【正文】 ????1)( ???? kk uvpIA),0(000 ??? jvu ?且 ,2,1 時(shí)當(dāng) ??k11)( ???? kk upIAv 線性方程組 ()取初始向量 )m a x ( kk v??kkk vu ?/????0)( vPIAv kk ??)(0 ??? k當(dāng)||1||1pp ij ???? ?? 1|||| ?????ppij??),2,1( jini ?? ?第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 )m ax ( kkk vvu ?][)1m a x (][)1(kjjkjkjjkjxpxp???????????)m ax ( kjjkjjxx???????))m a x ( ()(0)1(0vPIAvPIAvkkk ??????][)1m a x (][)1(1kjjkjkjjkjxpxp????????????)m ax (11?????? kjjkjjj xxp ?????于是 )m a x ( kk v??()m a x ( )jjx kx? ? ?)(1 ???? kpj?)m ax ()m ax (11?????? kjjkjjj xxp ?????第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 結(jié)論 定理 4（ 1)設(shè) 有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量 ,即 nnRA ??,iii xAx ??)。()m ax()( ?? ?kjjk xxua當(dāng)且收斂速度由比值 確定 。 ||m i n||pprijij??????。),1( ni ?? （ 2）取 （為特征值 的一個(gè)近似值），設(shè) (ApI)1存在 jp ?~?j?}{},{ kk vu序列 滿足： 且 ,則由反冪法迭代公式（ ）構(gòu)造向量 )(|||| ijppij ????? ??),1( ) m a x ( ) (kkjkbv p? ? ?? ? ?? 當(dāng) )(1 ??? ?kjkp 當(dāng)或 ??第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 ??? ? ? 1kk PuLy值的大體位置時(shí)，用此法最合適（該方法是一個(gè)有效的方法）。 說(shuō)明 : (1)定理 4可以計(jì)算特征向量 xj。當(dāng)知道 A的某一個(gè)特征 （ 2）取 為特征值 的一個(gè)近似值 ,當(dāng) A的特征值分離情 jp ?~?j?反冪法迭代公式可通過(guò)解方程組 (ApI)vk=uk1來(lái)求 vk。為了節(jié) 況較好時(shí) , r 很小 ,則它本身收斂速度很快。同時(shí)改進(jìn)了特征值。 省計(jì)算量，可 先 將 (ApI)進(jìn)行 三角分解 P(ApI)=LU。其中 P為置 換陣，于是每次迭代求 vk相當(dāng)于求解兩個(gè)三角形方程組。 kk yUv ?取 v0=u0,即選 u0使 Uv1=L1Pu0=(1,?,1) T,回代求解即求得 v1。 第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 小結(jié)：給定 的特征值 的一個(gè)近似值 p， 求 p對(duì)應(yīng)的特征向量 (近似 )的步驟： nnRA ??j?jx第一步：將 (ApI)進(jìn)行 三角分解 (ApI)=LU， (或 P(ApI)=LU，其中 P為排列陣）． 第二步：由 Uv1=(1,1,… ,1)T， 解方程組求得 v1,u1， 其中 111m a x ( )vuv?第三步：由 LUv2=Pu1（或 LUv2=Pu1 ） ,解方程組求得 v2,u2， 其中 222m a x ( )vuv?1: , .m a x { }jk kpuv? ??第 四 步 對(duì) 應(yīng) 的 特 征 向 量 為第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 例 用反冪法求下列矩陣的接近于 p= (精確特征值 ),5()333 位浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算用及其特征向量???。???????????410131012A分解為解將用列選主遠(yuǎn)元的三角分解 pIA ?:,)( LUpIAP ??其中 。ULP???????????????????????????????????? 3102 9 4 0 7 3 2 17 3 2 ,12 6 8 0 3 2 010001,001100010第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 得由 TUv )1,1,1(1 ?1111( 1 2 6 9 2 9 2 9 0 .3 3 4 0 0 .8( 1 2 6 9 2 9 2 9 0 .3 3 4 0 0 .8 ( 1 , 0 .7 3 1 9 8 , 0 .2 6 7 9 5 )m a x { } 1 2 6 9 2TTTvvuv???? ? ? ?， ， ） ， ， ） 。得由 12 PuLU v ?。TTuv)2 6 7 9 ,7 3 2 0 ,1(,) 4 6 7,1 4 9 3 7,2 0 4 0 4(22????3 ( 3 3 1 . 2 6 7 9 4 9 1 9 2 )? ??由 此 可 得 特 征 值 的 近 似 值11 . 2 6 7 9 1 . 2 6 7 9 4 9 0 120404?? 。對(duì)應(yīng)的特征向量是3?。TTx )2 6 7 9 ,7 3 2 0 ,1()32,31,1(3 ?????的相當(dāng)好的近似。是由此可見(jiàn) 32, xu第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 例 下列矩陣 A的主特征值接近于 p=，用反冪法求更精確的主特征值及其特征向量（計(jì)算兩步即可）． 1 2 12 4 11 1 6A????????? ???。: A p I?解 用 杜 里 特 三 角 分 解 將 分 解 為,A pI LU??其中 1 0 00 .3 6 9 0 0 3 6 9 0 0 1 0 ,0 .1 8 4 5 0 1 8 4 5 0 0 .3 7 5 1 4 8 0 8 4 8 15 .4 2 2 10 1 .6 7 1 9 9 2 6 2 0 0 .6 3 0 9 9 6 3 1 0 00 0 0 .0 0 1 2 1 8 9 0 2 1 9 6LU???????????????第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 1 ( 1 , 1 , 1 ) TUv ?解 線 性 方 程 組 , 得1111(3707620933 1 , 308. 3699115 , 820. 4103687(0 . 0 0 4 6 0 2 8 2 9 8 4 6 , 0 . 3 7 5 8 7 2 7 6 2 3 , 1 )m a x { }TTvvuv????） ，,12,Ly u U v y??由 得22( 4 3 . 2 7 7 0 4 3 1 4 6 , 3 5 1 . 6 1 3 4 3 8 5 , 9 3 7 . 8 3 4 4 8 0 8 ) ,( 0 . 0 4 6 1 4 5 7 1 5 8 4 , 0 . 3 7 4 9 2 0 5 7 0 4 , 1 ) ,TTvu??? ? ?1?由 此 可 得 特 征 值 的 近 似 值16 . 4 2 6 . 4 2 1 0 6 6 2 8 69 3 7 . 8 3 4 4 8 0 8? ? ? ??1? 對(duì) 應(yīng) 的 特 征 向 量 是12 ( , , 1 ) Txu ? ? ? ?第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 ( 0 )2 1 00 2 10 1 2( 0, 0, 1 ) . 1 0 3 0 3 10 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0.0 1 / 3 1 TAAyAIAI??????????? ???????????? ? ? ????? ??????????????????， 用 反 冪 法 求 矩 陣 接 近 2. 93的特 征 值 ， 并 求 相 應(yīng) 的 特 征 向 量 ， 取對(duì) 作 三 角：分 解 得例解 ：493 10 0 1 / 3 095 4, 3 10( 1 , 243 1 , 147 8 ) ( 1 , 1 , 1 ) .TTxr??????????? ????????－按 算 法 迭 代 次 ， 與 準(zhǔn) 確 值 的 誤 差 小 于 ，與 準(zhǔn) 確 值 比 較 ， 殘 差