【正文】 非線性函數(shù)的合理性。為了進(jìn)一步說明并驗(yàn)證非線性PID控制器的比例增益參數(shù)、積分增益參數(shù)、微分增益參數(shù)隨誤差變化的自適應(yīng)性和抗干擾性，下面我們將針對(duì)上文中所列舉的幾種擾動(dòng)情況分別做仿真實(shí)驗(yàn)并進(jìn)行相應(yīng)的分析。（1）系統(tǒng)有初始擺角的擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)。對(duì)吊車系統(tǒng)施加初始擺角擾動(dòng)，擾動(dòng)量的大小為即，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)后，可以得到誤差信號(hào)及，隨時(shí)間的變化曲線如圖32圖326所示。圖325 施加初始擺角擾動(dòng)時(shí)位置PID誤差及，隨時(shí)間的變化曲線圖326 施加初始擺角擾動(dòng)時(shí)擺角PID誤差及，隨時(shí)間的變化曲線（2）吊物質(zhì)量變化的擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)。對(duì)吊車系統(tǒng)施加重物質(zhì)量變化的擾動(dòng)，擾動(dòng)量的大小為，即此時(shí)重物的質(zhì)量為，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)后，可以得到誤差信號(hào)及，隨時(shí)間的變化曲線如圖32圖328所示。圖327 吊重質(zhì)量改變時(shí)位置PID誤差及，隨時(shí)間的變化曲線圖328 吊重質(zhì)量改變時(shí)擺角PID誤差及，隨時(shí)間的變化曲線（3）改變擺長的擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)。對(duì)吊車系統(tǒng)施加擺長變化的擾動(dòng)，擾動(dòng)量的大小為，即此時(shí)的擺長為，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)后，可以得到誤差信號(hào)及，隨時(shí)間的變化曲線如圖32圖330所示。圖329 擺長改變時(shí)位置PID誤差及，隨時(shí)間的變化曲線圖330 擺長改變時(shí)擺角PID誤差及，隨時(shí)間的變化曲線對(duì)于上述三種干擾實(shí)驗(yàn)，用于控制吊車系統(tǒng)的位置非線性PID控制器的誤差及，隨時(shí)間的變化曲線和擺角非線性PID控制器的誤差及，隨時(shí)間的變化曲線的相應(yīng)規(guī)律與上文中的分析一致，這里不再贅言。僅對(duì)施加初始擺角擾動(dòng)時(shí)擺角非線性PID控制器的誤差信號(hào)隨時(shí)間的變化曲線做一下說明。從圖326可以明顯看出，誤差信號(hào)的終值不為0，（）。這是容易理解的。因?yàn)榭紤]到實(shí)際中的風(fēng)力擾動(dòng)等因素不可能在短時(shí)間內(nèi)停止作用，所以在仿真時(shí)我們所施加的初始擺角擾動(dòng)為階躍信號(hào)，（），當(dāng)擺角穩(wěn)定時(shí)，（），而不是0。 數(shù)字PID控制器的設(shè)計(jì)PID控制器（按閉環(huán)系統(tǒng)誤差的比例、積分和微分進(jìn)行控制的調(diào)節(jié)器）自20世紀(jì)30年代末期出現(xiàn)以來，在工業(yè)控制領(lǐng)域得到了很大的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用。它的結(jié)構(gòu)簡單，參數(shù)易于調(diào)整，在長期應(yīng)用中已積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)。特別是在工業(yè)過程控制中，由于被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型難以建立，系統(tǒng)的參數(shù)經(jīng)常發(fā)生變化，運(yùn)用控制理論分析綜合不僅要付出很大的代價(jià)，而且難以得到預(yù)期的控制效果。在應(yīng)用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)控制的系統(tǒng)中，PID控制很容易通過計(jì)算機(jī)語言編寫相應(yīng)的程序來實(shí)現(xiàn)。由于軟件系統(tǒng)的靈活性，PID控制算法可以得到修正和完善，從而使數(shù)字PID控制具有很大的靈活性和適用性。實(shí)現(xiàn)PID控制的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)如圖331所示，其中數(shù)字PID控制器是由軟件編程在計(jì)算機(jī)內(nèi)部實(shí)現(xiàn)的。圖331 實(shí)現(xiàn)PID控制的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)考慮到實(shí)際中用計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)對(duì)橋式吊車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的控制，所以我們?cè)谇懊娼榻B的常規(guī)PID控制器的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了數(shù)字PID控制器，并把它作為橋式吊車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的防擺控制器，然后采用增量型PID控制算法進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)，達(dá)到了較好的控制效果，下面將對(duì)此進(jìn)行必要的介紹。 