【正文】 ，則還將有和△Q對(duì)應(yīng)的額外的熵增。由于耗散的能量總是正的，必有△Q≥0對(duì)于線性硬化材料（），△Q＝0，內(nèi)能的增加就等于變形功，因而在這一類材料中形成沖擊波時(shí)不會(huì)引起額外的熵增。沖擊波波陣面上的質(zhì)量守恒條件（255），動(dòng)量守恒條件（257）和能量守恒條件（262）統(tǒng)稱沖擊突躍條件或RankineHugoniot關(guān)系，這里給出的是應(yīng)用于彈塑性桿中的Lagrange形式。在給定初態(tài)下，沖擊突躍條件和材料本構(gòu)方程共四個(gè)方程給出了聯(lián)系五個(gè)未知量、和D之間任一量與其他量的關(guān)系，稱為沖擊絕熱線或Hugoniot線。注意，它們只是對(duì)于一定的初態(tài)點(diǎn)、通過(guò)沖擊突躍過(guò)程所可能達(dá)到的平衡終態(tài)點(diǎn)的軌跡，而并不描述材料在沖擊突躍過(guò)程中所經(jīng)歷的狀態(tài)點(diǎn)。例如沖擊絕熱s ～e 曲線并非材料在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱條件下的本構(gòu)s ～e 曲線。應(yīng)該指出，應(yīng)變率無(wú)關(guān)應(yīng)力波理論中關(guān)于材料具有唯一的動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的基本假定，在目前討論沖擊波的情況下，還常常包含著忽略上述這兩者間的差別。正是由于這一近似，使得我們可以在不考慮能量守恒方程的條件下，從質(zhì)量守恒方程（255）、動(dòng)量守恒方程（257）和材料動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（214）三個(gè)方程出發(fā)，就足以在給定的初邊條件下確定沖擊波后方的終態(tài)值、和波速D了。在更嚴(yán)格的情況下，應(yīng)該用固體狀態(tài)方程來(lái)代替式（214），并計(jì)及能量守恒條件。如果令沖擊波波陣面上的突躍值由有限值趨于無(wú)限小，則三個(gè)守恒條件（255）、（257）和（262）化為弱間斷波陣面相應(yīng)的守恒條件： （263）前兩式中負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于右行被，正號(hào)對(duì)應(yīng)于左行波，恰好與沿右行和左行特征線上的相容關(guān)系（224）和（226）相差一個(gè)符號(hào)。這是因?yàn)檫@里所討論的是波陣面前方和后方狀態(tài)參量之間的關(guān)系，也即跨過(guò)波陣面時(shí)狀態(tài)參量所應(yīng)滿足的關(guān)系，而特征線上相容條件則是沿著特征線前進(jìn)時(shí)狀態(tài)參量之間所應(yīng)滿足的關(guān)系。擾動(dòng)沿著右行特征線傳播時(shí)將跨過(guò)一系列左行特征線，也就是要跨過(guò)一系列左行波的波陣面，因此兩者的相容關(guān)系恰好反號(hào)。研究應(yīng)力波的傳播，可以從建立問(wèn)題的控制方程著手，如我們?cè)?1節(jié)～25節(jié)中所作那樣；也可以從分析和建立波陣面上應(yīng)滿足的守恒條件著手，如在這一節(jié)中所作的那樣。這兩種途徑是互通的，在以后的討論中都將經(jīng)常用到。 橫向慣性引起的彌散效應(yīng)以上所討論的桿中一維應(yīng)力縱波理論都是以桿的平截面在變形后仍保持為平截面，并在平截面上只作用著均布的軸向應(yīng)力s x這一基本假定為前提的。這時(shí)實(shí)際上忽略了桿中質(zhì)點(diǎn)橫向運(yùn)動(dòng)的慣性作用，即忽略了桿的橫向收縮或膨脹對(duì)動(dòng)能的貢獻(xiàn)，因而是一種近似理論，通常稱為初等理論或工程理論。下面我們?cè)趶椥圆ǚ秶鷥?nèi)來(lái)考察一下橫向慣性的影響，以搞清初等理論的局限性，明確在什么條件下這一近似理論可用。我們知道，桿在軸向應(yīng)力s X（X，t）的作用下除有軸向應(yīng)變外，還由于Poisson效應(yīng)必定同時(shí)有橫向變形， 式中uX、uY、uZ為位移在X軸、Y軸、Z軸方向的分量，v為泊松比。既然己假定s X、從而e X只是X和t的函數(shù)而與Y、Z無(wú)關(guān)，因此對(duì)上式積分后可得橫向位移為： （264）這里取橫截面中心為Y軸和Z軸坐標(biāo)原點(diǎn)。