【正文】 s（1/e）角度后就得到漸近線方程，設旋轉后的角度是θ’則θ’=θ[PI/2arccos（1/e)]則θ=θ’+[PI/2arccos（1/e)]代入上式：ρcos{θ’+[PI/2arccos（1/e)]}=[(ep/1e)+(ep/1+e)]/2即：ρsin[arccos（1/e)θ’]=[(ep/1e)+(ep/1+e)]/2現(xiàn)在可以用θ取代式中的θ’了得到方程：ρsin[arccos（1/e)θ]=[(ep/1e)+(ep/1+e)]/2現(xiàn)證明雙曲線x^2/a^2y^2/b^2=1 上的點在漸近線中設M(x,y）是雙曲線在第一象限的點，則y=(b/a）√（x^2a^2） (xa)因為x^2a^2x^2，所以y=(b/a）√（x^2a^2）b/a√x^2=bx/a即 ybx/a所以，雙曲線在第一象限內的點都在直線y=bx/a下方根據(jù)對稱性第二、三、四象限亦如此離心率第一定義：e=c/a 且e∈（1，+∞）.第二定義：雙曲線上的一點P到定點F的距離│PF│ 與 點P到定直線（相應準線）的距離d 的比等于雙曲線的離心率e.d點│PF│/d線（點P到定直線（相應準線）的距離）=e雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點P(x,y）到焦點距離）左焦半徑：r=│ex+a│右焦半徑：r=│exa│等軸雙曲線一雙曲線的實軸與虛軸長相等 即：2a=2b 且 e=√2這時漸近線方程為：y=177。x（無論焦點在x軸還是y軸）共軛雙曲線雙曲線S39。的實軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S39。的虛軸是雙曲線S的實軸時，稱雙曲線S39。與雙曲線S為共軛雙曲線。幾何表達：S：（x^2/a^2）(y^2/b^2）=1 S39。：（y^2/b^2）(x^2/a^2）=1特點：（1）共漸近線；與漸近線平行得線和雙曲線有且只有一個交點（2）焦距相等（3）兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于1準線焦點在x軸上：x=177。a^2/c焦點在y軸上：y=177。a^2/c通徑長（圓錐曲線中，過焦點并垂直于軸的弦）d=2b^2/a1過焦點的弦長公式：d=2pe/（1e^2cos^2θ）弦長公式d = √（1+k^2）|x1x2|= √[（1+k^2）(x1x2）^2]= √（1+1/k^2）|y1y2|= √[（1+1/k^2）(y1y2）^2 ]推導如下：由 直線的斜率公式：k = (y1 y2） / (x1 x2）得 y1 y2 = k(x1 x2） 或 x1 x2 = (y1 y2）/k分別代入兩點間的距離公式：|AB| = √[(x1 x2）^2。 + (y1 y2）^2。 ]稍加整理即得：|AB| = |x1 x2|√（1 + k^2。) 或 |AB| = |y1 y2|√（1 + 1/k^2。)雙曲線的標準公式與反比例函數(shù)X^2/a^2 Y^2/b^2 = 1(a0,b0)而反比例函數(shù)的標準型是 xy = c (c ≠ 0)但是反比例函數(shù)圖象確實是雙曲線軌跡經過旋轉得到的因為 xy = c的對稱軸是 y=x, y=x 而X^2/a^2 Y^2/b^2 = 1的對稱軸是x軸，y軸所以應該旋轉45度設旋轉的角度為 a（a≠0，順時針）（a為雙曲線漸進線的傾斜角）則有X = xcosa + ysinaY = xsina + ycosa取 a = π/4則X^2 Y^2 = (xcos（π/4） + ysin（π/4）)^2 (xsin（π/4） ycos（π/4）)^2= （√2/2 x + √2/2 y)^2 （√2/2 x √2/2 y)^2= 4 （√2/2 x) （√2/2 y)= 2xy.