20xx年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編專題31：弧長(zhǎng)與扇形面積-資料下載頁(yè)
2025-08-04 08:07本頁(yè)面
【正文】 6。=，cos60176。=，tan60176。=，≈，可使用科學(xué)計(jì)算器）【思路分析】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，（1）AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180176。；在△OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過(guò)它不是直角三角形，需要轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)求解，由∠OAB=120176。想到作AB邊上的高，得到一個(gè)含60176。角的Rt△OAE和一個(gè)非特殊角的Rt△△OAE中，已知∠OAE=60176。，斜邊OA=10，可求出OE、AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求得Rt△OEB中EB的長(zhǎng)，再由勾股定理求出斜邊OB的長(zhǎng)；（2）雨刮桿AB掃過(guò)的最大面積就是一個(gè)半圓環(huán)的面積（以O(shè)B、OA為半徑的半圓面積之差）.[解]（1）雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大解度為180176。． 連接OB，過(guò)O點(diǎn)作AB的垂線交BA的延長(zhǎng)線于EH噗，∵∠OAB=120176。，∴∠OAE=60176。在Rt△OAE中，∵∠OAE=60176。，OA=10，∴sin∠OAE==，∴OE=5， ∴AE=5∴EB=AE+AB=53， 在Rt△OEB中，∵OE=5，EB=53，∴OB===2≈； （2）∵雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)180176。得到CD，即△OCD與△OAB關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△DCO，（直接證明全等得到面積相等的也給相應(yīng)的分值） ∴雨刮桿AB掃過(guò)的最大面積S=π(OB2－OA2) =1392π 【方法指導(dǎo)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，以及扇形面積的求法，已知兩邊或一邊一角都可求出其余的量. 難點(diǎn)是考生缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，弄不懂題意.2．（2013年佛山市，20，6分）如圖，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，求母線AB與高AO的夾角．參考公式：圓錐的側(cè)面積S=πrl，其中r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)．分析：設(shè)出圓錐的半徑與母線長(zhǎng)，利用圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)得到圓錐的半徑與母線長(zhǎng)，進(jìn)而表示出母線與高的夾角的正弦值，也就求出了夾角的度數(shù)．解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則：πl(wèi)=2πr，∴l(xiāng)=2r，∴母線與高的夾角的正弦值==，∴母線AB與高AO的夾角30176。．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)；注意利用一個(gè)角相應(yīng)的三角函數(shù)值求得角的度數(shù)．3.（2013四川綿陽(yáng)，21，12分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點(diǎn)，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE。（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若E是 的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積。解（1）直線CD與⊙O相切。 證明：連結(jié)AC，OA=OC，∠OAC=∠OCA，AC平分∠DAB，∠DAC=∠OAC，∠DAC=∠OCA，AD//OC，AD⊥CD，OC⊥CD，CD與⊙O相切。（2）連結(jié)OE， 點(diǎn)E是 的中點(diǎn)，∠DAC=∠ECA（相等的弧所對(duì)的圓周角相等），∠DAC=∠OAC（（1）中已證），∠ECA=∠OAC，CE//OA，AD//OC，四邊形AOCE是平行四邊形，CE=OA，AE=OC， OA=OC=OE=1，OC=OE=CE=OA=AE=1，四邊形AOCE是菱形，△OCE是等邊三角形，∠OCE=60186。，∠OCD=90186。，∠DCE=∠OCD∠OCE=90186。60186。=30186。，AD⊥CD，在Rt△DCE中，ED= CE = ,DC=cos30186。?CE= ,CE弧與CE弦所圍成部分的面積 = AE弧與AE弦所圍成部分的面積，S陰影=S△DCE=?ED?DC== .答：圖中陰影部分的面積為。4．（2013江西南昌，23，8分）如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長(zhǎng)為10cm，雨刮桿AB長(zhǎng)為48cm，∠OAB=120176。．若啟動(dòng)一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示． （1）求雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度及O、B兩點(diǎn)之間的距離；（） （2）求雨刮桿AB掃過(guò)的最大面積．（結(jié)果保留π的整數(shù)倍） （參考數(shù)據(jù)：sin60176。=，cos60176。=，tan60176。=，≈，可使用科學(xué)計(jì)算器）【思路分析】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，（1）AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180176。；在△OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過(guò)它不是直角三角形，需要轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)求解，由∠OAB=120176。想到作AB邊上的高，得到一個(gè)含60176。角的Rt△OAE和一個(gè)非特殊角的Rt△△OAE中，已知∠OAE=60176。，斜邊OA=10，可求出OE、AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求得Rt△OEB中EB的長(zhǎng)，再由勾股定理求出斜邊OB的長(zhǎng)；（2）雨刮桿AB掃過(guò)的最大面積就是一個(gè)半圓環(huán)的面積（以O(shè)B、OA為半徑的半圓面積之差）.[解]（1）雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大解度為180176。． 連接OB，過(guò)O點(diǎn)作AB的垂線交BA的延長(zhǎng)線于EH噗，∵∠OAB=120176。，∴∠OAE=60176。在Rt△OAE中，∵∠OAE=60176。，OA=10，∴sin∠OAE==，∴OE=5， ∴AE=5∴EB=AE+AB=53， 在Rt△OEB中，∵OE=5，EB=53，∴OB===2≈； （2）∵雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)180176。得到CD，即△OCD與△OAB關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△DCO，（直接證明全等得到面積相等的也給相應(yīng)的分值） ∴雨刮桿AB掃過(guò)的最大面積S=π(OB2－OA2) =1392π【方法指導(dǎo)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，以及扇形面積的求法，已知兩邊或一邊一角都可求出其余的量. 難點(diǎn)是考生缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，弄不懂題意.第 20 頁(yè) 共 20 頁(yè)
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