(diǎn)，則是凸函數(shù)設(shè)??的凸性。)(利用,的全局極小點(diǎn))(也是反證法證 xfxfx4. 凸函數(shù)的判斷條件 定理 6. 可微，)( xf 則它 是凸集 X上的凸函數(shù)的充要條件是 有, 21 Xxx ??)()()()( 12112 xxxfxfxf T ???? . 證明： )()1()())1(()(1212 xfxfxxfxf???? ?????的凸性，有由))()(()())1(( 12112 xfxfxfxxf ????? ???即得必要性令 ,0 ???定理 )(xf 在開凸集 X上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 )(xf 是凸 函數(shù)的充要條件是 Xx?? ，有 )(2 xf? 半正定。 例：正定二次函數(shù) cxbAxxxf TT ??? 21)( ，其中 A是正定矩陣。 例： 3123222121 622)( xxxxxxxxf ?????證明： .],[,0,XxxXXxx????????????時(shí)，有使得是開集，必存在由于xxfxfxxf T)()()( ???? ??則有不等式左端二次泰勒展開即得。 5. 凸規(guī)劃 （ 1） Dxtsxf?..)(m in其中 )(xf 是凸函數(shù)， D 是凸集。 （ 2） )(m in xf?????????????0)(0)(0)(0)(..11xhxhxgxgtskl??其中 )(,)( xgxf i 是凸函數(shù)， )(xhj 是線性函數(shù)。 凸規(guī)劃的局部極小點(diǎn)就是全局極小點(diǎn) . P24— P25 3. 5. 15
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