PID控制規(guī)律的離散化在連續(xù)控制系統(tǒng)中，理想PID的控制規(guī)律已由式（311）給出，為敘述方便，現(xiàn)重寫如下： （311） 式中，為比例系數(shù)，為積分時(shí)間常數(shù)，為微分時(shí)間常數(shù)。對(duì)式（311）進(jìn)行拉氏變換，求得傳遞函數(shù)為： （312）為了實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)控制生產(chǎn)過程變量，必須將模擬PID算式離散化，變?yōu)閿?shù)字PID算式。為此，在采樣周期遠(yuǎn)小于信號(hào)變化周期時(shí)，作如下近似（足夠小時(shí)，如下逼近相當(dāng)準(zhǔn)確，被控過程與連續(xù)系統(tǒng)十分接近）：令為采樣周期，我們以一系列采樣時(shí)刻點(diǎn)代替連續(xù)時(shí)間，用求和代替積分，用后項(xiàng)差分代替微分，并令，得到相應(yīng)的近似差分方程： （313）式中，為采樣周期。根據(jù)式（311）和式（313）的控制器輸出形式，可以得到不同的控制算式。 （1）位置型PID控制算法由式（313）可知，第次采樣計(jì)算機(jī)的輸出值為： （314） 式中，為采樣序號(hào)，；為第次采樣測(cè)得的偏差值；為第次采樣測(cè)得的偏差值；為PID控制器第次輸出值；為比例系數(shù)；為積分系數(shù)；為微分系數(shù)。為了書寫方便，將簡化為，即省去了。由于控制器輸出的直接去控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)（如閥門），的值和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置（如閥門開度）是一一對(duì)應(yīng)的，所以，我們通常稱式（314）為位置型PID控制算法。圖332給出了位置型PID控制算法的程序框圖。圖332 位置型PID控制算法程序框圖位置型PID控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖333所示。由于計(jì)算機(jī)輸出的與執(zhí)行機(jī)構(gòu)的實(shí)際位置一一對(duì)應(yīng)，一旦計(jì)算機(jī)出現(xiàn)故障，的大幅度變化會(huì)引起執(zhí)行機(jī)構(gòu)位置的大幅度變化，這種情況往往是生產(chǎn)中不允許出現(xiàn)的。在某些場合，還可能造成重大的生產(chǎn)事故。此外，位置型PID的輸出不僅與本次偏差有關(guān)，而且與歷次測(cè)量偏差值都有關(guān)，計(jì)算時(shí)要對(duì)累加，計(jì)算機(jī)運(yùn)算工作量大。為了客服上述位置型PID的不足，人們提出了一種增量型PID控制算法。圖333 位置型PID控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖 （2）增量型PID控制算法由式（314）可得時(shí)刻的控制量為： （315）兩次采樣計(jì)算機(jī)輸出的增量為： （316）由于式（316）中為第次相對(duì)于第次的控制量的增量，故稱之為增量型PID控制算法。圖334給出了增量型PID控制算法的程序框圖。圖334 增量型PID控制算法程序框圖由式（316）可見，控制器的輸出僅與最近3次的偏差值有關(guān)。由于計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)采用恒定的采樣周期，這樣，在確定了、之后，根據(jù)最近3次的偏差值即可求出控制增量。采用增量型PID控制算法時(shí)，計(jì)算機(jī)輸出的控制增量對(duì)應(yīng)的是本次執(zhí)行機(jī)構(gòu)位置（如閥門開度）的增量，對(duì)應(yīng)閥門實(shí)際位置的控制量是通過累積歷次控制增量形式的，常用的累積元件有步進(jìn)電機(jī)等。若采用步進(jìn)電動(dòng)機(jī)，應(yīng)將變換成驅(qū)動(dòng)脈沖，驅(qū)動(dòng)步進(jìn)電機(jī)從歷史位置正傳或反轉(zhuǎn)若干度，實(shí)現(xiàn)的累積。增量型PID控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖335所示。圖335 增量型PID控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖增量型PID只是在算法上做了一點(diǎn)改進(jìn)，它與位置型PID并無本質(zhì)區(qū)別，但它與位置型PID算法相比，有以下優(yōu)點(diǎn)：1）計(jì)算機(jī)發(fā)生故障時(shí)，影響范圍小。由于它每次只輸出控制增量，即對(duì)應(yīng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)位置的變化量，輸出變化范圍不大（0～），所以，當(dāng)計(jì)算機(jī)發(fā)生故障時(shí)，不會(huì)嚴(yán)重影響生產(chǎn)過程。2）手動(dòng)自動(dòng)切換時(shí)沖擊小。由于它每次輸出的最大幅度為，所以當(dāng)控制從手動(dòng)切換到自動(dòng)時(shí)，可做到無擾動(dòng)，即可實(shí)現(xiàn)無擾動(dòng)切換。3）計(jì)算工作量小。算式中不需要累加，且只用到兩個(gè)歷史數(shù)據(jù)、。這兩個(gè)歷史數(shù)據(jù)也很容易獲得。