【正文】 0,2] 上的最大值為 g ( x )m ax＝ g (1) ＝ k ＋ 1. ∵ 對任意 x1∈ [0,2] ，均存在 x2∈ [0,2] ，使 f ( x1) g ( x2) 成立， ∴ 有 f ( x )m ax g ( x )m ax，則 4 k ＋ 1 ， ∴ k 3. 故實數(shù) k 的取值范圍是 (3 ，＋ ∞ ) ． 【 答案】 ① 減區(qū)間 ( － 1,1) ，增區(qū)間 ( － ∞ ，－ 1) ， (1 ，＋ ∞ ) ② (3 ，＋ ∞ ) 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 1 ． 函數(shù)的最值是整個定義域上的問題，而函數(shù)的極值只是定義域的局部問題． 2 ． f ′ ( x0) ＝ 0 是 f ( x ) 在 x ＝ x0處取得極值的必要非充分條件，因為求函數(shù)的極值，還必須判斷 x0兩側(cè)的 f ′ ( x ) 的符號是否相反． 3 ．求 f ( x ) 的最值應(yīng)注意在閉區(qū)間上研究，還是在開區(qū)間上研究，若閉區(qū)間上最值問題只需比較端點值與極值即可，若開區(qū)間上最值問 題，注意考查 f ( x ) 的有界性． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 1 ．函數(shù) y ＝ ax3＋ bx2取得極大值和極小值時的 x 的值分別為0 和13，則 ( ) A ． a － 2 b ＝ 0 B ． 2 a － b ＝ 0 C ． 2 a ＋ b ＝ 0 D ． a ＋ 2 b ＝ 0 答案 D 解析 y ′ ＝ 3 ax2＋ 2 bx ，據(jù)題意， 0 ，13是方程 3 ax2＋ 2 bx ＝ 0的兩根， ∴ －2 b3 a＝13， ∴ a ＋ 2 b ＝ 0. 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 2 ．已知 函數(shù) f ( x ) ＝12x4－ 2 x3＋ 3 m ， x ∈ R ，若 f ( x ) ＋ 9 ≥ 0 恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍是 ( ) A ． m ≥32 B ． m 32 C ． m ≤32 D ． m 32 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 答案 A 解析 因為函數(shù) f ( x ) ＝12x4－ 2 x3＋ 3 m ， 所以 f ′ ( x ) ＝ 2 x3－ 6 x2. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 0 或 x ＝ 3. 經(jīng)檢驗知 x ＝ 3 是函數(shù)的最小值點， 所以函數(shù)的最小值為 f (3) ＝ 3 m －272. 不等 式 f ( x ) ＋ 9 ≥ 0 恒成立， 即 f ( x ) ≥ － 9 恒成立． 所以 3 m －272≥ － 9 ，解得 m ≥32. 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 3. 已知 f ( x ) 的定義域為 R ， f ( x ) 的導(dǎo)函數(shù) f ′ ( x ) 的圖像如圖所示，則 ( ) A ． f ( x ) 在 x ＝ 1 處取得極小值 B ． f ( x ) 在 x ＝ 1 處取得極大值 C ． f ( x ) 在 R 上是增函數(shù) D ． f ( x ) 在 ( － ∞ ， 1) 上是減函數(shù)， (1 ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù) 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 答案 C 解析 由圖像易知 f ′ ( x ) ≥ 0 在 R 上恒成立，所以 f ( x ) 在 R上是增函數(shù)． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 4 ． (2022 湖北 ) 已知 a 為常數(shù)，函數(shù) f ( x ) ＝ x (ln x － ax ) 有兩個極值點 x 1 ， x 2 ( x 1 x 2 ) ，則 ( ) A ． f ( x 1 )0 ， f ( x 2 ) －12 B ． f ( x 1 )0 ， f ( x 2 ) －12 C ． f ( x 1 )0 ， f ( x 2 ) －12 D ． f ( x 1 )0 ， f ( x 2 ) －12 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 答案 D 解析 由題意知，函數(shù) f ( x ) ＝ x (ln x － ax ) ＝ x ln x － ax2有兩個極值點， 即 f ′ ( x ) ＝ ln x ＋ 1 － 2 ax ＝ 0 在區(qū)間 (0 ，＋ ∞ ) 上有兩個根． 令 h ( x ) ＝ ln x ＋ 1 － 2 ax ，則 h ′ ( x ) ＝1x－ 2 a ＝－ 2 ax ＋ 1x，當(dāng) a ≤ 0時 h ′ ( x ) 0 ， f ′ ( x ) 在區(qū)間 (0 ，＋ ∞ ) 上遞增， f ′ ( x ) ＝ 0 不可能有兩個正根， ∴ a 0. 由 h ′ ( x ) ＝ 0 ，可得 x ＝12 a，從而可知 h ( x ) 在區(qū)間 (0 ，12 a) 上遞增，在區(qū)間 (12 a，＋ ∞ ) 上遞減． 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 因此需 h (12 a) ＝ ln12 a＋ 1 － 1 ＝ ln12 a0 ，即12 a1 時滿足條件，故當(dāng) 0 a 12時， h ( x ) ＝ 0 有兩個根 x1， x2，且 x112 a x2.又 h (1) ＝ 1－ 2 a 0 ， ∴ x1112 a x2，從而可知函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 (0 ， x1) 上遞減，在區(qū)間 ( x1， x2) 上遞增，在區(qū)間 ( x2，＋ ∞ ) 上遞減． ∴ f ( x1) ＜ f (1) ＝－ a 0 ， f ( x2) f (1) ＝－ a －12.故選 D. 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 5 ． (2022 安徽 ) 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ a ex＋1a ex ＋ b ( a 0) ． (1) 求 f ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 內(nèi)的最小值； (2) 設(shè)曲線 y ＝ f ( x ) 在點 (2 ， f (2) ) 處的切線方程為 y ＝32x ，求 a ，b 的值． 答案 (1)0 a 1 時，最小值 2 ＋ b ； a ≥ 1 時，最小值 a ＋1a＋b (2) a ＝2e2 ， b ＝12 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 解析 (1) f ′ ( x ) ＝ a ex－1a ex ， 當(dāng) f ′ ( x )0 ，即 x － ln a 時， f ( x ) 在 ( － ln a ，＋ ∞ ) 上遞增； 當(dāng) f ′ ( x )0 ，即 x － ln a 時， f ( x ) 在 ( － ∞ ，－ ln a ) 上遞減． ① 當(dāng) 0 a 1 時，－ ln a 0 ， f ( x ) 在 (0 ，－ ln a ) 上遞減，在 ( － ln a ，＋ ∞ ) 上遞增，從而 f ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上的最小值為 f ( － ln a ) ＝ 2 ＋ b ； ② 當(dāng) a ≥ 1 時，－ ln a ≤ 0 ， f ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上遞增，從而 f ( x )在 [0 ，＋ ∞ ) 上的最小值為 f (0) ＝ a ＋1a＋ b . 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 (2) 依題意 f ′ (2) ＝ a e2－1a e2 ＝32，解得 a e2＝ 2 或 a e2＝－12( 舍去 ) ． 所以 a ＝2e2 ，代入原函數(shù)可得 2 ＋12＋ b ＝ 3 ，即 b ＝12. 故 a ＝2e2 ， b ＝12. 課前自助餐 授人以漁 自助餐 課時作業(yè) 新課標(biāo)版 高三數(shù)學(xué)（理） 高考調(diào)研 課時作業(yè)（十七）