第11章-圖像正交變換-資料下載頁
2025-08-05 10:15本頁面
【正文】 xf如果令 N=4， 由一維解析式定義可得如下展開式： ?????????????????????)3(2 7 )2(6 5 )1(6 5 )0(2 7 )3()3(5 0 )2(5 0 )1(5 0 )0(5 0 )2()3(6 5 )2(2 7 )1(2 7 )0(6 5 )1()3(5 0 )2(5 0 )1(5 0 )0(5 0 )0(ffffFffffFffffFffffF寫成矩陣形式： ??????????????????????????????????????)3()2()1()0(2 7 5 5 7 5 0 0 0 0 6 5 7 7 5 5 0 0 0 0 )3()2()1()0(ffffFFFF[F(u)]=[A][f(x)] 同理，可得到反變換展開形式： ??????????????????????????????????????)3()2()1()0(2 7 0 5 0 6 5 0 7 0 6 5 0 7 0 2 7 0 5 0 )3()2()1()0(FFFFffff?????????????????????)3(2 7 )2(5 0 )1(6 5 )0(5 0 )3()3(6 5 )2(5 0 )1(2 7 )0(5 0 )2()3(6 5 )2(5 0 )1(2 7 )0(5 0 )1()3(2 7 )2(5 0 )1(6 5 )0(5 0 )0(FFFFfFFFFfFFFFfFFFFf寫成矩陣形式： [f(x)]=[A]T[F(u)] 二維離散余弦變換為： [F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T [f(x,y)]=[A]T[F(u,v)] [A]T 離散余弦變換的計(jì)算 與傅立葉變換一樣，離散余弦變換可以由定義出發(fā)進(jìn)行計(jì)算，但這樣的計(jì)算量太大，在實(shí)際應(yīng)用中很不方便，尋找快速算法 首先，從定義出發(fā)，作如下推導(dǎo) })(R e {2}R e {)(22)12(c o s)(2)(102)12(102)12(10?????????????????NxNu πxjNxNu πxjNxexfNexfNNu πxxfNuF取實(shí)部的意思 如果把時(shí)域數(shù)據(jù)向量作系列延拓，即 ?????????12,1,01,2,1,0)()(NNNxNxxfxfe ??則 fe(x)的離散余弦變換可寫成為： })(R e{2})(R e{2}R e{)(22)12(c o s)(2)()(1)0(120222102)12(102)12(10120????????????????????????????NxNxu πjeNu πjNxNu πxjeNxNu πxjeNxeNxeexfeNexfNexfNNu πxxfNuFxfNF則 ????12022)(NxNxu πje exf是 2N點(diǎn)的離散傅立葉變換，所以在作余弦變換時(shí)，可以把序列長度延拓為 2N， 然后作離散傅立葉變換，產(chǎn)生的結(jié)果取其實(shí)部便可得到余弦變換 同理，在反變換時(shí)，首先在變換空間，把 [F(u)]作如下延拓： ?????????12,1,01,2,1,0)()(NNNuNuuFuFe ??}])([R e {2)0(]21[})(R e {2)0(1}R e {)(2)0(1}R e {)(2)0(12)12(c o s)(2)0(1)(1202221212221212221212)12(121?????????????????????????????????NuNxujNujeeNuNxujNujeeNuNujNxu πjeeNuNu πxjeeNueeeeuFNFNNeeuFNFNeeuFNFNeuFNFNNu πxuFNFNxf?????反變換表示為： 可見，離散余弦反變換可以從 ])([ 2 Nuje euF??的 2N點(diǎn)反傅立葉變換實(shí)現(xiàn) DCT變換的應(yīng)用： 余弦變換實(shí)際上是傅立葉變換的實(shí)數(shù)部分 。 余弦變換主要用于圖像的壓縮 ， 如目前的國際壓縮標(biāo)準(zhǔn)的 JPEG格式中就用到了 DCT變換 。 具體的做法與DFT 相似 。 給高頻系數(shù)大間隔量化 ， 低頻部分小間隔量化 。 MATLAB提供了 dct idct2和 dctmtx等函數(shù)進(jìn)行圖像的 DCT變換，其調(diào)用格式如下： （ 1） dct2函數(shù)實(shí)現(xiàn)二維 DCT變換 B=dct2(A,[m,n]) 其中 B為返回 DCT變換系數(shù)， m,n為變換系數(shù)矩陣行列數(shù)。在對(duì) A進(jìn)行二維 DCT變換之前，首先對(duì) A補(bǔ) 0或剪裁至 m n。方法適用于較大輸入的快速算法。 （ 2） idct2函數(shù)實(shí)現(xiàn)二維 DCT反變換 B=idct2(A,[m,n]) 其中調(diào)用格式與 dct2函數(shù)相同。 （ 3） dctmtx函數(shù)用于計(jì)算 DCT變換矩陣 D＝ dctmtx(n) 其中 D為返回的 DCT變換矩陣，輸出矩陣 D為 double類型。方法對(duì)于一些小的方陣輸入更有效。 RGB = imread(39。39。)。%讀取圖像 I = rgb2gray(RGB)。%轉(zhuǎn)化為灰度圖像 J = dct2(I)。%離散余弦變換 figure,imshow(log(abs(J)),[]),%顯示離散余弦變換的系數(shù) title(39。離散余弦變換系數(shù) 39。) colormap(jet(64)), colorbar J(abs(J) 10) = 0。%置小系數(shù)為 0 K = idct2(J)。%離散余弦逆變換 figure, subplot(121),imshow(I)。title(39。原始圖像 39。) subplot(122),imshow(K,[0 255])。title(39。DCT變換圖像 39。) 離散余弦變換廣泛應(yīng)用于圖像壓縮中 。 例如在JPEG圖像壓縮算法中 ， 首先將輸入圖像劃分為 8 8的方塊 ， 然后對(duì)每個(gè)方塊進(jìn)行二維離散余弦變換 ，最后將得到的 DCT系數(shù)進(jìn)行編碼和傳輸 。 在接收端 ，將量化的 DCT系數(shù)進(jìn)行解碼 ， 并對(duì)每個(gè)方塊進(jìn)行二維離散余弦反變換 ， 最后將操作后的塊組合成一幅完整圖像 。
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