通常采用平移法保存這兩個(gè)數(shù)據(jù)，即在計(jì)算完后，首先將存入單元，再將存入單元，這樣就為下一次計(jì)算做好了準(zhǔn)備。在實(shí)際應(yīng)用中，增量型PID控制算法由于具有上述優(yōu)點(diǎn)而比位置型PID控制算法用得更為廣泛一些。（3）實(shí)用遞推算式為了編程方便，也可將式（316）改寫為： （317）式中，；；。 從式（317）中已看不出比例、積分和微分作用，它反映了每次采樣偏差對(duì)控制作用的影響，又把它稱為偏差系數(shù)控制算式。實(shí)際作用還是PID的作用。當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)前沒有安排硬件累積元件時(shí)，我們也可以采用增量式算法，只是此時(shí)控制增量的累積改用軟件完成，算法如下： （318）式中，為上一次的控制量。 吊車系統(tǒng)數(shù)字PID的實(shí)現(xiàn)根據(jù)增量型PID控制算法的原理及其數(shù)學(xué)描述，利用MATLAB中的Simulink模塊搭建數(shù)字PID控制器的仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D336所示圖336 增量型PID控制算法實(shí)現(xiàn)的仿真實(shí)驗(yàn)框圖圖336中增量型PID控制算法實(shí)現(xiàn)的程序見附錄()。運(yùn)行仿真程序可得到如下結(jié)果：圖337 增量型PID控制時(shí)吊車系統(tǒng)的位置和擺角響應(yīng)曲線圖338 增量型PID控制時(shí)吊車系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出水平拉力的響應(yīng)曲線從圖337和圖338可以看出，采用增量型PID控制算法來實(shí)現(xiàn)對(duì)吊車系統(tǒng)的控制，也可以獲得令人滿意的控制效果。具體而言，吊車系統(tǒng)小車位置響應(yīng)曲線能夠穩(wěn)定在設(shè)定值上，各性能指標(biāo)的具體值為：超調(diào)量，延遲時(shí)間，上升時(shí)間，峰值時(shí)間，調(diào)節(jié)時(shí)間，穩(wěn)態(tài)無靜差即，重物的擺角達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間為5s左右，擺角的變化范圍為，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出值較小，能夠較好的完成實(shí)際生產(chǎn)和貨物吊運(yùn)過程中對(duì)吊車系統(tǒng)精確定位和快速消擺的要求。 本章小結(jié)PID控制策略由于具有不基于數(shù)學(xué)模型，運(yùn)算量相對(duì)較小且參數(shù)整定較為方便等特點(diǎn)，因而在實(shí)際中獲得了廣泛的應(yīng)用。本章在上文中已建立了橋式吊車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)際應(yīng)用中的不同需要分別設(shè)計(jì)了常規(guī)PID控制器、非線性PID控制器和數(shù)字PID控制器，并將它們用于吊車系統(tǒng)的防擺和定位控制，是本文的重點(diǎn)內(nèi)容之一。針對(duì)控制器設(shè)計(jì)過程中的仿真需要，我們對(duì)不同的控制器均在理想條件下進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)研究，另外，考慮到實(shí)際應(yīng)用中對(duì)橋式吊車系統(tǒng)的不同控制要求，我們也分別對(duì)不同的控制器施加了各種干擾以檢驗(yàn)控制器的控制效果和抗干擾性能。實(shí)驗(yàn)研究表明，經(jīng)典的PID控制由于參數(shù)調(diào)整方便，結(jié)構(gòu)簡單，占用機(jī)器運(yùn)算量小等特點(diǎn)，在實(shí)際擾動(dòng)不是很大時(shí)，可以用作吊車系統(tǒng)的防擺控制器。但是，如果橋式吊車本身系統(tǒng)參數(shù)變化劇烈，且周圍干擾量較大時(shí)，采用經(jīng)典的PID控制就很難實(shí)質(zhì)性的提高吊車系統(tǒng)的調(diào)運(yùn)效率。非線性PID控制策略由于不依賴于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，能夠根據(jù)被測(cè)量的變化而實(shí)時(shí)的改變自身的控制參數(shù)，因而它不但可以消除系統(tǒng)靜差，縮短系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，而且對(duì)吊車系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行中存在的各種干擾都有很強(qiáng)的適應(yīng)性，能夠較好的滿足實(shí)際生產(chǎn)和貨物吊運(yùn)過程中對(duì)吊車系統(tǒng)精確定位和快速消擺的要求。另外，本章還對(duì)非線性PID控制器的設(shè)計(jì)原理進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，研究結(jié)果表明：本文所采用的非線性PID設(shè)計(jì)方法和據(jù)此構(gòu)造出的非線性函數(shù)都是合理的、有效地，具有一定的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。