【正文】 F將溫度引起的變形代入公式，可得 沿桿長(zhǎng)溫度不變 ? ?? ? ??hsMtsFt ddN0 ???? ? ?? ??hstMstF dd0N??? 結(jié)構(gòu)力學(xué) 上式中的正、負(fù)號(hào)： 各項(xiàng)的符號(hào)由對(duì)比溫度改變引起的變形與單位力引起的變形確定，當(dāng)二者一致時(shí)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。 對(duì)梁和剛架： 對(duì) 桁 架： ? ??? MNt h tt ?????? 0?? lFtt N0???? liil F ?? ? N幾種情況： 溫度引起的軸向 變形影響不能少。 問(wèn)題： 當(dāng)桁架有制造誤差 時(shí) ,如何求位移 ？ li? 結(jié)構(gòu)力學(xué) 例： 剛架施工時(shí)溫度為 20 ，試求冬季外側(cè)溫度為 10 ，內(nèi)側(cè)溫度為 0 時(shí) A點(diǎn)的豎向位移 。已知 l=4 m, ,各桿均為矩形截面桿，高度 h= m C0C0C0Ay? 510 ???實(shí)際狀態(tài) 解：構(gòu)造虛擬狀態(tài) 虛擬狀態(tài) 結(jié)構(gòu)力學(xué) 單位荷載內(nèi)力圖為： M 圖 NF 圖 CtCt 000 10)30(20,252 )200()2022( ???????????? ?)( ???? ??? mh tt MNAy ?????? 結(jié)構(gòu)力學(xué) 例： 求下圖 a所示桁架 ， 若上弦各桿均做長(zhǎng)了8mm， 求由此而引起的 C點(diǎn)豎向位移 。 A B C 6?8m 10m (a) 結(jié)構(gòu)力學(xué) 解： 將桿件加長(zhǎng)看成是桿件變形 ， 則根據(jù) lFuF NN ?????? ? d，因此只要求出單位廣義力作用 下有“制造誤差”桿件的對(duì)應(yīng)內(nèi)力 NF(如圖 b)，即可求得 所求位移。 A B C X=1 – – – – (b) )(0 2 5 )54( ??????? mmAV 結(jié)構(gòu)力學(xué) 靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算 (Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Support Movement) 1c2c3cK K? KC?實(shí)際位移狀態(tài) 虛擬力狀態(tài) 1 K 1RF2RF3RF 結(jié)構(gòu)力學(xué) 靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)并不產(chǎn)生內(nèi)力，材料（桿件）也不產(chǎn)生變形，只發(fā)生剛體位移。（該位移也可由幾何關(guān)系求得）。有 ???? 0ddd ?vu?? ???? ????????iiiiccFcFMvFuFRRQN ddd ? 結(jié)構(gòu)力學(xué) 例 1：求 ??Cx?C B A FP=1 1?AxF1?CyF1?AyF虛擬力狀態(tài) 解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài) 1c2c3c實(shí)際位移狀態(tài) C B A l l )()111( 321321 CCCCCCCx ???????????? 結(jié)構(gòu)力學(xué) 解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài) ? ??????? r ad 007 )2 11(R BxByiiA hlcF ??? ( ) FAy FAx 例 2：已知 l=12 m , h=8 m , m ?Bx?m ?By? ??A? , 求 結(jié)構(gòu)力學(xué) 例 3：求 ??Cx?1c2c3c實(shí)際位移狀態(tài) C B A l l FP=1 C010?解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài) )1(10)(16 3213PhllCCCEIlFCx ?????? ??C B A 1?AxF1?CyF1?AyF 虛擬力狀態(tài) FP=1 同時(shí)考慮荷載、溫度和支座位移的影響 結(jié)構(gòu)力學(xué) 等于 0 溫度 支座 ? ? ? ? ? ?? ?????? ?ddd QNR MvFuFcF ii問(wèn)題： 試給出多因素下的位移計(jì)算一般公式 ? ?? ? ? ??????????])d()d[(])d()d[(])d()d[( QNRtPtPtPiiMvvFuuFcF??? ?? ?? ? ? ? ? ?????????ttPPPiiMuFMvFuFcF)d()d()d()d()d(NQNR??tPCMNPPPiihttsEIMMsGAFFksEAFFcF???????????????? ??? ? ? ?????? ddd0NNR 結(jié)構(gòu)力學(xué) 167。 6 7 互等定理 1 功的互等定理 本節(jié)討論中假定： 材料線性彈性；變形是微小的。 