由此可得橫向運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)速度vY、vZ和質(zhì)點(diǎn)加速度aY、aZ分別為： (265)可見(jiàn)，在原平截面上有非均勻分布的橫向質(zhì)點(diǎn)位移、速度和加速度。這意味著相應(yīng)地存在著非均勻分布的橫向應(yīng)力，從而將導(dǎo)致平截面的歪曲。所以，由于桿中質(zhì)點(diǎn)的橫向運(yùn)動(dòng)，應(yīng)力狀態(tài)實(shí)際上不再是簡(jiǎn)單的一維應(yīng)力狀態(tài)，原來(lái)的平截面也不再保持為平截面。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，這是一個(gè)三維問(wèn)題，至少也是一個(gè)軸對(duì)稱（例如圓柱桿）的二維問(wèn)題。從能量的角度來(lái)看，忽略橫向慣性作用相當(dāng)于忽略橫向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能?？梢酝茖?dǎo)出桿中彈性縱波將不再如初等理論中那樣以恒速C0傳播，而是對(duì)不同頻率f （或波長(zhǎng)l）的諧波將以不同的波速（相速）C傳播。對(duì)于半徑為a的圓柱桿，有 （268c）圖213 Hopkinson壓桿試驗(yàn)中實(shí)測(cè)到的代表性波形這就是考慮到橫向慣性修正的所謂Rayleigh近似解。上式在a/l ≤，有足夠好的近似。上式表明，高頻波（短波）的傳播速度較低，而低頻波（長(zhǎng)波）的傳播速度較高。對(duì)于線彈性波來(lái)說(shuō)，既然任意波形的波總可藉頻譜分析方法看作由不同頻率的諧波分量迭加組成，而不同頻率的諧波分量現(xiàn)在將各按自己的相速傳播，因此波形不能再保持原形而必定在傳播過(guò)程中散開來(lái)了，即發(fā)生所謂波的彌散現(xiàn)象。但應(yīng)注意，這種由橫向慣性效應(yīng)所引起的彌散，不同于過(guò)去所述由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的非線性所引起的非線性本構(gòu)彌散，也不同于由材料粘性效應(yīng)所引起的本構(gòu)粘性彌散，這里主要是由桿的幾何形狀所引起的，因而有時(shí)稱為幾何彌散。在有關(guān)桿中應(yīng)力波的實(shí)驗(yàn)中，例如第三章中將談到的Hopkinson壓桿試驗(yàn)中，實(shí)測(cè)到的波形常?；蚨嗷蛏俚爻尸F(xiàn)這種幾何彌散現(xiàn)象，包括如圖213所示的局部的波形振蕩（圖213）。特別是包含高頻分量的強(qiáng)間斷波在桿中傳播時(shí)實(shí)際上難以保持其陡峭的前沿，波陣面前沿的升時(shí)會(huì)逐漸增大．桿中傳播的所謂沖擊波，實(shí)際上只是指其波形具有相對(duì)地較陡的前沿而已。由圓桿中彈性波傳播的二維（軸對(duì)稱）數(shù)值分析可進(jìn)一步闡明，一維桿中的橫向慣性效應(yīng)具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)主要方面：（1） 桿橫截面上應(yīng)力分布的不均勻性桿中應(yīng)力波的初等理論是以應(yīng)力在桿截面上均勻分布、從而滿足一維應(yīng)力的假定為前提的。橫向慣性效應(yīng)則引起桿截面上的不均勻的二維應(yīng)力分布。以直徑D=2R=37mm鋼桿為例（取彈性模量E＝200 GPa，密度r0＝ kg/m3，泊松比n =），設(shè)桿端X＝0處作用一梯形脈沖，幅值為s 0=800 MPa，總加載歷時(shí)120 ms，包括上升沿和下降沿時(shí)間各為10 ms。二維計(jì)算給出的離加載端X1=?？梢?jiàn)軸向應(yīng)力沿半徑由中心向外表面逐漸減小，桿中心處應(yīng)力最大（接近一維應(yīng)變狀態(tài)）、外表面R處最小（接近一維應(yīng)力狀態(tài)）。但隨著應(yīng)力脈沖向前傳播，經(jīng)歷一定傳播距離后，橫截面上的應(yīng)力分布將逐漸均勻化，雖然仍表現(xiàn)出顯著的波形振蕩，如圖214b所示。（a），不同半徑r=0、R處的應(yīng)力波形（b）距離桿端2D的橫截面上，不同半徑r=0、R處的應(yīng)力波形圖 214 直徑37mm鋼桿在不同橫截面上軸向應(yīng)力隨半徑的分布（2） 波形振蕩從式（268c）知，諧波的相速度依賴于彈性桿直徑與波長(zhǎng)之比。隨著桿徑的增大或波長(zhǎng)的減小，圖213所示的波形振蕩等彌散現(xiàn)象將會(huì)越加明顯。在相同的梯形脈沖加載條件下，即仍設(shè)梯形脈沖幅值為s 0，總的加載歷時(shí)120 ms，且升時(shí)和降時(shí)均為10 ms，對(duì)于桿徑為5 mm， mm，37 mm和74 mm四種情況下的二維計(jì)算結(jié)果分別如圖215之a(chǎn)，b，c和d所示。