第一節(jié)：三角形方程組和三角分解-資料下載頁
2025-08-05 17:42本頁面
【正文】 ??上頁 下頁 返回 結(jié)束 30 由此可知 的 k階順序主子陣有如下形式 ( 1)kA ?( 1 )11( 1 )*kkkkAa????????若將 的 k階順序主子陣分別記為 ，則由（ ）及下三角陣的性質(zhì)可知 11, kLL? 11( ) , , ( )k k kLL ?( 1 )111 2 1 ( 1 )*( ) ( ) ( ) kk k k k k k kkkAL L L Aa??? ????????注意到 是單位下三角陣，由此立即得到 iL( 1 ) ( 1 )11d e t d e t ,kkk k kA a A???從而有 非奇異當(dāng)且僅當(dāng) 。 kA ( 1) 0kkka ? ?上頁 下頁 返回 結(jié)束 31 定理 若 的順序主子陣 均非奇異，則存在唯一的單位下三角陣 和上三角陣 使得 。 nnAR?? ( 1 , . . . , 1 )kkkA R k n?? ? ?nnLR??nnUR?? A LU?上頁 下頁 返回 結(jié)束 32 算法的編程 這種計(jì)算三角分解的方法稱作 Gauss消去法 。 實(shí)際編程計(jì)算時(shí)，我們還需要弄清的是：當(dāng) 作用于 后， 的哪些元素作了改變？以及作了怎樣的改變？此外， 及 的元素又是怎樣存儲(chǔ)起來的？ 因?yàn)? kL( 1)kA ? ( 1)kA ?kL()kA( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ,k k T k k T kk k k k kA L A I l e A A l e A? ? ? ?? ? ? ? ?并注意到 是 的第 k行以及 的前 k個(gè)分量為 0，我們即知 和 的前 k行元素相同，而 ( 1)TkkeA ? ( 1)kA ? kl()kA ( 1)kA ?()( ) ( 1 ) ( 1 )0 , 1 , .. ., , , 1 , .. ., .kikk k kij ij ik k ja i k na a l a i j k n??? ? ?? ? ? ?上頁 下頁 返回 結(jié)束 33 與 的存儲(chǔ)是這樣考慮的： 中的第 k+1行至第 n行的元素在計(jì)算出 以后不再有用，故可以用新計(jì)算出的 元素沖掉 中相應(yīng)位置上的元素。此外，由于 的第 k列對(duì)角元以下的元素 為零，無需存儲(chǔ)，故 中非零元素即可存儲(chǔ)在這些位置上。例如一個(gè) 的矩陣 A在經(jīng)過二步消元后，其形式為 ()kAkL( 1)kA ?()kA()kA ( 1)kA ? ()kA() ( 1 , . . . , )kika i k n??kl( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 1 1 2 1 3 1 4( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 1 2 2 2 3 2 4( 2 ) ( 2 )3 1 3 2 3 3 3 4( 2 ) ( 2 )4 1 4 2 4 3 4 4a a a al a a al l a al l a a??????????上頁 下頁 返回 結(jié)束 34 綜合上面的的討論，可得如下算法： 算法 （計(jì)算三角分解： Gauss消去法） 1 : 1( 1 : , ) ( 1 : , ) / ( , )( 1 : , 1 : ) ( 1 : , 1 : ) ( 1 : , ) ( , 1 : )for k nA k n k A k n k A k kA k n k n A k n k n A k n k A k k ne n d? ? ??? ?? ?? ? ? ??? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?該算法所需要的加、減、乘、除運(yùn)算次數(shù)為 12 3 21( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) 2[ ( ) 2 ( ) ] ( ) ,2 3 3nkn n n n nn k n k n O n??? ? ?? ? ? ? ? ? ??即該算法的運(yùn)算量為 。 323n上頁 下頁 返回 結(jié)束
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