變換和置換群-文庫吧
2025-07-21 03:57 本頁面
【正文】 ??312321? 輪換與對(duì)換 ? 定義 : 設(shè) ?是 S={1,2,… ,n}上的 n元置換 ， 且： ?(i1)=i2, ?(i2)=i3, … , ?(ik1)=ik, ?(ik)=i1, 且 ?x?S, x?ij j=1,2,… ,k, ?(x)=x, 則稱 ?是 S上的一個(gè) k階輪換 ， 當(dāng)k=2, ?也稱為 對(duì)換 。 ? 記法： (i1 i2 … ik ) ? 例子：用輪換形式表示 S3的 6個(gè)元素： ? e=(1)。 ?=(1 2 3)。 ?=(1 3 2)。 ?=(2 3)。 ?=(1 3)。 ?=(1 2) 不相交的輪換相乘可以交換 ? 給定 Sn中兩個(gè)輪換： ? =(i1 i2 … ik ), ? =(j1 j2 … js ), 若 {i1, i2, … , ik} ? {j1, j2, … , js}=?， 則 稱 ? 與 ? 不相交 ? 若 ? 與 ? 不相交 ， 則 ?? = ?? ? 對(duì)任意 x?S, 分三種情況討論： ? x?{i1, i2, … , ik}。 ? x?{j1, j2, … , js}。 ? x?S({i1, i2, … , ik}?{j1, j2, … , js})， 均有 ??(x) = ??(x) 用輪換的乘積表示置換 ? 任一 n元置換 ?均可表示成一組互不相交的輪換的乘積 。 ? 對(duì)在 ?下 S中發(fā)生變化的元素的個(gè)數(shù) r 進(jìn)行歸納： r =0，即 ?是恒等置換。 若 r =k0, 取一在 ?下改變的元素 i1, 按照輪換的定義依次找出 i2, i3 … 。 S是有限集，一定可以找到 im, 使得 i1, i2, …, i m均不同，但im+1?{i1, i2, …, i m}。 必有 im+1=i1。 (否則：若 im+1=ij, j?1, 則 ?(ij1)=?(im)=ij, 與 ?是一對(duì)一的矛盾。 ) 令 ?1=(i1 i2 … i m)，則 ? = ?1?39。, ?39。與 ?1不相交， ?39。最多只改變余下的 km個(gè)元素，由歸納假設(shè)， ?39。 =?2?3… ?l。 置換的輪換乘積形式的唯一性 ? 如果置換 ?可以表示為 ?1?2… ?t和 ?1?2… ?l, 令 X={?1, ?2, … , ?t}, Y={?1, ?2, … , ?l , }, 則 X=Y ? 證明要點(diǎn)： ? 任取 ?j?X, 不失一般性，令 ?j=(i1 i2 … i m ) ? 由于 ?(i1)?i1, 必存在 ?s?Y, 使得 i1出現(xiàn)在 ?s中。由輪換的定義以及各輪換不相交， i2, i3,…, i m也必在 ?s中。若存在其它某個(gè)元素 u也在 ?s中 , 則 u只能在 m后面，則 ?(im)=?s(im) =u，同時(shí)又有 ?(im)= ?j(im)=i1, 矛盾。所以 ?j即 ?s。這說明 X?Y, 同理可知 Y?X。 置換的輪換乘積形式 ? 例子：
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