最后，考慮到在目前的實(shí)際應(yīng)用中，往往采用計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)對(duì)吊車系統(tǒng)的控制，因此，我們介紹了數(shù)字PID的控制規(guī)律及三種數(shù)字PID控制算法，然后針對(duì)常規(guī)PID控制策略設(shè)計(jì)了數(shù)字PID控制器，用來作為橋式吊車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的防擺控制器，并采用增量型PID控制算法進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，達(dá)到了較好的控制效果，能夠完成實(shí)際生產(chǎn)和貨物吊運(yùn)過程中對(duì)吊車系統(tǒng)精確定位和快速消擺的要求。第4章 橋式吊車狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)從上文中描述吊車系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的非線性微分方程組可以看出，橋式吊車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合、變參數(shù)的復(fù)雜對(duì)象。本文為了應(yīng)用經(jīng)典控制理論對(duì)吊車系統(tǒng)進(jìn)行分析，同時(shí)也為了便于下文運(yùn)用最優(yōu)控制理論的相關(guān)原理設(shè)計(jì)最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器來用作吊車系統(tǒng)的防擺和定位控制，因此需要對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行線性化和簡化，找出反映系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的線性簡化模型，忽略對(duì)系統(tǒng)影響較小的高次部分，保留對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)起主要作用的低階線性部分，從而將其簡化為線性定常的系統(tǒng)模型。 系統(tǒng)模型的線性化及簡化本文采用切線法（又稱小偏差法）對(duì)描述橋式吊車系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行線性化，這種線性化方法特別適合于具有連續(xù)變化的非線性特性函數(shù)，其實(shí)質(zhì)是在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來代替，具體方法如下所述。設(shè)具有四個(gè)自變量的非線性函數(shù)為，取某平衡狀態(tài)為穩(wěn)定工作點(diǎn)，對(duì)應(yīng)有。當(dāng)時(shí)。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)可微，則將它在該點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開并略去二階以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)可得： （41）令，可得增量線性化方程為： （42）式中，；；；。這種小偏差線性化方法對(duì)于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的。事實(shí)上，自動(dòng)控制系統(tǒng)在正常情況下都處于一個(gè)穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即平衡狀態(tài)，這時(shí)候被控量與期望值保持一致，控制系統(tǒng)也不進(jìn)行控制動(dòng)作。一旦被控量偏離期望值產(chǎn)生偏差時(shí)，控制系統(tǒng)便開始控制動(dòng)作，以便減小或消除這個(gè)偏差，因此，控制系統(tǒng)中被控量的偏差不會(huì)太大，只是“小偏差”。在建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，通常是將系統(tǒng)的穩(wěn)定工作狀態(tài)作為起始狀態(tài)，僅僅研究小偏差的運(yùn)行情況，也就是只研究相對(duì)于平衡狀態(tài)下，系統(tǒng)輸入量和輸出量的運(yùn)動(dòng)特性，這正是增量線性化方程所描述的系統(tǒng)特性?？紤]到實(shí)際吊車在運(yùn)行過程中擺角較小（一般不超過），且平衡位置為，從而可以將式（212）表示的模型在處進(jìn)行線性化。對(duì)于式（212），不妨設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為，且記 （43） （44）取系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為，應(yīng)用上文所提到的小偏差線性化方法可以得到如下結(jié)果： （45） （46）略去增量符號(hào)，可以得到增量線性化方程為： （47） （48）取為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，為系統(tǒng)的輸出變量，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述方程為： （49）式中，，式（49）即為定擺長吊車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式模型。同理，也可將橋式吊車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)的形式?？紤]到實(shí)際吊車運(yùn)行過程中擺角一般不超過，且平衡位置為，可以將式（27）表示的模型在處進(jìn)行線性化。此時(shí)有如下近似結(jié)果：。所以式（27）可簡化為：