而xy=c所以X^2/（2c) Y^2/（2c) = 1 (c0)Y^2/(2c) X^2/(2c) = 1 (c0)由此證得，反比例函數(shù)其實就是雙曲線的一種形式，.只不過是雙曲線在平面直角坐標系內的另一種擺放形式.雙曲線內、上、外在雙曲線的兩側的區(qū)域稱為雙曲線內，則有x^2/a^2y^2/b^21；在雙曲線的線上稱為雙曲線上，則有x^2/a^2y^2/b^2=1；在雙曲線所夾的區(qū)域稱為雙曲線外，則有x^2/a^2y^2/b^21。編輯本段面積公式若 ∠F1PF2=θ，則 S△F1PF2=b^2cot（θ/2）或S△F1PF2=b^2/tan（θ/2）例：已知FF2為雙曲線C：x2y2=1的左右焦點，點P在C上，∠F1PF2=60176。，則P到x軸的距離為多少？解：由雙曲線焦點三角形面積公式得S△F1PF2=b^2cot（θ/2）=√3設P到x軸的距離為h，則 S△F1PF2 =1/2h2√2。 h =√6/2雙曲線的標準方程（中心在原點、焦點在坐標軸上的雙曲線的方程）　　如果雙曲線的焦點在x軸上，標準方程為（a0,b0）　　如果雙曲線的焦點在y軸上，標準方程為（a0,b0）.　　雙曲線標準方程中a0，b0，但a不一定大于b．如果x2的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上，如果y2的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上，有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點的位置．要學會利用題設條件求a、b并判斷焦點所在的坐標軸求雙曲線方程，或用待定系數(shù)法確定雙曲線方程；另外，在方程Ax2＋By2=C中，只要AB0，且C≠0，方程表示雙曲線方程．雙曲線的幾何性質　?。?）雙曲線的幾何性質包括：范圍、對稱軸、對稱中心及其實軸與虛軸的概念、焦距與焦點坐標、離心率、準線、漸近線方程等．　　關于雙曲線漸近線方程的記憶，只須將雙曲線標準方程中的1改為0即可．如雙曲線的漸近線方程為，即，這兩條直線恰是邊長2a、2b的矩形的兩條對角線所在的直線．當雙曲線的兩支向外延伸時，與這兩條直線無限接近，但永不相交．　　漸近線是雙曲線特有的性質，理解漸近線的漸近性，可以理解為：，當x無限增大時，無限接近于0，所以y無限趨近于．　?。?）等軸雙曲線x2－y2=177。a2的漸近線方程是y=177。x，離心率．　?。?）離心率的求解注意運用幾何性質，將相關線段關系轉化為a、b、c的齊次等式．　?。?）與雙曲線有相同漸近線的方程是．要掌握雙曲線的第二定義：　　在平面上到一定點F的距離與到一定直線距離之比為一個大于1的常數(shù)e的點的軌跡．即．教材例5即是應用雙曲線的第二定義幾何性質見下表：標準方程（a0,b0）（a0,b0）圖形范圍|x|≥a,y∈R|y|≥a,x∈R對稱性對稱軸：x軸、y軸，對稱中心：原點離心率頂點（－a,0）(a,0)(0,－a),(0,a)焦點(－c,0)(c,0)(0,－c)(0,c)準線漸近線直線與雙曲線的位置關系　　（1）一次方程與二次方程所表示的是直線與曲線的位置關系，一般處理方法均是將一次方程代入二次方程考查解的個數(shù)，但這里直線方程代入雙曲線方程后當二次項為零時，即是直線與漸近線平行時，有一個交點，然后討論△與零的大小判斷解的個數(shù)．　　直線與圓錐曲線相交的弦長問題　　（2）直線l︰y=kx＋b，與二次曲線C︰(x, y)=0交于A、B兩點，由得：ax2＋bx＋c=0 (a≠0)，則.　?。?）利用“點差法”來解決中點弦問題，其基本思路是設點（即設出弦的端點坐標）——代入（即將端點代入曲線方程）——作差（即兩式相減）——得出中點坐標與斜率的關系?！　。?）圓錐曲線中的對稱問題　　對于曲線上點關于直線的對稱問題處理時要抓住三點：　?。?）對稱點的連線垂直于對稱軸（垂直）；　?。?）對稱點的連線段的中點在對稱軸上（平分）；　　（3）對稱點所在直線與曲線相交（△0）。