【正文】 ；（3）設(shè)，求證：當(dāng)且時(shí)，.解：（1）..（2）當(dāng)時(shí)，綜上，.（3）令，當(dāng)時(shí)，有 （1）法1：等價(jià)于求證.當(dāng)時(shí)，令，則在遞增.又，所以即.法（2）（2） （3）因，所以由（1）（3）（4）知.法3：令，則所以因則，所以 （5）由（1）（2）（5）知3．已知函數(shù),數(shù)列滿(mǎn)足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)x軸、直線與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求；（III）在集合，且中，是否存在正整數(shù)N，使得不等式對(duì)一切恒成立？若存在，則這樣的正整數(shù)N共有多少個(gè)？并求出滿(mǎn)足條件的最小的正整數(shù)N；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（IV）請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)與有關(guān)的數(shù)列，使得存在，并求出這個(gè)極限值.解：（I） ……1分…… ,將這n個(gè)式子相加，得 …3分（II）為一直角梯形（時(shí)為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長(zhǎng)分別為，高為1 （III）設(shè)滿(mǎn)足條件的正整數(shù)N存在，則 又 均滿(mǎn)足條件,它們構(gòu)成首項(xiàng)為2010，公差為2的等差數(shù)列. 設(shè)共有m個(gè)滿(mǎn)足條件的正整數(shù)N，則，解得中滿(mǎn)足條件的正整數(shù)N存在，共有495個(gè)， ……9分（IV）設(shè)，即則顯然，其極限存在，并且 ……10分注：（c為非零常數(shù)），等都能使存在.，點(diǎn)在拋物線上；數(shù)列中，點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)，以方向向量為的直線上.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，問(wèn)是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，說(shuō)明理由；（Ⅲ）對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立，求正數(shù)的取值范圍.解：（Ⅰ）將點(diǎn)代入中得…………（4分）（Ⅱ）………………………………（5分）…………（8分）（Ⅲ）由………（14分）3．已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（II）令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)并比較 與的大小.解：由已知可得兩式相減得即從而當(dāng)時(shí)所以又所以從而故總有，又從而即數(shù)列是等比數(shù)列；（II）由（I）知，因?yàn)樗詮亩?==由上==12 ①當(dāng)時(shí)，①式=0所以；當(dāng)時(shí)，①式=12所以當(dāng)時(shí)，又所以即①?gòu)亩鴞an}滿(mǎn)足.（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（Ⅱ）已知不等式，其中無(wú)理數(shù)e=….（Ⅰ）證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即那么. 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)不等式成立.根據(jù)（1）、（2）可知：成立.（Ⅱ）證法一：由遞推公式及（Ⅰ）的結(jié)論有 兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得 故 上式從1到求和可得即（Ⅱ）證法二：由數(shù)學(xué)歸納法易證成立，故令取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得 上式從2到n求和得 因故成立.，已知，且，其中為常數(shù).(Ⅰ)求與的值；(Ⅱ)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(Ⅲ)證明：不等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.本小題主要考查等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)、不等式的證明方法，考查思維能力、運(yùn)算能力. 解：（Ⅰ）由已知，得，.由，知 即 解得 ，.（Ⅱ）方法1由（Ⅰ），得 ，① 所以 .②②①， ③所以. ④④③，得 .因?yàn)?，所以 .又因?yàn)?，所?，即 ，.所以數(shù)列為等差數(shù)列.方法2由已知，得，又，且，所以數(shù)列是唯一確定的，因而數(shù)列是唯一確定的.設(shè)，則數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和.于是，由唯一性得 ，即數(shù)列為等差數(shù)列.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.要證 ，只要證.因?yàn)?，故只要證 ，即只要證 .因?yàn)?，3．已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿(mǎn)足（Ⅰ）證明（Ⅱ）猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫(xiě)出極限的值（不必證明）；（Ⅲ）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意b0，都有本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想.（Ⅰ）證法1：∵當(dāng)即 于是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當(dāng)n≥3時(shí)有，∵證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式（i）當(dāng)n=3時(shí)， 由 知不等式成立.（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，不等式成立，即則即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （Ⅱ）有極限，且 （Ⅲ）∵則有故取N=1024，可使當(dāng)nN時(shí)，都有（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1176。當(dāng)n=1時(shí)， ∴，命題正確.2176。假設(shè)n=k時(shí)有則而又∴時(shí)命題正確.由1176。、2176。知，對(duì)一切n∈N時(shí)有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1176。當(dāng)n=1時(shí)，∴；2176。假設(shè)n=k時(shí)有成立，令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時(shí) 成立，所以對(duì)一切（2）下面來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)：所以又bn=－1，所以，對(duì)于滿(mǎn)足條件的所有無(wú)窮等差數(shù)列，試求的最大值，并求出取最大值時(shí)的首項(xiàng)和公差．解：設(shè)公差為，則．　　3分　　　　　4分．　　　7分又．∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．　　　11分∴．　　　　　　　　　　　　13分當(dāng)數(shù)列首項(xiàng)，公差時(shí)，∴的最大值為．　　　　　　　　　　　　　　　　14分1. 已知數(shù)列,2. 記,.3. 求證:當(dāng)時(shí),(1)。 (2)。 (3).解析:(1),猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:(i)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立。ii)假設(shè)當(dāng)時(shí),則時(shí),從而,所以所以綜上有,故(2)因?yàn)閯t,…, ,相加后可以得到: ,所以,所以(3) 因?yàn)?從而,有,(4) 所以有 ,從而,所以,所以所以綜上有.，滿(mǎn)足：①對(duì)任意，都有；②對(duì)任意都有.（I）試證明：為上的單調(diào)增函數(shù)；（II）求；（III）令，試證明：.解析:本題的亮點(diǎn)很多,是一道考查能力的好題.(1)運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性:因?yàn)?所以可以得到,也就是,不妨設(shè),所以,可以得到,也就是說(shuō)為上的單調(diào)增函數(shù).(2)此問(wèn)的難度較大,要完全解決出來(lái)需要一定的能力!首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足,嘗試探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論,一發(fā)現(xiàn)就有思路了!由(1)可知,令,則可以得到,又,所以由不等式可以得到,又,所以可以得到 ①接下來(lái)要運(yùn)用迭代的思想:因?yàn)?所以, ②,在此比較有技巧的方法就是:,所以可以判斷 ③當(dāng)然,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論,所以還可以列項(xiàng)的方法,把所有項(xiàng)數(shù)盡可能地列出來(lái),然后就可以得到結(jié)論. 所以,綜合①②③有=(3)在解決的通項(xiàng)公式時(shí)也會(huì)遇到困難.,所以數(shù)列的,而, 一方面,另一方面所以,所以,綜上有.2設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，．（1）當(dāng)a∈（－∞，－2）時(shí)，求證：M；（2）當(dāng)a∈（0，］時(shí)，求證：a∈M；（3）當(dāng)a∈（，＋∞）時(shí)，判斷元素a與集合M的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．證明：（1）如果，則，． …………………2分（2） 當(dāng) 時(shí)，（）．事實(shí)上，〔〕當(dāng)時(shí)，． 設(shè)時(shí)成立（為某整數(shù)），則對(duì)，．由歸納假設(shè)，對(duì)任意n∈N*，|an|≤＜2，所以a∈M．…………………………6分（3） 當(dāng)時(shí)，．證明如下：對(duì)于任意，且．對(duì)于任意， 則．所以，．當(dāng)時(shí)，即，因此…………10分22.（2009全國(guó)卷Ⅰ理）在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，易得 =評(píng)析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問(wèn)題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。23.（2009北京理）已知數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）證明：，且；（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列.【解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題.（Ⅰ）由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P. 由于都屬于數(shù)集， ∴該數(shù)集具有性質(zhì)P.（Ⅱ）∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個(gè)屬于A，由于，∴，故. 從而，∴.∵， ∴，.又∵，∴，從而，∴. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，有，即， ∵，∴，∴，由A具有性質(zhì)P可知. ，得，且，∴，∴，即是首項(xiàng)為1，公比為成等比數(shù)列.24.（2009江蘇卷）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿(mǎn)足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； （2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。 【解析】 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿(mǎn)分14分。（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得?(2) （方法一）=,設(shè)， 則=, 所以為8的約數(shù)（方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。 25（2009江蘇卷）對(duì)于正整數(shù)≥2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對(duì)于隨機(jī)選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。（1）求和；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)≥2，有.【解析】 [必做題]本小題主要考查概率的基本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。滿(mǎn)分10分。 26.（2009山東卷理)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時(shí)，記 證明：對(duì)任意的 ，不等式成立解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則,所以 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.① 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立.② 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.27.（2009廣東卷理）知曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.解：（1）設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，∴（舍去） ，即，∴（2）證明：∵ ∴由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在恒成立，又，則有，即. 28（2009安徽卷理）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足 （I）證明：若為奇數(shù)，則對(duì)一切都是奇數(shù)；（II）若對(duì)一切都有，求的取值范圍.解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿(mǎn)分13分。解：（I）已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何，都是奇數(shù)。（II）（方法一）由知，當(dāng)且僅當(dāng)或。另一方面，若則；若，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，綜合所述，對(duì)一切都有的充要條件是或。（方法二）由得于是或。 因?yàn)樗运械木笥?，因此與同號(hào)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，與同號(hào)因此，對(duì)一切都有的充要條件是或。 190