(數(shù)學(xué)分析教案)第八章-資料下載頁(yè)
2025-08-04 17:28本頁(yè)面
【正文】 ）：（1） ； （2） ；（3）； （4）。的真分式之和，其中A，B，為常數(shù)，為正整數(shù)。因此，對(duì)有理真分式的積分只要討論上述四種形式的真分式的積分即可。（1）。（2）， 。（3） ，令，并記，則 。（4） 同（3）可得 ， 。 記 ，則 = ，于是，有遞推公式。將這些結(jié)果代回，即可求得所求積分。例1 求 。解：因本題中，被積函數(shù)的分母不能再分解，故 ；而 ； ；又 ；故 。課堂練習(xí)： （3）、（5）。二 三角有理式的不定積分 由，及常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為關(guān)于，的有理式，并記為 。對(duì)于三角有理式的不定積分 。 一般通過(guò)變換（萬(wàn)能變換），可把它化為有理函數(shù)的積分： ；； ；故 。例2 求 。注意：上述變換對(duì)三角有理式的不定積分總是有效的，但并不一定是最好的變換，在實(shí)際計(jì)算中要注意選擇不同的變換。1) 若則可令如求2) 若，則可令，如求 。3) 若，則可令，如P195例4。三 某些無(wú)理根式的不定積分1． 型的不定積分。只要令就可有理化。例3 求 。說(shuō)明：用下面的方法計(jì)算本題較為簡(jiǎn)單 。例4 求 。解：令即可有理化，（略）。說(shuō)明：用下面的方法計(jì)算本題較為簡(jiǎn)單 。2．型不定積分時(shí)，時(shí)。一般地，當(dāng)時(shí)，令即可將積分有理化之；當(dāng)時(shí)，令即可將積分有理化之。以上兩種變換均稱為歐拉變換。注意：初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)，因此，在初等函數(shù)的范圍內(nèi)，某些初等函數(shù)的原函數(shù)是不存在的，即使該函數(shù)可積（見教材P198）。課后記在今后的教學(xué)中應(yīng)注意強(qiáng)掉公式(7)的推導(dǎo)過(guò)程中所使用的方法.
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