圖中各六條曲線分別指X=0（桿端）處、及離桿端100 mm、200 mm、300 mm、400 mm和500 mm處的應(yīng)力脈沖波形。從圖中可以看到，對(duì)于給定桿徑，波形振蕩隨傳播距離增大；另一方面，隨著桿徑增大，波形振蕩顯著增大。對(duì)于升時(shí)10 ms的梯形波，直徑5mm桿中的波形振蕩基本可以忽略，但直徑74mm的桿中波形振蕩已經(jīng)非常嚴(yán)重。由此可以理解，對(duì)于167。，隨著壓桿直徑增大會(huì)有嚴(yán)重波形振蕩，這將對(duì)數(shù)據(jù)處理和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精度造成不利影響。050100150200250020040060080010006543211 X=0 cm2 X=10cm3 X=20cm4 X=30cm5 X=40cm6 X=50cms/ MPat / ms（a）直徑5mm桿中應(yīng)力脈沖波形 050100150200250020040060080010006543211X= 0 cm2 X=10cm3 X=20cm4 X=30cm5 X=40cm6 X=50cms / MPat / ms （b）050100150200250200020040060080010006543211 X=0 cm2 X=10cm3 X=20cm4 X=30cm5 X=40cm6 X=50cms / MPat / ms（c）直徑37mm桿中應(yīng)力脈沖波形050100150200250300200020040060080010006543211 X=0 cm2 X=10cm3 X=20cm5 X=40cm6 X=50cms / MPat / ms（d）直徑74mm桿中應(yīng)力脈沖波形圖 215 不同直徑的鋼桿離桿端不同距離處的應(yīng)力波形之比較（3） 應(yīng)力脈沖前沿升時(shí)的增大由圖215還可以看到，由于橫向慣性效應(yīng)，應(yīng)力脈沖的波陣面前沿實(shí)際上隨傳播距離的增加而逐漸由陡變緩，即應(yīng)力脈沖前沿的升時(shí)ts（指應(yīng)力脈沖的起始點(diǎn)到應(yīng)力最大值所經(jīng)歷的時(shí)間）隨傳播距離而逐漸增大；并且桿徑越大，其升時(shí)變化越顯著。圖216給出不同直徑的桿中，應(yīng)力脈沖升時(shí)ts隨傳播距離X而增大的變化曲線。容易理解，隨桿徑愈來(lái)愈大，既然橫向慣性效應(yīng)愈來(lái)愈顯著，則升時(shí)隨傳播距離的增大也愈加顯著；尤其在傳播的早期，升時(shí)變化尤其顯著，之后才逐漸趨于穩(wěn)定值。圖 216 不同直徑的鋼桿中應(yīng)力脈沖升時(shí)t S隨傳播距離X變化之比較（4） 應(yīng)力脈沖峰值隨傳播距離的衰減橫向慣性引起的桿中應(yīng)力波形的幾何彌散，還有一個(gè)重要表現(xiàn)，即桿中應(yīng)力脈沖幅值隨傳播距離而減小。鑒于梯形脈沖在桿中傳播時(shí)會(huì)出現(xiàn)橫向慣性引發(fā)的波形振蕩，不利于對(duì)波幅衰減進(jìn)行分析，以下面設(shè)有三角脈沖作用于桿端X＝0處，幅值仍為s 0=800 MPa，但其上升沿和下降沿歷時(shí)各為150 ms。桿徑37 mm的二維計(jì)算結(jié)果如圖217所示，可見(jiàn)應(yīng)力脈沖幅值隨傳播距離而減小。圖218給出桿徑分別為37 mm，74 mm和100 mm三種情況下，應(yīng)力峰值衰減如何隨傳播距離X而變化的對(duì)比。由此可見(jiàn)，桿徑越大，衰減越嚴(yán)重。這與桿徑越大，其他橫向慣性效應(yīng)越顯著是一致的。綜上所述總之，只要桿的橫向尺寸遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)，桿的橫向動(dòng)能便遠(yuǎn)小于縱向動(dòng)能，則桿中一維應(yīng)力波的初等理論就能給出足夠好的近似結(jié)果。否則必須計(jì)及橫向慣性所引起的波的幾何彌散。更深入的研究表明，在a/l ≤，Rayleigh修正（式268）能給出足夠好的近似，但對(duì)于波長(zhǎng)更短的波，就必須討論更復(fù)雜的Pochhammer－Chree精確解了010020030040050060010002004006008001 X=0 cm2 X=50cm3 X=100cm4 X=150cm5 X=200cms / MPat / ms 23451圖 217 直徑37 mm鋼桿中三角形應(yīng)力脈沖的幅值隨傳播距離之衰減圖 218 不同直徑的鋼桿中應(yīng)力脈沖幅值衰減隨傳播距離變化之比較