81-橢圓方程及性質(zhì)-microsoft-word-文檔-資料下載頁
2025-08-05 18:37本頁面
【正文】 =（2a）2－2r1r2（1+cos2θ），于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2－4c2=4b2．所以r1r2=．這樣即有S=sin2θ=b2=b2tanθ．評述：解與△PF1F2（P為橢圓上的點）有關(guān)的問題，常用正弦定理或余弦定理，并結(jié)合|PF1|+|PF2|=2a來解決．9． 如下圖，已知△OFQ的面積為S，且=1．（1）若＜S＜2，求向量與的夾角θ的取值范圍；（2）設||=c（c≥2），S=c，若以O為中心，F(xiàn)為一個焦點的橢圓經(jīng)過點Q，當||取最小值時，求橢圓的方程．解：（1）由已知，得||||sin（π－θ）=S，||||cosθ=1．∴tanθ=2S．∵＜S＜2，∴1＜tanθ＜4．則＜θ＜arctan4．（2）以O為原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系．設橢圓方程為+=1（a＞b＞0），Q（x，y）．=（c，0），則=（x－c，y）．∵||y=c，∴y=．又∵=c（x－c）=1，∴x=c+．則||==（c≥2）．可以證明：當c≥2時，函數(shù)t=c+為增函數(shù)，∴當c=2時，||min==，此時Q（，）．將Q的坐標代入橢圓方程，解得得 +=1， a2=10，a2－b2=4． b2=6．∴橢圓方程為+=1．10．(2005上海) 如圖，點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，．（1）求點P的坐標；（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值． 解：（1）由已知可得點A（－6，0），F(xiàn)（4，0）設點P的坐標是，由已知得則2x2+9x18=0, ∴P點的坐標是（2）直線AP的方程是設點M的坐標是（m，0），則M到直線AP的距離是，于是橢圓上的點到點M的距離d有由于【探索題】(2006湖北)設A、B分別為橢圓（）的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設P為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解(Ⅰ)依題意得 解得 從而故橢圓方程為（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得設M點在橢圓上，① 又M點異于頂點A、B，由P、A、M三點共線可得 從而∴ ②將①式代入②式化簡得于是為銳角，從而為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法二：由（Ⅰ）得．設,則直線AP的方程為,直線BP的方程為．點M、N分別在直線AP、BP上，．從而③聯(lián)立消去得=0 是方程的兩根,即④又⑤于是由③、④式代入⑤式化簡可得N點在橢圓上，且異于頂點A、B，又，從而故為鈍角，即點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法3：由（Ⅰ）得，設則．又MN的中點Q的坐標為，化簡得 ⑥直線AP的方程為，直線BP的方程為點P在準線上，即⑦又M點在橢圓上,即 ⑧于是將⑦、⑧式代入⑥式化簡可得從而B在以MN為直徑的圓內(nèi)。
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