【正文】 (1)當a＝－1時，f(x)＝－sin＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，∴－≤sin≤1，依題意知a≠0.(ⅰ)當a＞0時，∴a＝3－3，b＝5.(ⅱ)當a＜0時，∴a＝3－3，b＝8.綜上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.第5講 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用考試要求?。紸sin(ωx＋φ)的物理意義，圖象的畫法，參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響，A級要求；，A級要求．知 識 梳 理1．“五點法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的簡圖“五點法”作圖的五點是在一個周期內(nèi)的最高點、最低點及與x軸相交的三個點，作圖時的一般步驟為：(1)定點：如下表所示.x－ωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0(2)作圖：在坐標系中描出這五個關(guān)鍵點，用平滑的曲線順次連接得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象．(3)擴展：將所得圖象，按周期向兩側(cè)擴展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的圖象．2．函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩種途徑3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義當函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做頻率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．診 斷 自 測1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“”)(1)利用圖象變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中向左或向右平移的長度一樣． ()(2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值為A，最小值為－A. ()(3)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩個相鄰對稱軸間的距離為一個周期． ()(4)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為. (√)2．(2014四川卷改編)為了得到函數(shù)y＝sin(x＋1)的圖象，只需把函數(shù)y＝sin x的圖象上所有的點向________平行移動________個單位長度．解析　根據(jù)平移法則“左加右減”可知，將函數(shù)＝sin x的圖象上所有的點向左平行移動1個單位長度即可得到函數(shù)y＝sin(x＋1)的圖象．答案　左　13.(2014蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)已知函數(shù)y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在區(qū)間[0,2π]的圖象如圖所示，那么ω＝________.解析　由圖象可知，函數(shù)周期T＝π，ω＝＝2.答案　24．(2014安徽卷改編)若將函數(shù)f(x)＝sin 2x＋cos 2x的圖象向右平移φ個單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則φ的最小正值是________．解析　將函數(shù)f(x)的圖象向右平移φ個單位后所得圖象對應的函數(shù)為y＝cos，且該函數(shù)為偶函數(shù)，故2φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ的最小正值為.答案　5．(蘇教版必修4P40T5改編)已知簡諧運動f(x)＝2sin (|φ|)的圖象經(jīng)過點(0,1)，則該簡諧運動的最小正周期T和初相φ分別為__________．解析　由題意知1＝2sin φ，得sin φ＝，又|φ|，得φ＝；而此函數(shù)的最小正周期為T＝2π247。＝6.答案　6，考點一　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換【例1】 設(shè)函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期為π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五點法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象；(3)說明函數(shù)f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到．解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2＝2sin，又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.∴f(x)＝2sin.∴函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅為2，初相為.(2)令X＝2x＋，則y＝2sin＝2sin X.列表，并描點畫出圖象：x－X0π2πy＝sin X010－10Y＝2sin020－20(3)法一　把y＝sin x的圖象上所有的點向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin的圖象；再把y＝sin的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖象；最后把y＝sin上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin的圖象．法二　將y＝sin x的圖象上每一點的橫坐標x縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象；再將y＝sin 2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin 2＝sin的圖象；再將y＝sin的圖象上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)＝2sin的圖象．規(guī)律方法　作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象常用如下兩種方法：(1)五點法作圖法，用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，π，π，2π來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象；(2)圖象的變換法，由函數(shù)y＝sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”．【訓練1】 設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f＝.(1)求ω和φ的值；(2)在給定坐標系中作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖象．解　(1)∵T＝＝π，ω＝2，又f＝cos＝，∴sin φ＝－，又－＜φ＜0，∴φ＝－.(2)由(1)得f(x)＝cos，列表：2x－－0πππx0ππππf(x)10－10圖象如圖．考點二　由圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例2】 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為________．深度思考　此類題目一般是ω的值是唯一確定的，但φ的值是不確定的，它可能有無數(shù)個，但一般都限制了φ的取值范圍，還要注意用哪一個點求φ.解析　由題圖可知A＝，法一?。剑?，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，又對應五點法作圖中的第三個點，因此2＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.法二　以為第二個“零點”，為最小值點，列方程組解得故f(x)＝sin.答案　f(x)＝sin規(guī)律方法　已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)五點法，由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸螅瑒t可用誘導公式變換使其符合要求．