變換和置換群-資料下載頁
2025-08-05 03:57本頁面
【正文】 )=?(a?b), ??x?G, ?(a*b)(x)=?(a*b)(x)=x* (a*b) =(x*a)*b=?b(?a(x)), ? ?(a*b)=?a??b=?(a)??(b)， 這里“ ?” 是函數(shù)復(fù)合運(yùn)算 。 利用置換群解題的例子 ? 在四個(gè)方格子中放置了帶有 標(biāo)號(hào)的四個(gè)盤子 (見右圖 )。 可以進(jìn)行下列操作： (1) 上下行互換 (2) 左右列互換 (3) 兩對(duì)對(duì)角元素互換 進(jìn)行上述操作任意有限多次，可以按照任意次序進(jìn)行，包括交替進(jìn)行。 ? 問題： 操作停止時(shí)與開始時(shí)格局相同的充分必要條件是什么？ 1 2 3 4 采用置換群建立數(shù)學(xué)模型 ? 定義集合 {1,2,3,4}上的置換 , 并用輪換乘積形式表示如下： ? f1=(1,3)(2,4)， 則 f1對(duì)應(yīng)于動(dòng)作 1：上下互換； ? f2=(1,2)(3,4)， 則 f2對(duì)應(yīng)于動(dòng)作 2：左右互換； ? f3=(1,4)(2,3)， 則 f3對(duì)應(yīng)于動(dòng)作 3：對(duì)角互換； ? 令 e=(1), 則 ({e, f1, f2, f3}, ?)構(gòu)成 可交換置換群 ? 注意： (f1? f2)= (f2? f1)= f3； (f1? f3)= (f3? f1)= f2； (f2? f3)= (f3? f2)= f1；因此運(yùn)算封閉且可交換；且 e是單位元 ， 每個(gè)元素的逆元即自己 。 ? 在此模型之下： 任意有限多次連續(xù)動(dòng)作即等效于函數(shù) f =fi1? fi2?… ? fi n 。 其中 ik?{1,2,3} 問題的解 ? 任意有限多次連續(xù)動(dòng)作即等效于函數(shù) f =fi1? fi2?… ? fi n 。 其中 ik?{1,2,3} ? 所以： 開始格局與結(jié)束格局相同 當(dāng)且僅當(dāng) f = e ? ({e, f1, f2, f3}, ?)是可交換群 ， ? f =fi1? fi2?… ? fi n = f1h? f2j? f3k ,其中h, j, k是非負(fù)整數(shù) 。 ? 注意：對(duì) i=1,2,3, 均有 fi 2k = e, 其中 k是非負(fù)整數(shù)； ? f = f1s(h)? f2s(j)? f3s(k) , s(x)是整數(shù)集上的 “ 奇偶特征函數(shù) ” ， 當(dāng) x為奇數(shù) ， s(x)=1, 否則 s(x)=0。 ? 注意： f1? f2? f3 =e ? ?開始格局與結(jié)束格局相同 當(dāng)且僅當(dāng) 動(dòng)作 1,2,3分別施行的次數(shù)同奇偶性 (與順序無關(guān) )。 作業(yè) ? ? 36 ? 假設(shè) A,B,C,D是正方形的四個(gè)頂點(diǎn) 。 定義集合{A,B,C,D}上 8個(gè)置換 ,分別對(duì)應(yīng)于正方形在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 0?, 90?, 180?, 270?, 以及分別圍繞對(duì)角線或?qū)呏悬c(diǎn)連線 (各有兩條 )翻轉(zhuǎn)。證明這 8個(gè)置換與復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成群，畫出群表，并列出所有的子群。 期中考試 : 4月 27日 (星期五 ), 正常上課時(shí)間與地點(diǎn) 。 內(nèi)容到群的全部為至 .
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