第一節(jié)：三角形方程組和三角分解(編輯修改稿)
2024-09-01 17:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 矩陣便是 Gauss變換陣。 nxR?上頁 下頁 返回 結(jié)束 18 定義 3 如下形式的初等下三角陣 ,Tk n k kL I l e??其中 即 1,( 0 , , 0 , , , ) ,Tk k k n kl l l??這種類型的初等單位下三角矩陣稱作 Gauss 變換 ，而稱向量 為 Gauss 向量 。 kl1,1111kkknkLll????????????????上頁 下頁 返回 結(jié)束 19 命題 1 對(duì)于一個(gè)給定的向量 若 ，取 其中： 12( , , , ) ,Tnnx x x x R??0kx ?1,( 0 , , 0 , , , ) ,Tk k k n kl l l??, 1 , , .iikkxl i k nx? ? ?則 Gauss變換： 使 Tk n k kL I l e??1( , , , 0 , , 0 ) .TkkL x x x?證明：由于 1 1 1 ,( , , , , , ) ,Tk k k k k k n k n kL x x x x x l x x l??? ? ?將 代入，即得出結(jié)論。 iikkxlx?上頁 下頁 返回 結(jié)束 20 命題 2 Gauss變換 的逆變換為 kL1 Tk n k kL I l e? ??命題 3 當(dāng) 時(shí)，則 pq?( 1 ) ,TTp q p p q qL L I l e l e??? ? ? ?11( 2 ) .TTp q p p q qL L I l e l e????? ? ? ?上頁 下頁 返回 結(jié)束 21 命題 4 設(shè) ，則對(duì) A施以指標(biāo)為 k的Gauss變換， A 的前 k行保持不變。 nnAR ??則 ,Tkke A a?11 1 ,( ) ( )kTTk k k k kk k k kn n k kaaL A I l e A A l e Aa l aa l a??????????? ? ? ? ? ??????????????從而 [證明 ] 將 A按行分塊，記為 121, ( , .. ., ) , 1 , 2 , .. ., .k k k nnaaA a a a k na??????? ? ????????? 返回 22 三角分解的計(jì)算 算法的理論分析 假定 ，三角分解是指分解 ，其中 為下三角矩陣， 為上三角矩陣?；诜纸馐降倪@種表達(dá)方式，有時(shí)亦稱三角分解為 LU分解。 nnAR?? A LU? nnLR??nnUR??下面我們來討論怎樣利用 Gauss變換來實(shí)現(xiàn) A的三角分解。先來考察一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。設(shè) 1 4 72 5 83 6 1 0A???????????上頁 下頁 返回 結(jié)束 23 ? 我們首先計(jì)算一個(gè) Gauss變換 使得 的第 1列的后兩個(gè)元素為 0。由命題 1和 4容易得出 1L1LA且 11 0 02 1 03 0 1L?????????????11 4 70 3 60 6 1 1LA????? ? ???????然后再計(jì)算 Gauss變換 使得 的第 2列的最后一個(gè)元素為 0，再由命題 1和 4得 2L 21()L L A上頁 下頁 返回 結(jié)束 24 21 0 00 1 00 2 1L????????????且 211 4 7( ) 0 3 60 0 1L L A????? ? ?????由命題 2 1112112 1 , 0 1 ,3 0 1 0 2 1LL??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?令 1211 1 4 7( ) 2 1 , 0 3 63 2 1 0 0 1L L L U?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?上頁 下頁 返回 結(jié)束 2
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