81-橢圓方程及性質(zhì)-microsoft-word-文檔-資料下載頁
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【正文】 =（2a）2－2r1r2（1+cos2θ），于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2－4c2=4b2．所以r1r2=．這樣即有S=sin2θ=b2=b2tanθ．評述：解與△PF1F2（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的問題，常用正弦定理或余弦定理，并結(jié)合|PF1|+|PF2|=2a來解決．9． 如下圖，已知△OFQ的面積為S，且=1．（1）若＜S＜2，求向量與的夾角θ的取值范圍；（2）設(shè)||=c（c≥2），S=c，若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，當(dāng)||取最小值時，求橢圓的方程．解：（1）由已知，得||||sin（π－θ）=S，||||cosθ=1．∴tanθ=2S．∵＜S＜2，∴1＜tanθ＜4．則＜θ＜arctan4．（2）以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），Q（x，y）．=（c，0），則=（x－c，y）．∵||y=c，∴y=．又∵=c（x－c）=1，∴x=c+．則||==（c≥2）．可以證明：當(dāng)c≥2時，函數(shù)t=c+為增函數(shù)，∴當(dāng)c=2時，||min==，此時Q（，）．將Q的坐標(biāo)代入橢圓方程，解得得 +=1， a2=10，a2－b2=4． b2=6．∴橢圓方程為+=1．10．(2005上海) 如圖，點(diǎn)A、B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值． 解：（1）由已知可得點(diǎn)A（－6，0），F(xiàn)（4，0）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，由已知得則2x2+9x18=0, ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（2）直線AP的方程是設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（m，0），則M到直線AP的距離是，于是橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d有由于【探索題】(2006湖北)設(shè)A、B分別為橢圓（）的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解(Ⅰ)依題意得 解得 從而故橢圓方程為（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得設(shè)M點(diǎn)在橢圓上，① 又M點(diǎn)異于頂點(diǎn)A、B，由P、A、M三點(diǎn)共線可得 從而∴ ②將①式代入②式化簡得于是為銳角，從而為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法二：由（Ⅰ）得．設(shè),則直線AP的方程為,直線BP的方程為．點(diǎn)M、N分別在直線AP、BP上，．從而③聯(lián)立消去得=0 是方程的兩根,即④又⑤于是由③、④式代入⑤式化簡可得N點(diǎn)在橢圓上，且異于頂點(diǎn)A、B，又，從而故為鈍角，即點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法3：由（Ⅰ）得，設(shè)則．又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，化簡得 ⑥直線AP的方程為，直線BP的方程為點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，即⑦又M點(diǎn)在橢圓上,即 ⑧于是將⑦、⑧式代入⑥式化簡可得從而B在以MN為直徑的圓內(nèi)。
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