勾股定理(20xx10)-資料下載頁
2025-08-16 01:51本頁面
【正文】 (3)求證： m2－ n2， m2＋ n2， 2mn ? (m＞ n， m， n是正整數(shù) )是直角三角形的三條邊長． ? 解： (1)因?yàn)?152＋ 82＝ 225＋ 64=289， ? 172＝ 289， ? 所以 152＋ 82＝ 172，這個三角形是直角三角形． ? (2)因?yàn)?132＋ 142＝ 169＋ 196＝ 365 ? 152＝ 225 ? 所以 132＋ 142≠152．這個三角形不是直角三角形． ? (3)證明： m＞ n、 m、 n是正整數(shù) ? (m2－ n2)＋ (m2＋ n2)＝ 2m2＞ 2mn， ? 即 (m2－ n2)＋ (m2＋ n2)＞ 2mn ? 又因?yàn)?(m2－ n2)＋ 2mn＝ m2＋ n(2m－ n)， ? 而 2m－ n＝ m＋ (m－ n)＞ 0， ? 所以 (m2－ n2)＋ 2mn＞ m2＋ n2 ? 這三條線段能組成三角形． ? 又因?yàn)?(m2－ n2)2＝ m4＋ n4－ 2m2n2 ? (m2＋ n2)2＝ m4＋ n4＋ 2m2n2 ? (2mn)2＝ 4m2n2， ? ? 所以 (m2－ n2)2＋ (2mn)2 ? ＝ m4＋ n4－ 2m2n2＋ 4m2n2 ? ＝ m4＋ n4＋ 2m2n2 ? ＝ (m2＋ n2)2 ? 所以，此三角形是直角三角形，m2－ n 2mn、 m2＋ n2(m＞ n、m、 n是正整數(shù) )這三邊是直角三角形的三邊． ? 分析： ? 我們不難發(fā)現(xiàn) m2－ n m2＋ n 2mn也是一組勾股數(shù)，而且這組勾股數(shù)由于 m可取值的不同會得到不同的勾股數(shù)， ? 例如 m＝ 2， n＝ 1時， m2－ n2＝ 22－ 12＝ 3， m2＋ n2＝ 22＋ 12＝ 5， 2mn＝2 2 1＝ 4，而 5就是一組勾股數(shù)． ? 你還能找到不同的勾股數(shù)嗎 ? ? 17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也研究了勾股數(shù)組的問題，并且在這個問題的啟發(fā)下，想到了一個更一般的問題， 1637年，他提出了數(shù)學(xué)史上的一個著名猜想 ——費(fèi)馬大定理，即當(dāng) n＞ 2時，找不到任何的正整數(shù)組，使等式xn＋ yn＝ zn成立，費(fèi)馬大定理公布以后，引起了各國優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的關(guān)注，他們圍繞著這個定理頑強(qiáng)地探索著，試圖來證明它． 1995年，英籍?dāng)?shù)學(xué)家懷爾斯終于證明了費(fèi)馬大定理，解開了這個困惑世間無數(shù)智者300多年的謎． ? 活動 3： ? 問題： [例 2]“遠(yuǎn)航”號，“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行 16海里，“海天”號每小時航行 12海里，它們離開港口一個半小時后相距 30海里，如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎 ? ? 練一練 ? 問題 1： A、 B、 C三地兩兩距離如下圖所示， A地在 B地的正東方向， C地在B地的什么方向 ? ? 問題 2:如下圖，在正方形 ABCD中． E是 BC的中點(diǎn)， F為 CD上一點(diǎn)， ? 且 CF＝ CD． ? 求證：△ AEF是直角三角形 41
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