【訓練2】 (2014南京、鹽城模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的圖象如圖所示，則f的值為______．解析　由三角函數(shù)圖象可得A＝2，T＝－＝π，所以周期T＝π＝，解得ω＝＝2sin＝2,0＜φ＜π，解得φ＝，所以f(x)＝2sin，f＝2sin＝1.答案　1考點三　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)應用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例3】 已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，且圖象上相鄰最高點的距離為π.(1)求f 的值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．解　(1)因為f(x)的圖象上相鄰最高點的距離為π，所以f(x)的最小正周期T＝π，從而ω＝＝2.又f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，所以2＋φ＝kπ＋，k∈Z，因為－≤φ＜，所以k＝0，所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，則f ＝sin＝sin ＝.(2)將f(x)的圖象向右平移個單位后，得到f 的圖象，所以g(x)＝f＝sin＝sin.當2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)時，g(x)單調(diào)遞減．因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．規(guī)律方法　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間和對稱性的確定，基本思想是把ωx＋φ看做一個整體．在單調(diào)性應用方面，比較大小是一類常見的題目，依據(jù)是同一區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性．對稱性是三角函數(shù)圖象的一個重要性質(zhì)，因此要抓住其軸對稱、中心對稱的本質(zhì)，同時還要會綜合利用這些性質(zhì)解決問題，解題時可利用數(shù)形結(jié)合思想．【訓練3】 已知函數(shù)f(x)＝2sincos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若將f(x)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值．解　(1)f(x)＝2sincos－sin(x＋π)＝cos x＋sin x＝2sin于是T＝＝2π.(2)由已知得g(x)＝f ＝2sin∵x∈[0，π]，∴x＋∈∴sin∈，∴g(x)＝2sin∈[－1,2]故函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值為2，最小值為－1.考點四　利用三角函數(shù)模型求最值【例4】 如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中yx0.(1)將十字形的面積表示為θ的函數(shù)；(2)θ滿足何種條件時，十字形的面積最大？最大面積是多少？解　(1)設(shè)S為十字形的面積，則S＝2xy－x2＝2sin θcos θ－cos2θ ；(2)S＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－cos 2θ－＝sin(2θ－φ)－，其中tan φ＝，當sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝時，S最大．所以，當θ＝＋時，S最大，最大值為.規(guī)律方法　三角函數(shù)作為一類特殊的函數(shù)，可利用其本身的值域來求函數(shù)的最值．【訓練4】 如圖為一個纜車示意圖，，且60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設(shè)B點與地面間的距離為h.(1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式；(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒后到達OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少？解　(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為θ－，故點B的坐標為((θ－)，4．8sin(θ－))，∴h＝＋.(2)點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是弧度/秒，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t，∴h＝＋，t∈[0，＋∞)．到達最高點時，h＝．由sin＝1，得t－＝，∴t＝30秒，∴纜車到達最高點時，用的最少時間為30秒．[思想方法]1．由圖象確定函數(shù)解析式由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象確定A，ω，φ的題型，常常以“五點法”中的五個點作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個“零點”和第二個“零點”的位置．要善于抓住特殊量和特殊點．2．解決三角函數(shù)的對稱問題，特別應注意：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與x軸的每一個交點均為其對稱中心，經(jīng)過該圖象坐標為(x，177。A)的點與x軸垂直的每一條直線均為其圖象的對稱軸，這樣的最近兩點間橫坐標的差的絕對值是半個周期(或兩個相鄰平衡點間的距離)．[易錯防范]1．在進行三角函數(shù)圖象變換時，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握，無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角”變化多少．2．復合形式的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把ωx＋φ看做一個整體，若ω＜0，要先根據(jù)誘導公式進行轉(zhuǎn)化.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1．函數(shù)f(x)＝sin，x∈R的最小正周期為________．解析　最小正周期為T＝＝4π.答案　4π2．(2015濟南模擬)將函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象向右平移個單位，再向下平移1個單位后得到的函數(shù)圖象對應的表達式為________．解析　將函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)＝cos 2＋1＝sin 2x＋1，再向下平移1個單位得到y(tǒng)＝sin 2x.答案　y＝sin 2x3．(2014浙江卷改編)為了得到函數(shù)y＝sin 3x＋cos 3x的圖象，可以將函數(shù)y＝cos 3x的圖象向________平移________個單位長度．解析　∵y＝sin 3x＋cos 3x＝cos＝cos，將y＝cos 3x的圖象向右平移個單位即可得到y(tǒng)＝cos的圖象．答案　右　4．(2014南京、鹽城模擬)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，－φ)的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是_______．解析　由圖象知f(x)的周期T＝2＝π，又T＝，ω0，∴ω＝(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，－φ)的一個最高點為，故有2＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)，又－φ，∴φ＝－.答案　2，－5．(2014福建卷改編)將函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，給出下列說法：①y＝f(x)是奇函數(shù)；②y＝f(x)的周期為π；③y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱；④y＝f(x)的圖象關(guān)于點對稱．其中上述說法正確的是________(填序號)．解析　將函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，則y＝f(x)＝sin＝cos x．此函數(shù)為偶函數(shù)，＝cos＝cos ＝0，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于點對稱．答案　④6．(2014重慶卷)將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