研究下圖所示結(jié)構(gòu) (可是任意結(jié)構(gòu) )的兩狀態(tài) ， 分別將其稱為 2狀態(tài) ， 由于荷載作用所產(chǎn)生的內(nèi)力分別記作 FN FQ M1和 FN FQ M2。 (a) 1狀態(tài) (b) 2狀態(tài) 結(jié)構(gòu)力學(xué) (a) 1狀態(tài) (b) 2狀態(tài) 結(jié)構(gòu)的兩種受力狀態(tài) 首先令 1狀態(tài)為平衡的力狀態(tài) ， 2狀態(tài)所產(chǎn)生的位移作為協(xié)調(diào)的虛位移狀態(tài) 。 這時(shí)由虛功方程式可得 式中 ， W12的下標(biāo)表示 1狀態(tài)外力在 2狀態(tài)虛位移上所作的總虛功 。 ? ? ???eNN sEIMMGAkFFEAFFW 1021212112 d)((a) 結(jié)構(gòu)力學(xué) 然后反過(guò)來(lái) ， 令 2狀態(tài)為平衡的力狀態(tài) ， 1狀態(tài)所產(chǎn)生的位移作為協(xié)調(diào)的虛位移狀態(tài) 。 由虛功方程可得 式中 ， W21的下標(biāo)表示 2狀態(tài)外力在 1狀態(tài)虛位移上所作的總虛功 。 ? ? ???eNN sEIMMGAkFFEAFFW 1012121221 d)((b) 對(duì)比式 (a)和式 (b)立即可得 2112 WW ? 結(jié)構(gòu)力學(xué) 用文字來(lái)敘述則為 ， 處于平衡的 2兩狀態(tài) ， 1狀態(tài)外力在 2狀態(tài)外力所產(chǎn)生的位移上所作的總虛功 ，恒等于 2狀態(tài)外力在 1狀態(tài)外力所產(chǎn)生的位移上所作的總虛功 。 這就是 功的互等定理 ， 它是線彈性體系普遍定理 ， 是最基本的 ， 下面的定理可以由它導(dǎo)出(當(dāng)然也可直接從虛功原理得到 )。 結(jié)構(gòu)力學(xué) 2 位移互等定理 設(shè) 2兩狀態(tài)都只有一個(gè)廣義力 ， 分別記作 FP1和 FP2。 由廣義力 FP1引起和廣義力 FP2對(duì)應(yīng)的廣義位移記作 ?21。 同理 ， 由廣義力 FP2引起和廣義力 FP1對(duì)應(yīng)的廣義位移記作 ?12。 如圖所示 。 兩種受力、位移狀態(tài) FP1 (a) 1狀態(tài) (b) 2狀態(tài) FP2 ?21 ?12 結(jié)構(gòu)力學(xué) 利用功的互等定理可得 2121212112 WFFW PP ?????等式兩邊同除廣義力乘積 FP1?FP2， 上式改為 121212PP FF???從上式不難證明 ， 不管廣義力和對(duì)應(yīng)的廣義位置是什么 ， 上式比值的量綱或單位是相同的 。 結(jié)構(gòu)力學(xué) 若記比值 2112112212 ?? ????PP FF、 ，并稱為 位移系數(shù) 。 或 柔度系數(shù) ， 它表示單位廣義力引起的位移 。 則可得如下結(jié)論： jiij ?? ?這就是 位移互等定理 。 結(jié)構(gòu)力學(xué) 3 反力互等定理 設(shè)超靜定結(jié)構(gòu)的 2兩狀態(tài)都僅是支座發(fā)生一個(gè)廣義位移 ， 分別記作 ?1和 ?2。 由廣義位移 ?1引起和廣義位移 ?2對(duì)應(yīng)處的支座廣義反力記作 FR21 。 同理 ，由廣義位移 ?2引起和廣義位移 ?1對(duì)應(yīng)處的支座廣義反力記作 FR12。 如圖所示 。 兩種位移、反力狀態(tài) (a) 1狀態(tài) (b) 2狀態(tài) ?1 ?2 FR12 FR21 結(jié)構(gòu)力學(xué) 利用功的互等定理可得 211222112 1 WFFW RR ?????等式兩邊同除廣義位移的乘積 ?1?2， 并稱比值為 反力系數(shù) 或 剛度系數(shù) ， 它表示單位廣義位移引起廣義力 。 則有 1221212121 rFFr RR ?????對(duì)于更一般情況，則有 jiij rr ?這就是 反力互等定理 。 結(jié)構(gòu)力學(xué) 21A?221A?12狀態(tài) 1 (a) 反力位移互等定理 結(jié)構(gòu)力學(xué) 21A?221A?12狀態(tài) 2 (b) 結(jié)構(gòu)力學(xué) 2112 r???反力位移互等定理 反力位移互等定理敘述為： 在任一線彈性變形體上，狀態(tài) 1在力 作用下引起的支座 2的反力影響系數(shù) 1PF21r與狀態(tài) 2由支座 2的位移 2?引起的相應(yīng) 1PF處的位移影響系數(shù) 12?數(shù)值相等， 符號(hào)相反。 結(jié)構(gòu)力學(xué) 或 ，在任一線彈性變形體上， 狀態(tài) 1在單位力 11 ?PF的支座 2的反力 作用下引起 21r支座 2的單位位移 ， 與狀態(tài) 2由 12 ?? 引起的相應(yīng) 11 ?PF 處的位移 12?數(shù)值相等， 符號(hào)相反。 結(jié)構(gòu)力學(xué) *位移（反力）影響系數(shù)的量綱 的量綱取決于另一狀態(tài)的力 12?位移 1PF。